11.3 Modélisation analytique des propriétés spatiales
11.3.2 Grandissement γ n de l'harmonique n au foyer du miroir plasma
plasma
La grandeur γn est particulièrement intéressante dans notre cas, car elle nous permet de calculer l'intensité maximale Iatdes impulsions attosecondes au foyer du miroir plasma :
Iat ≈ ηnIL TL τat 1 γ2 n ∝ 1 γ2 n (11.26) où TL est la période laser, wL son waist, IL son intensité, ηn l'e cacité de génération de la bande spectrale [n, nc] avec nc la coupure du spectre et τat ≈ TL/(nc − n) la durée de l'impulsion attoseconde composée des fréquences (n, nc) [en supposant une phase plate sur cette bande spectrale]. On voit donc que Iat est d'autant plus grand que γn est faible. On calcule γn en utilisant l'équation (11.23) donnant la valeur de zrh :
zrh zrh0 = wf wn 2 = 1 1 + (nΨ)2 (11.27) d'où γn= 1 p 1 + (nΨ)2 (11.28)
Deux cas se dégagent suivant la valeur de nΨ ∝ δp/λn :
1. si nΨ ≪ 1 [i.e δp ≪ λn], on retrouve que γn = 1 i.e que l'harmonique n'est pas focalisée,
2. si nΨ ≫ 1 [i.e δp ≫ λn] il vient γn ≈ 1/nΨ ∝ 1/δp. Dans ce cas, l'harmonique est focalisée par le miroir plasma en z = fpcos θ et le grandissement γn est d'autant plus faible que l'enfoncement δp est grand ou la focale fp du miroir plasma faible. Nous avons comparé les résultats du modèle aux mêmes simulations que celles de la Fig. 11.7. Les valeurs de γn obtenues ont été représentées sur la Fig. 11.8 pour (aL = 8, L = λL/8) [points rouges] et (aL = 6, L = λL/20) [points bleus]. Les lignes en traits pleins correspondent aux valeurs de γn issues de l'équation (11.28). A mesure que n augmente, λn/δp diminue, l'harmonique devient progressivement focalisée par le miroir plasma et le grandissement diminue suivant l'équation (11.28). Dans la limite λn/δp ≪ 1, le faisceau harmonique est parfaitement focalisé et son grandissement γn ∝ λL diminue proportionnellement avec la longueur d'onde λn [limite de diraction plus petite]. Dans les deux simulations de la Fig. 11.8, on voit que le modèle reproduit correctement les variations de γn avec l'ordre harmonique. Toutefois, dans le cas L = λL/8, on note un écart entre le grandissement théorique et le grandissement issu des simulations pour les harmoniques d'ordres les plus élevés [celles qui sont focalisées par le miroir plasma]. Le waist wf prédit par le modèle est plus petit [15%] que celui obtenu dans les simulations PIC 2D. Cet écart provient du fait que nous n'avons pas pris en compte les eets d'ordres
Chapitre 11. Modélisation des propriétés spatiales des harmoniques Doppler 1 2 31 32 41 1 154 156 157 158 3 9 A BC1234 B BC12356 B DEF
Fig. 11.8 Evolution du grandissement γn avec l'ordre harmonique n. . Les conditions de
simulation sont les mêmes que celles de la Fig. 11.7. Les points sont les valeurs de γn obtenues à partir
de deux simulations PIC 2D CALDER pour aL = 8, L = λL/8 [rouge] et aL = 6, L = λL/20 [bleu].
Pour chaque ordre n, la valeur γn a été obtenue en calculant l'étendue spatiale du faisceau harmonique
aux points z = zn représentés sur la Fig. 11.7. Les lignes en traits pleins représentent les valeurs de γn
calculées à partir de l'équation (11.28). Dans chaque cas, les valeurs de Ψ ont été calculées en utilisant le rapport wn/wL issu des simulations PIC et l'enfoncement δp/λL représenté sur la Fig. 11.5 (b). Dans
le cas aL = 8, L = λL/8[ligne rouge], on calcule Ψ = 0.6685 et γn ≈ 0.08 correspondant à des valeurs
δp/λL= 0.1295et wn/wL≈ 0.75 pour n > 15. Dans le cas aL= 6, L = λL/20[ligne bleue] on trouve les
valeurs Ψ = 0.2351 et γn = 0.2, associées à un enfoncement δp/λL= 0.054et une étendue wn/wL≈ 0.7λL
pour n > 15
supérieurs dans la phase introduite par le miroir plasma. En eet, nous verrons dans la suite que la focalisation par un miroir parabolique hors-axe introduit des aberrations qui peuvent étaler le pro l spatial du faisceau harmonique au foyer et qui limitent donc la valeur minimale de γn que l'on peut atteindre.
Nous avons estimé l'intensité des impulsions attosecondes au foyer du miroir plasma [Fig. 11.9] dans le cas L = λL/8, pour les harmoniques [15ωL, 25ωL]. Sur le panneau (a), on voit que dans ces conditions d'interaction, les e cacités de génération sont très élevées dans cette bande spectrale et on calcule η15−25 ≈ 7 × 10−2. En outre, on voit sur les panneaux (b-c) que le miroir plasma focalise très fortement le train d'impul- sions attosecondes avec des grandissements conformes à ceux calculés sur la Fig. 11.8. Avant focalisation (b), l'intensité des impulsions attosecondes dans le plan de la cible vaut 0.34IL ≈ 3.8 × 1019W.cm−2. Au foyer du miroir plasma (c), elle atteint des valeurs très élevées, de l'ordre de 23IL≈ 3.1021W.cm−2. On peut retrouver ce résultat en utilisant la valeur γ15−25 ≈ 0.1 fournie par la courbe Fig. 11.7 et la durée d'impulsion τat ≈ 250as mesurée sur la Fig. 11.9(c) : on trouve Iat ≈ 28IL ≈ 4 × 1021W.cm−2 très proche de la valeur précédente, obtenue en propageant numériquement le train d'impulsions au foyer du miroir plasma.
Ainsi, on voit que les intensités atteignables au foyer du miroir plasma, dans la gamme des longueurs d'onde inférieures à 0.08nm, sont donc potentiellement très élevées. On pourrait imaginer utiliser cet eet pour réaliser des expériences d'interaction lumière- matière à très fortes intensités dans la gamme X-UV. La principale contrainte dans l'exemple que l'on vient de détailler provient du fait que la focale du miroir plasma est 188
11.3. Modélisation analytique des propriétés spatiales très faible [quelques dizaines de micromètres]. Cependant, pour pallier ce problème, une solution envisageable serait d'augmenter la taille du waist laser wL à intensité constante pour augmenter la focale fp, sans changer le ratio wn/wL. En eet, dans ces conditions, le paramètre Ψ de l'équation (11.25) et par conséquent le grandissement γn, resteraient inchangés. 1 23 21 43 41 2356 2354 2352 233 1718 9 A B B F D7 8 728 3 1 3 1 4 4 4 63 64 6 31 2 21 D7 8 72 8 3 1 3 1 4 4 4 63 64 6 2 4 6 C A F ECB BEF!"E "EFA !
Fig. 11.9 Intensité des impulsions attosecondes au foyer du miroir plasma. Les conditions de simulation sont les mêmes que celle de la Fig. 11.8. (a) Spectre du champ ré échi, intégré spatialement au niveau de la cible [en z = 0]. (b) Pro l spatio-temporel (y, t) du champ ré échi, au niveau de la cible en z = 0, que l'on a ltré entre les ordres harmoniques 10 à 25. (b) Pro l spatio-temporel (y, t) du champ ré échi, au foyer du miroir plasma en z = fpcos θ ≈ 28λL, que l'on a ltré entre les ordres harmoniques
10à 25.
11.3.3 Modèle de divergence des harmoniques
La divergence du faisceau harmonique est donnée par :θn= lim z→∞ w(z) z = wf zrh = λn πwf (11.29)
où on a utilisé la valeur de w(z) fournie par l'équation (11.18) et zrh = πw2f/λn. En utilisant wf = wnγn, où γn est donné par l'équation (11.28), il vient :
θn= θn0 p
1 + (nΨ)2 (11.30)
où θ0
n = λn/πwn est la divergence de l'harmonique lorsque celle-ci diracte librement depuis la cible. Deux cas se dégagent selon la valeur de nΨ ∝ δp/λn :
1. si nΨ ≪ 1 on retrouve le cas où l'harmonique n'est pas focalisée et sa divergence est imposée par la diraction :
θn θL ≈
wL nwn
Chapitre 11. Modélisation des propriétés spatiales des harmoniques Doppler
2. si nΨ ≫ 1 alors la divergence θndes harmoniques est imposée par l'enfoncement du miroir plasma et : θn θL ≈ Ψ × wL wn (11.32) Nous avons comparé les résultats du modèle aux mêmes simulations que celles de la Fig. 11.7. Les valeurs de θn obtenues ont été représentées sur la Fig. 11.8 pour (aL = 8, L = λL/8) [points rouges] et (aL = 6, L = λL/20) [points bleus]. Les lignes en traits pleins correspondent aux valeurs de θnissues de l'équation (11.30). Dans les deux simulations de la Fig. 11.10, on voit que le modèle reproduit parfaitement les variations de θnavec l'ordre harmonique. A mesure que n augmente, λn/δp diminue, l'harmonique devient focalisée par le miroir plasma et sa divergence est imposée par la courbure du miroir plasma. A titre de comparaison, on a représenté la divergence des harmoniques θ0
n, sans enfoncement, i.e lorsque celles-ci ne sont pas focalisées par le miroir plasma. On voit que l'enfoncement augmente considérablement le ratio θn/θL : θ20/θL = 0.8 pour L = λL/8 et θ20/θL = 0.3 pour L = λL/20. 1 23 21 43 3 43 53 63 73 233 243 8 1 8 9A BC D E F D BC8 2345 23467
Fig. 11.10 Evolution de la divergence θn avec l'ordre harmonique n. Les conditions de
simulation sont identiques à celles de la Fig. 11.7. Les points sont les valeurs de θn obtenues à partir
de deux simulations PIC 2D CALDER pour aL = 8, L = λL/8 [rouge] et aL = 6, L = λL/20 [bleu].
Dans chaque cas, les valeurs de Ψ ont été calculées en utilisant le rapport wn/wL issu des simulations
PIC et l'enfoncement δp/λL représenté sur la Fig. 11.5 (b). Dans le cas aL= 8, L = λL/8[ligne rouge],
on calcule Ψ = 0.6685 et θn/θL ≈ 0.8 [θL = 100mrad] correspondant à des valeurs δp/λL = 0.1295 et
wn/wL≈ 0.75 pour n > 15. Dans le cas aL= 6, L = λL/20[ligne bleue] on trouve les valeurs Ψ = 0.2351
et θn/θL≈ 0.33, associées à un enfoncement δp/λL= 0.054et une étendue wn/wL≈ 0.7λLpour n > 15.
La ligne en traits pointillés noirs représente la divergence θ0
n calculée en supposant un enfoncement nul
et en utilisant les tailles de sources wn issues des simulations CALDER.
Ainsi, on voit que l'eet d'enfoncement augmente fortement la divergence θn des har- moniques et limite leur utilisation dans des expériences d'interaction lumière-matière, où l'on souhaiterait par exemple re-focaliser le faisceau harmonique sur un échantillon de ma- tière. En particulier, il réduit considérablement le nombre de cycles optiques Nc maximum que l'on pourra utiliser dans le laser incident pour générer des impulsions attosecondes isolées à l'aide de l'eet Phare attoseconde [cf. Partie 3]. Dans la suite, nous verrons cepen- dant qu'il est toujours possible d'obtenir des faisceaux harmoniques faiblement divergents 190
11.3. Modélisation analytique des propriétés spatiales en défocalisant le laser de la cible pour une large gamme d'amplitudes aL et de longueurs de gradients L.
Avant cela, on étudie l'eet des aberrations induites par la focalisation du faisceau harmonique par le miroir plasma.