Vers un critère plus quantitatif

Une fois les impulsions séparées angulairement en champ lointain à l'aide de WFR au foyer, la Fig. 6.15 illustre comment l'adjonction d'une fente sur le trajet d'une de ces impulsions permet d'en isoler une seule spatialement. A la sortie de la fente, on a

Fig. 6.15 Filtrage spatial d'une impulsion émise par le mécanisme du phare attoseconde.

représenté le prol temporel du champ ltré spatialement. On distingue une impulsion attoseconde principale et des pics satellites à ±TL/pqui correspondent en fait aux parties des faisceaux adjacents qui traversent eux aussi la fente.

Le choix de la largeur de la fente qui permet de ltrer spatialement une seule impulsion attoseconde va résulter d'un compromis entre deux contraintes principales [Fig. 6.15] :

1. Tout d'abord, plus la fente est étroite, et plus le contraste 1/γ entre l'énergie conte- nue dans l'impulsion attoseconde principale et celle de ses satellites issus des fais- ceaux adjacents (à ±TL/p) sera important,

2. Ensuite, plus la fente sera large, et plus la fraction f de l'énergie totale retenue dans le faisceau par la fente sera importante.

Une fois la fente introduite dans le faisceau harmonique que l'on souhaite sélectionner, le contraste γ dépend du ratio entre la divergence θn du faisceau et l'angle ∆θ = vr∆tentre deux faisceaux harmoniques adjacents [Fig. 6.15] déterminé par la vitesse de rotation vr : plus la divergence harmonique est importante et plus le contraste γ sera faible. De même, plus vret donc ∆θ = vr∆test grand et plus γ sera important. La fraction d'énergie f, elle, dépend uniquement de la divergence θn. Plus θn augmente et plus la fraction d'énergie retenue par la fente sera faible. Dans la section qui suit, on se propose de calculer pour la vitesse de rotation vr = vmaxr , le ratio maximum θn/θL acceptable qui permet d'obtenir des valeurs données de γ et f. Formellement, ceci revient également à déterminer la borne

Chapitre 6. L'eet phare attoseconde

supérieure du rapport θn/∆θ = θn/θLpNc pour laquelle on obtient un contraste γ et une énergie f, soit à déterminer α = O(1) telle que :

θn θL

6α 1

pNc (6.57)

Calcul du ratio θn/θL maximum dans le cas de faisceaux gaussiens

Pour des paramètres lasers xés, la valeur de ∆θ maximale, est déterminée par la vitesse de rotation maximale vmax

r = θL/2τi de vr et est donnée par ∆θmax = θL/2pNc. Dans la suite, on se place dans ce cas optimal qui peut être facilement réalisé expérimen- talement. Notons E1 l'énergie de l'impulsion attoseconde principale après la fente (zone

1 2 3 3 2 1 1 1₄ 562 567 568 569 365 2 3 3 2 A B 562 567 568 569 365 1234567 1234567 8 8₉ A A A A A 367 3B7

Fig. 6.16  (a) Prols angulaires de 3 impulsions attosecondes adjacentes générées par l'eet de phare attoseconde. Les gaussiennes en traits bleus correspondent aux prols angulaires de chacune des trois impulsions attosecondes voisines. La courbe en pointillés rouges, qui correspond à la somme des trois courbes bleues, est le signal qui pourrait être enregistré par un détecteur placé sur un écran placé en champ lointain. En introduisant une fente dans le faiseau harmonique, on ltre spatialement la partie jaune de l'impulsion centrale mais aussi les pieds des faisceaux satellites (portions rayées bleue et orange). (b) Prol temporel d'intensité intégré angulairement après ltrage par la fente représentée en (a). L'impulsion jaune centrale correspond à la zone jaune en (a), tandis que ses satellites en orange/bleu correspondent aux aires orange/bleue en (a). Ici, le contraste d'intensité entre l'impulsion centrale et ses satellites vaut γ = 0.1.

jaune sur la Fig. 6.16), et E2 l'énergie d'un des satellites (zone bleue ou orange sur la gure 6.16 (a), suposées identiques). Nous supposons que toutes les impulsions attose- condes générées sont gaussiennes, avec la même énergie totale ET et la même largeur à 1/e, θn. Le principal faisceau harmonique est supposé centré en θ = 0 de telle sorte que ses satellites sont eux, centrés en ±∆θmax_{. Le contraste entre l'impulsion centrale et ses} satellites vaut γ = E2/E1 où E1 et E2 sont donnés par :

E1 = f ET (6.58) E2 = ET √ π Z 2∆Φ−∆βmax θn −2∆Φ+∆βmax_θn e−Γ2dΓ (6.59)

où nous avons fait le changement de variable Γ = 2(θ − ∆βmax_)/θ

n. Ici, l'angle ∆Φ correspond à la demi-largeur angulaire de la fente. Cet angle peut être déterminé en 118

6.3. Conditions d'obtention d'impulsions attosecondes séparées angulairement fonction de la fraction f d'énergie retenue du faisceau principal :

f = R∆Φ −∆Φe−4θ 2_/θ2 ndθ R∞ −∞e−4θ 2_/θ2 ndθ (6.60)

En utilisant la fonction d'erreur de Gauss χ(z) = √2

π Z z

0

e−ζ2dζ (6.61)

et son inverse χ−1_{, nous obtenons :}

∆Φ = θn 2χ −1_{(f ) (6.62)} Il en résulte que : γ = E2 E1 = χ(2∆β max_/θ n+ χ−1(f )) − χ(2∆βmax/θn− χ−1(f )) 2f (6.63)

Cette équation donne γ en fonction de θn et f. Nous avons utilisé Mathematica an d'inverser cette fonction et de déterminer la valeur de θL/θn requise pour obtenir des valeurs données de γ et f. Le résultat de ce calcul est tracé sur la Fig. 6.17(a), pour une impulsion de Nc = 9 cycles optiques et pour p = 1 (correspondant au cas de la génération d'harmoniques sur miroir plasma). Il a été exprimé en fonction du rapport θL/θn0 où, θ0ndésigne la divergence harmonique sans tilt du front d'intensité car ce rapport est celui eectivement mesuré dans les expériences de génération d'harmoniques sur cibles solides ou gazeuses. En général l'introduction d'un tilt du front d'intensité ξ 6= 0 avant focalisation du faisceau-impulsion augmente la taille de la tache focale le long de l'axe de chirp spatial et la divergence θn(ξ) tend à être inférieure à la divergence harmonique θn0 sans tilt du front d'intensité. En supposant que la divergence harmonique est inversement proportionnelle à sa taille de source on obtient :

θn(ξ) = θn0/ p 1 + (wiξ/τi)2 (6.64) i.e. θn(ξ = τi/wi) = θ0n/ √ 2 (6.65)

pour le tilt du front d'intensité ξ0 = τi/wi qui maximise la vitesse de rotation des fronts de phase du laser au foyer.

Lorsque l'on souhaite augmenter les valeurs de contraste γ et d'énergie f pour une taille de fente donnée, on observe comme prévu que le ratio θL/θn0 requis augmente lui aussi. Par ailleurs, les lignes de niveau θL/θ0nde la Fig. 6.17 peuvent être interprétés d'une manière diérente. En eet, physiquement, la plus petite divergence que pourra avoir un faisceau harmonique d'ordre n est donnée par sa diraction θ0

n= λn/πwnoù λn = λL/nest sa longueur d'onde et wn son waist. Lorsque la taille de source wnest identique à la tache focale du laser et indépendante de n, on obtient θ0

n = θL/net les lignes de niveaux de la Fig. 6.17 (a) peuvent être interprétées comme l'ordre harmonique minimum au-delà duquel des

Chapitre 6. L'eet phare attoseconde 15 13 11 9 17 7 19 20 40 60 80 10 -1 5x10 -1 10 -2 % r e t a i n e d e n e r g y f Contrast ratio 10 -3 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 1 2 f a c t o r Contrast ratio

Fig. 6.17  (a) Valeur requise de θL/θ0n pour obtenir des valeurs données de γ et f, dans le cas d'une

impulsion laser de Nc= 9cycles optiques et p = 1 (b) Paramètre α déni dans l'équation (6.57) tracé en

fonction du contraste désiré γ, pour f = 60 %.

valeurs données de f et γ pourront être obtenues par l'eet du phare attoseconde. Enn, nous pouvons relier ces résultats au paramètre α qui apparaît dans l'équation (6.57). La valeur de α requise pour obtenir des valeurs de f et de γ données peut être déduite d'un graphe tel que celui de la Fig. 6.17 (b), à travers la relation α = θL/θnpNc. Ce graphe montre l'évolution de α = O(1) en fonction du contraste souhaité γ, pour une fraction d'énergie retenue par la fente f = 60%.

Chapitre 7

Etude numérique de l'eet phare

attoseconde

Dans ce chapitre, nous validons d'abord l'eet du phare attoseconde dans le cas des harmoniques Doppler à l'aide d'un modèle simple développé par Lichters et al que l'on a généralisé en 2D : le modèle du miroir oscillant ou ROM (pour Relativistic Oscillating Mirror en anglais). Cette première validation numérique nous permettra de mieux ap- préhender le fonctionnement de cet eet. Toutefois, pour des intensités ultra-relativistes (aL > 3), ce modèle ne reproduit pas l'enfoncement du miroir plasma sous l'eet de la pression de radiation du laser au foyer qui, comme nous le verrons dans la partie 3 de ce manuscrit, agit comme un miroir courbe qui focalise les harmoniques Doppler en avant de la cible et augmente fortement le ratio θn/θL.

An de nous assurer que l'eet phare attoseconde peut être eectivement réalisé dans ce régime de génération pour des impulsions laser conventionnelles d'une dizaine de cycles optiques, nous avons ensuite eectué une expérience numérique sur supercalculateur à l'aide du code particulaire 2D CALDER, pour des paramètres expérimentaux réalistes. Cette deuxième validation numérique montre que l'eet phare attoseconde peut-être uti- lisé pour générer des impulsions attosecondes isolées en régime relativiste, qui est l'un des mécanismes les plus prometteurs pour obtenir des impulsions attosecondes très énergé- tiques.

7.1 Etude à l'aide du modèle du miroir oscillant