Le modèle Baeva-Gordienko-Pukhov (BGP)

Quelques années après Lichters, Baeva et al [10] reprennent l'idée du miroir oscillant et déterminent l'allure du spectre à l'aide d'un minimum d'hypothèses sur la dynamique de la surface du plasma. Ils supposent, à chaque instant, l'existence d'un point Z(t) du plasma où la réexion de l'onde incidente est parfaitement localisé. Le champ transverse est nul au delà de ce point de réexion [pour z > Z(t)]. En z = Z(t), où l'onde rééchie est émise, les champs incident et rééchi se compensent exactement. Le champ rééchi vu par un observateur en z = 0 à un instant t, se calcule à partir du champ incident, en écrivant la nullité du champ électromagnétique au point de réexion et la propagation d'une onde dans le vide. On aboutit aux relations suivantes :

Er(z = 0, t) = −Ei(t′, z = Z(t′)) (2.26)

t = t′ + Z(t′)/c (2.27)

où la réexion a lieu à l'instant retardé t′ et à la position Z(t′). Baeva et al ne remettent donc pas en cause le principe du miroir oscillant mais pousse son principe à l'extrême en supposant qu'il existe quel que soit t, un point de coordonnée Z(t) où la somme des champs incidents et rééchis est nul dans le référentiel de Bourdier. Il est néanmoins important de noter qu'ils ne relient ce point à aucune quantité physique alors que Lichters et al supposent, eux, que ce point correspond à la position de la surface critique.

Remarquons que la condition (2.26), n'est rien d'autre que la conservation de l'éner- gie au point de réexion apparent. A tout instant, les ux d'énergie entrant et sortant du plasma s'annulent en z = Z(t). En d'autres termes le plasma restitue instantanément sous forme du champ rééchi Er, l'énergie que lui a cédé le champ Ei. En utilisant cette hy- pothèse forte, les auteurs dérivent analytiquement deux principales propriétés du spectre harmonique dans la limite ultra-relativiste aL ≫ 1. Il prédisent d'abord que l'intensité spectrale des harmoniques décroît selon une loi de puissance n−8/3 _{avec l'ordre harmo-} nique n. Ensuite, ils montrent que cette loi de puissance s'applique jusqu'à la fréquence de coupure ωc qui varie en γmax3 , où γmax est le facteur de Lorentz maximal du point de réexion apparent Z(t′).

Ainsi, l'extension du spectre varie comme γ3

max. Elle reste donc ecace au-delà de 4γ2

max. En d'autres termes, le décalage en fréquence est plus important lors de la réexion sur un miroir oscillant que sur un miroir en translation uniforme. En eet, dans le cas où le miroir oscille, l'émission des harmoniques d'ordre élevé ne se produit que pendant le bref intervalle de temps δt ∝ 1/γmax [10]. Comme la source se déplace vers l'observateur, ce dernier voit une impulsion comprimée par eet Doppler relativiste, dont la durée est proportionnelle à δt/4γ2

max. Le spectre s'étend par conséquent jusqu'à la coupure ωc ∝ γ3

Chapitre 2. Génération d'harmoniques sur miroir plasma Limites

L'approche de Baeva et al est a priori puissante car l'allure du spectre est obtenue à l'aide d'hypothèses minimales sur le point de réexion : existence de Z(t) et connaissance de l'allure de Z(t) au voisinage de l'instant où γ est maximum. En outre, elle a un caractère prédictif sur l'extension du spectre. De récentes mesures réalisées sur l'installation Vulcan du Rutherford Appleton Laboratory [RAL] par Dromey et al. à des éclairements laser de 1021_W.cm−2_{, semblent conrmer cette loi de décroissance du spectre en n}−8/3 _[32].

En revanche, la loi de coupure est beaucoup plus délicate à confronter avec l'expérience ou les simulations numériques car elle fait intervenir Z(t) via γmax. Or Z(t) ne correspond à rien de physique et n'est pas prédite par le modèle. D'un point de vue expérimental, il est donc impossible de prévoir la coupure du spectre à partir de grandeurs mesurables de l'expérience. Par ailleurs, il apparaît que ce modèle n'est pas pertinent pour rendre

1234 15 1534 14 1434 6 634 1 134 7 734 89A_B CD E C 7 F 3  8 

Fig. 2.11  Densités d'énergie magnétique incidente et rééchie par le miroir plasma. Les courbes montrent l'évolution de |By|2à la distance z = 8.3λL, dans les mêmes conditions de simulations

que celles de la Fig. 2.10.

compte de la génération d'harmoniques d'ordres élevés d'un laser ultra-intense aL > 10 en incidence oblique θ > 0 sur un plasma de prol exponentiel possédant une longueur de gradient L non nulle. Dans ce cas, nous avons constaté que l'existence de Z(t) n'est généralement pas vériée : la Fig. 2.11 montre que le champ de l'onde rééchie peut être d'amplitude supérieure au champ de l'onde incidente, ce qui est formellement impossible dans ce modèle qui prend uniquement en compte les modulations de phase du champ rééchi par le mouvement apparent Z(t) du miroir oscillant. L'hypothèse qui est mise en échec ici est l'équilibre instantané qui existe entre les ux d'énergie électromagnétique entrant et sortant du plasma. En eet, on voit qu'à l'échelle d'un cycle optique, le plasma émet l'énergie incidente que lui a cédée le laser sur une durée beaucoup plus courte que TL. Entre l'instant où elle est cédée puis restituée, cette énergie est en fait stockée initialement dans le plasma sous forme d'énergie cinétique des électrons [vitesse vx] et de champ de charge d'espace [champ électrostatique Ex normal à la cible] lorsque le champ incident pousse les électrons du miroir vers le plasma. Cette énergie est ensuite restituée sous forme d'un burst électromagnétique au moment où les électrons sont fortement accélérés vers le vide et rayonnent. Dans la suite, nous présentons les derniers développements théoriques eectués en 2011 par Gonoskov et al [11] qui ont élaboré un modèle analytique beaucoup 40

2.4. Harmoniques Doppler plus complet incluant ces considérations énergétiques.

2.4.4 Le modèle du ressort électronique relativiste ou RES