C’est une caractéristique très importante du pont formé à la coalescence, qui a été étudiée de manière théorique et expérimentale, comme nous l’avons décrit au2.1.
2.4.1 Cas du régime inertiel
Nous allons étudier la dépendance temporelle de Rm et la mettre en relation avec la loi
d’échelle donnée par l’équation2.7, suggérée par Eggers et Duchemin : R⇤m⇡pt⇤ avec R⇤ m= Rm R et t ⇤ = t ⌧C
Cas des solutions aqueuses :
Pour la séquence étudiée2.2.1, de coalescence de deux gouttes de solution de MgSO4 à 0.4
g.L 1, la largeur du pont, normalisée par le rayon moyen des gouttes, est tracée en fonc-
tion du temps normalisé par le temps capillaire ⌧C( Fig. 12). Pour vérifier la loi d’échelle
2.7, on effectue sur les points expérimentaux une régression par une fonction analytique : R⇤m = C0pt⇤ t⇤0, l’instant t⇤0 indique l’instant de la rupture des interfaces. Dans la ré-
gression, les paramètres d’ajustement sont C0 et t⇤0. Le préfacteur C0 sera à comparer à 1
et aux valeurs trouvées par les précédentes études expérimentales, en particulier celle de Wu et al. [Wu et al.,2004]. Pour le cas expérimental exposé Fig.12, le préfacteur C0 = 1.58±0.03.
t∗ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 R ∗ m 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 points exp´erimentaux courbe de r´egression
Figure12: Evolution temporelle du rayon R⇤
m(t)du pont pendant la phase d’expan-
sion. Ce graphe correspond à la séquence présentée Fig. 3, il s’agit de deux gouttes de solution aqueuse de MgSO4 à 0.4 g.L 1. Les points expérimentaux sont tracés en
rouge et la courbe de régression de la forme R⇤ m = C0
p t⇤ t⇤
0 (en noir) indique ici
une valeur du préfacteur C0 = 1.58± 0.03. Avec la valeur de t⇤0, on peut avoir une
évaluation approchée de l’instant de perçage des interfaces tcoal = t⇤0⇥⌧C < tcam, ce
qui signifie que l’instant de rupture est t = 0 dans la limite de précision temporelle offerte ici.
On peut constater que l’ajustement de la courbe théorique aux données expérimentales n’est pas excellent, ce qu’on peut démontrer aussi en traçant R⇤
m en fonction de t⇤ en dia-
gramme logarithmique (voir Fig.13). Ce graphe logarithmique indique qu’on peut accepter, pour la dépendance de R⇤
expérimentale déjà empruntée par Menchaca-Rocha [Menchaca-Rocha et al., 2001]. Ce der- nier vérifie une loi de puissance pour R⇤
m(t⇤)/ (t⇤)Aavec A ' 0.41 pour l’eau. Le graphe de
la Fig.13indique qu’une loi de puissance est acceptable et correspond assez bien aux données expérimentales, mais le facteur de puissance diffère légèrement de 1/2.
t∗ 10-2 10-1 100 R ∗ m 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 points exp´erimentaux droite de pente 0.46
Figure 13: Diagramme logarithmique donnant l’évolution temporelle de la largeur R⇤m(t), pour la séquence de coalescence de deux gouttes de solution aqueuse de MgSO4
présentée Fig. 3. On met donc en évidence un léger désaccord entre la prévision donnée par la loi d’échelle et les mesures.
Une autre loi empirique semble très bien convenir pour s’ajuster aux données expéri- mentales, c’est une loi en logarithme R⇤
m = r0 log(t⇤ t⇤0) + r1, avec r0, r1 et t⇤0 variables
d’ajustement de la régression. La Fig. 14 montre que l’ajustement est bien meilleur que par une loi de puissance, et ce sera le cas pour toutes les expérimentations avec l’eau pure, les solutions aqueuses et le PDMS, menées dans cette thèse.
Cas du PDMS :
Pour les PDMS, les mêmes conclusions s’imposent, la loi d’échelle2.7est à peu près vérifiée, mais on constate un léger désaccord et une dépendance de R⇤
m(t)en logarithme s’ajuste mieux
aux données expérimentales. La Fig.15 montre l’évolution du rayon du ménisque normalisé R⇤m correspondant à la séquence de la Fig. 6, pour deux gouttes de rayons R1 = 310 µm et
R1 = 320 µm, soit un rayon moyen de R = 315 µm. Comme pour le cas de la solution aqueuse
Fig.13, on peut tester si une loi de puissance peut correctement être ajustée sur les données expérimentales de R⇤
m(t). Le graphe de la Fig.16permet de conclure à un ajustement correct,
et dans le cas présent, conduit à une pente de 0.51 ce qui est plutôt satisfaisant, puisqu’on cherche à vérifier une loi de R⇤
m(t)en
p t⇤.
L’étude systématique de l’évolution temporelle du rayon du ménisque durant la phase d’ouverture a été menée pour toutes les expérimentations, avec l’eau et les solutions aqueuses de MgSO4, et le PDMS. Cela permet dans un premier temps de vérifier la loi d’échelle 2.7.
t∗ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 R ∗ m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 points exp´erimentaux courbe de r´egression
Figure 14: Evolution temporelle de la largeur R⇤
m(t) pour la séquence de coales-
cence de deux gouttes de solution aqueuse de MgSO4 présentée Fig. 3. La courbe
de régression R⇤
m = r0 log(t⇤ t⇤0) + r1 (en noir) indique ici une valeur du facteur
r0 = 0.71± 0.02. Avec la valeur de t⇤0, on peut avoir une évaluation approchée de
l’instant de déclenchement de la coalescence tcoal = t⇤0⇥ ⌧C < te, ce qui signifie que
l’instant de coalescence est t = 0 dans la limite de précision temporelle offerte ici.
t∗ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 R ∗ m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 points exp´erimentaux courbe de r´egression t∗ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 R ∗ m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 points exp´erimentaux courbe de r´egression
Figure 15: Evolution temporelle de la largeur R⇤
m(t) pour le PDMS. Graphe de
gauche : la courbe de régression R⇤
m = C0pt⇤ t⇤0 (en noir) indique ici une valeur
du préfacteur C0 = 0.90± 0.01. Graphe de droite : la courbe de régression R⇤m =
r0 log(t⇤ t⇤0) + r1 (en noir) indique une valeur du facteur r0 = 0.70± 0.02.
Le tableau 2.4 rassemble les résultats obtenus pour les différents fluides, la valeur moyenne du préfacteur C0 apparaissant dans la loi d’échelle et son écart-type sur les mesures.
eau pure MgSO4 0.4g/L MgSO4 0.8g/L MgSO4 4g/L PDMS 5mPa.s
1.7± 0.4 1.7± 0.3 1.9± 0.3 1.7± 0.2 0.90± 0.06 Table 2.4: Préfacteur C0 de la loi d’échelle 2.7pour les différents fluides en régime
t∗ 10-2 10-1 100 R ∗ m 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 points exp´erimentaux droite de pente 0.51
Figure16: Diagramme logarithmique pour le PDMS, donnant l’évolution temporelle de la largeur R⇤
m(t).
Aux incertitudes près, nous pouvons conclure que pour l’eau et les différentes solutions aqueuses de MgSO4, le préfacteur C0 = 1.7± 0.3. Le tableau 2.5 donne le comparatif des
valeurs issues de la présente étude et celles issues des études expérimentales de Aarts et al. [Aarts et al.,2005], Wu et al. [Wu et al.,2004].
source eau méthanol glycérol+eau PDMS 5mPa.s PDMS 20mPa.s
Aarts et al 1.14 1.24 1.11
Wu et al. 1.09± 0.08 1.29 ± 0.05 1.03± 0.07
Chireux 1.7± 0.4 0.90± 0.06
Table 2.5: Comparatif des valeurs du préfacteur C0 de la loi d’échelle 2.7 pour les
différents fluides en régime inertiel.
Les valeurs trouvées sont souvent inférieures à celle prévue pour un fluide non visqueux par les simulations numériques de Duchemin, qui est de C0 = 1.62[Duchemin et al.,2003]. Pour l’eau
et les solutions aqueuses, cependant, les expérimentations menées dans cette thèse conduisent à une valeur de C0 conforme à la prévision des simulations de Duchemin. Quoi qu’il en soit,
la loi d’échelle est basée sur des considérations qui ne prennent pas en compte la non station- narité de l’écoulement lors de l’ouverture du ménisque, c’est aussi pour cela que les modèles d’évolution du pont en loi de puissance ne sont pas pleinement satisfaisants (voir Fig.13 et Fig.16).
Ces graphes permettent d’évaluer le coefficient de puissance de la dépendance temporelle de R⇤
m(t) si on admet une loi de puissance. Les valeurs trouvées dans les présentes expéri-
[Menchaca-Rocha et al.,2001] pour les cas de gouttes posées, qui donnent des coefficients de puissance compris entre 0.41 et 0.55.
Si on n’admet pas une loi de puissance, nous avons vu Fig. 15 qu’une dépendance temporelle logarithmique de R⇤
m donnait un ajustement très satisfaisant aux données expé-
rimentales : R⇤
m = r0 log(t⇤ t⇤0) + r1. Les paramètres t⇤0 et r1 dépendent assez fortement
des conditions initiales de mesure, c’est-à-dire de l’instant exact de la coalescence. Comme les mesures optiques ne permettent pas d’avoir une résolution temporelle et spatiale suffisante pour repérer avec précision l’instant de déclenchement de l’instabilité, ces coefficients ne se- ront pas étudiés plus avant. On peut en revanche s’intéresser au préfacteur r0. La valeur de
ce préfacteur est r0= 0.60± 0.07 pour l’eau et solutions aqueuses et r0 = 0.60± 0.03 pour le
PDMS.
Le fait que le paramètre r0 ne dépende pas des propriétés physiques du fluide, du rayon des
gouttes, du centrage de ces dernières sur l’axe z suggère que les phénomènes se produisant au perçage des interfaces ne jouent aucun rôle dans l’expansion du pont liquide . Cela indique un découplage entre les processus se produisant à l’échelle du nanomètre et ceux se produisant à l’échelle du micromètre.
2.4.2 Cas du régime ILV
Pour le cas de la paraffine, ce fluide est suffisamment visqueux pour qu’on observe un régime intermédiaire Inertially Limited Viscous lors de la coalescence. La forme parabolique du pont nous en donne une première indication, la dépendance temporelle de Rm(t)peut nous
en fournir une deuxième. Cinq films de coalescence entre deux gouttes de paraffine ont été réalisés. On observe bien une croissance linéaire de Rm(t)pour la phase d’expansion, pour 0
t 1ms (voir Fig.17). Les données expérimentales confirment la relation empirique proposée par Paulsen. Les 5 expérimentations réalisées ici conduisent à une valeur du préfacteur C0 =
0.23± 0.03.
Nous avons, dans les paragraphes précédents, décrit la forme et l’évolution temporelle des dimensions du pont durant sa phase d’expansion. Sa longueur et son rayon croîssent au cours du temps, et dans le cas d’un régime inertiel, nous avons défini ce pont entre les gouttes comme la zone comprise entre les deux fronts d’onde de déformation, deux singularités de courbure, créées à l’endroit du contact initial entre les gouttes et se propageant selon l’axe z en sens opposés vers les deux disques d’attache des gouttes. Dans la suite, nous allons décrire la forme de l’interface complet entre le liquide et l’air à l’aide d’une décomposition de Fourier spatiale, et étudier les vitesses de propagation des différentes composantes de cette décomposition. Cela nous permettra de relier les vitesses de phase à la vitesse d’expansion axiale ˙ .
t (ms) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 R m ( µ m) 40 60 80 100 120 140 160 180 200 points experimentaux droite de pente 0.260 m/s tcoal
Figure 17: Evolution temporelle de la largeur R⇤
m(t)du ménisque lors de la coales-
cence de deux gouttes de paraffine. La droite de régression est de pente 0.260 ± 0.003 m/s (en noir). L’origine des temps tcoal est fixée à l’instant où Rm commence à
augmenter.