La dialectique expression-réticence

Devant chaque acte d'expression du professeur, devant chaque énoncé, on peut donc prendre conscience du fait que cette expression est l'expression de quelque chose et renvoie dialectiquement au fait que le professeur pourrait ne pas s'exprimer d'une part. D'autre part, sans même parler des différentes façons de s'exprimer, qui peuvent aussi renvoyer à des positions topogénétiques différentes, le professeur pourrait aussi dire autre chose.

De ce fait, à chaque moment de la séance, le professeur est devant une alternative face à un comportement d'élève. Cela signifie que l'action est conjointe : le professeur a le choix de taire des choses (mais taire quoi et de quelles manières) face à tel comportement d'élève, dire des choses (mais dire quoi et de quelles manières) et ce « taire » et ce « dire » sont nécessairement liés, entrelacés. Reprenons ensemble les énoncés professoraux épistémologiquement et épistémiquement denses et étudions-les à l'aide de « ce voir comme ».

6.7.1 L'étude du contrat/milieu

Nous sélectionnons un extrait de sept tours de parole qui mettent en jeu une alternance d'énoncés professoraux et d'énoncés d'élèves relatifs aux contraintes de la situation sur la production d'écritures mathématiques. Trois élèves Isabelle, Damien et Anne s'expriment, au sein de ce que nous modélisons comme l'étude du contrat/milieu. Nous décidons d'observer les énoncés d'élèves « entrelacés » avec les énoncés du professeur à partir du « voir comme » de la réticence-expression. Regardons attentivement ce passage :

Tdp 28, P : en trois termes/tu as raison/Isabelle Tdp 29, E (Isabelle) : et/heu/et là/deux dés

Tdp 30, E (Damien) : le lancer/le lancer du dé/c'est deux termes

Tdp 31, P : oui/et le lancer/deux termes/le professeur tourne le dos aux élèves et écrit au tableau les contraintes de

l'annonce et du lancer

Tdp 32, E (Isabelle) : deux dés Tdp 33, E (Anne) : lancer/deux dés

Tdp 34, P : deux dés/donc le lancer/le lancer/il est avec deux dés/donc vous avez raison/il y a deux termes.

Dans ce court extrait, nous voyons un professeur qui s'exprime. Observons ce qu'il dit. Tout d'abord, le professeur ne semble rien dire de plus que l'élève ne formule déjà dans les Tdp 27, 29, 30, 32 et 33. Pourtant le professeur choisit de ne pas se taire, alors pourquoi s'exprime-t-il ? Avec le tdp 28, nous entendons le professeur confirmer les propos de l'élève (Isabelle). Il lui signifie qu'elle a raison. En fait, le professeur valide rapidement l'indice prélevé par l'élève. Le professeur pourrait choisir de se taire face au repérage de l'indice pertinent relevé par l'élève puisque celle-ci s'oriente efficacement dans le paysage didactique. Peut-être pourrait-elle, selon l'hypothèse du professeur, engager toute la classe à partir de son « prélèvement d'indices » ? Pour cela, le comportement ou les dires du professeur devront confirmer la pertinence de « la voie choisie », afin de la rendre visible par tous les élèves.

Que semble provoquer l'intervention du professeur ? L'élève, encouragée dans la réussite de la recherche des indices, parle alors de deux dés. Nous constatons des réactions en chaîne. Immédiatement, cela fait réagir un autre élève. Ce dernier précise que le lancer est en deux termes. Il sous-entend la comparaison avec l'annonce en trois termes. Nous notons l'énoncé du professeur, de nature plutôt sibylline : « oui ». Ensuite, il inscrit au tableau les contraintes du lancer constitué de deux termes. Isabelle (notre élève de la première intervention) reprend la parole avec ces mots « deux dés ». Que fait-elle? Par ces deux mots (deux dés), elle relie les énoncés de l'élève Damien et du professeur « deux termes » (la forme symbolique) à la réalité de la situation (les deux nombres obtenus par le lancer de deux dés). Elle fait le lien entre les différents énoncés pour la classe. Nous pourrions dire qu'elle « traduit » les différents énoncés. En fait, dans la conversation didactique, l'élève Isabelle produit majoritairement des opérations de traduction. A son tour, une autre élève (Anne) apporte une précision. Les deux dés sont en rapport avec l'écriture du lancer (Tdp 33). Le professeur laisse l'élève s'exprimer. Ces aller-retour semblent nécessaires pour stabiliser l'étude du contrat/milieu par une réactivation de la mémoire de la situation de jeu. Avec la référence aux dés, l'élève pourrait comprendre et consolider davantage le travail sur les écritures symboliques. L'épisode se referme. L'étude du contrat/milieu n'est pas de jouer avec les dés. Ils sont la référence de la situation vécue précédemment. Celle-ci est envisagée comme une « fondation » nécessaire pour la compréhension des notions mathématiques visées. L'enjeu reste la production d'écritures mathématiques dans le respect des contraintes de la situation. Le professeur use d'expression et par une longue phrase (Tdp 34), il « résume » et ferme l'enquête sur le contrat/milieu des contraintes adéquates.

Le professeur aurait pu choisir de ne pas s'exprimer et d'user de réticence devant le comportement adéquat d'une élève (Isabelle) puisque les indices formulés par celle-ci sont efficacement prélevés et communiqués. Pourtant, la stratégie du professeur est différente. Il commence par de simples encouragements destinés, pense-t-il, à favoriser l'expression de l'élève. L'expression du professeur a un second but : celui de rassurer l'élève de son adhésion. L'adhésion du professeur est une aide « spécifique » pour se repérer dans l'arrière-plan. Il a une « valeur » particulière pour l'élève : l'avis

de celui qui sait. Ainsi, même en peu de mots, il apporte une « plus-value » à l'énoncé de l'élève. Ensuite, le professeur émet une autre supposition. La compréhension des indices pertinents sélectionnés par une élève n'est sans doute pas la garantie de la compréhension par tous les élèves, et notamment, des élèves moins avancés. Comment peut-il alors susciter la diffusion/germination des indices pertinents parmi le reste de la classe ? Par ce court extrait de transcription, nous voyons une pratique de professeur très ouverte. Il laisse de l'espace à une parole « libre » et possible de l'élève. Cela se constate par les interventions spontanées de ce dernier. Mais une pratique « ouverte » ne signifie pas une classe sans professeur. Le professeur, comme nous l'avons montré, dit des choses. L'épisode se clos par une position topogénétique haute occupée par le professeur dont l'enjeu est l'avancée du temps didactique dans la production d'écritures mathématiques sous différentes contraintes.

Cet épisode nous semble montrer un élément signifiant de la dialectique de l'expression/réticence. En effet, nous assistons à la diffusion d'une compréhension « spécifique » (une élève nommée Isabelle/le particulier) à une compréhension « générique », à des stades différents (au reste de la classe) des enjeux de la situation. Cela pourrait être représenté par un schéma composé de plusieurs sphères. Elles illustrent des « états de compréhension » à des stades différents.

6.7.2 La dialectique expression-réticence dans l'élaboration et la diffusion du savoir

Nous tentons par ce schéma une représentation de la « cellule de diffusion/germination ». Il s'agit de « matérialiser » une stratégie professorale destinée à favoriser la diffusion des connaissances en cours de construction dans la classe, par le choix d'une modalité de travail spécifique.

Schéma 1 : une rapide analyse du schéma de la dialectique expression-réticence dans la construction du savoir

Légende : les flèches ( ) indiquent les axes de communication autour du savoir

les flèches montrent les transactions directes

la flèche en pointillée indique les transactions indirectes

Au centre du schéma, les deux petits cercles représentent les instances Professeur et Élève dans le cercle du savoir non symbolisé puisque tous les échanges n'existent que par et dans le savoir à construire (pour cet extrait). L'élève parle au professeur et le professeur parle à l'élève. L'instance professeur ne recherche pas un rapport « affectif » avec l'élève. L'action du professeur est orientée vers la diffusion des indices prélevés à partir du rapport spécifique de « l'élève-expression » (l'élève Isabelle) aux objets de savoir. Il tente par cette stratégie de favoriser une germination collective. La « greffe » semble prendre puisque plusieurs élèves (Damien et Anne) entrent en communication sur ce savoir, à partir de leur propres connaissances et/ou des réminiscences du savoir construit précédemment lors de la dernière situation. Les échanges sont une étude du contrat dans lequel l'élève est amené à produire des écritures mathématiques dans un milieu-problème (avec des contraintes spécifiques). Ce temps organise l'arrière-plan (le paysage didactique) du milieu, propice au « bon déroulement » du jeu demandé par le professeur.

Le professeur validait. Maintenant, il est davantage expressif. Il ne formule pas des éléments autres que ceux présentés par le petit groupe d'élèves. Encore une fois, la stratégie professorale consistait à apporter une « plus-value » aux échanges par sa franche adhésion. De ce fait, il pense créer des conditions favorables au développement de la cellule de diffusion/germination de la compréhension du savoir en construction. En conclusion, l'échange individuel professeur-élève trouve sa justification puisqu'il permet la diffusion des éléments pertinents du milieu-problème dans lequel l'élève doit élaborer des stratégies gagnantes, et la diffusion doit concerner l'ensemble de la classe. Maintenant, nous centrons la poursuite de notre analyse sur l'élaboration de la certitude raisonnée. Nous sélectionnons des tours de parole en relation avec la recherche du nombre représenté par l'annonce « 4 + 4 + 4 » et l'apport d'un objet sémiotique par le professeur. Il s'agit de la ligne graduée dans la recherche de la somme. Nous situons l'extrait choisi dans l'ensemble de l'épisode de la séance. Un élève, Richard, a écrit au tableau une annonce en trois termes selon les contraintes du milieu. L'annonce proposée est la suivante : « 4 + 4 + 4 ». Afin de jouer adéquatement au jeu demandé par le professeur, l'élève doit maintenant connaître quel est le nombre désigné par l'annonce en trois termes. De cette connaissance (la somme du nombre de l'annonce en trois termes) dépend la possibilité de gagner mais elle n'est pas la seule stratégie qui permette le gain puisque l'élève peut comparer. La situation sur l'inégalité permet précisément une majoration et/ou minoration essentielle en mathématique. Ce savoir est important pour l'élève afin de pouvoir proposer un lancer en deux termes plus petit que l'annonce en trois termes. Il existe un désaccord sur la somme effective de « 4 + 4 + 4 ». Le professeur propose alors d'utiliser la ligne graduée pour construire la certitude raisonnée. Celui-ci n'impose pas la juste réponse. Il préfère utiliser un outil sémiotique pour faire élaborer, argumenter et confirmer le nombre désigné par l'annonce en trois termes. Cela pense-t-il doit se réaliser en appui sur une représentation. Observons les échanges :

Tdp 234, P : ha mais justement/pour l'instant/attends/j'avais dit à Christophe que je lui donnais/pour l'instant/c'est bien le sujet de notre discussion/on n'est pas d'accord/y en a qui propose 12/y en a qui propose 13/y en a qui propose 14/et/

nous n'avons pas prouvé Tdp 235, E (Isabelle) : ha/je sais/moi Tdp 236, P : que 4 + 4 + 4 est égale à/ Tdp 237(13mn28), E : je sais comment prouver

Tdp 238, E : 12 Tdp 239, E : plutôt 12

Tdp 240(13mn39), P : alors plutôt 12/oui mais pourquoi/ Tdp 241, E (Damien) : parce que 4/4/ Damien sort quatre doigts

Tpd 242, P : noooon/rires du professeur/avec la ligne graduée Tdp 243(13mn47), E (Isabelle) : je sais comment/ Tdp 244, P : je ne veux que la ligne graduée aujourd'hui

Tdp 245, E (Isabelle) : je sais comment faire Tdp 246, P : alors Christophe/Christophe lève le doigt

Tdp 247, E (Christophe) : c'est 12

Tdp 248, E (Christophe) : mais pourqu/oi mais c'est 12 Tdp 249, E (Christophe) : d'ailleurs

Tdp 250, P : et pourquoi je te croirais

Tdp 251, E (Christophe) : je/je viens de remarquer que ça peut être que 12 parce que c'est heu deux carreaux après/après le tiret de dix

Tdp 252, P : viens nous montrer parce que/moi/je veux bien te croire mais il faut que tu nous prouves

L'élève (Richard) a représenté l'annonce « 4 + 4 + 4 » par trois bonds de quatre sur la ligne graduée. Que nous apprend avec précision cet extrait ? Au Tdp 234, le professeur a fait un rappel sur le désaccord par l'énumération des nombres proposés par les élèves pour la somme de l'annonce en trois termes « 4 + 4 + 4 ». Il cite les nombres 12, 13 et 14. Le professeur pose/repose le problème à toute la classe.

Nous présentons un photogramme de la ligne graduée sur laquelle, l'élève a représenté l'annonce « 4 + 4 + 4 » qui donne à voir, à la fois, une décomposition en trois termes et la somme (le nombre-tout). Pour ce nombre irrégulier « douze », dans lequel le groupe de dix ne s'entend pas, l'outil sémiotique fait correspondre et met en lien cette autre représentation d'un bond de dix plus un bond de deux ( 10 + 2).

Photogramme n°43 : le nombre 12 codé différemment sur la ligne graduée

Date, le 5 décembre 2013

Le nombre de l'annonce (la somme) est tracé sur la ligne graduée. Il est représenté par trois bonds de quatre. Il est aussi représenté par un bond « global/total » qui regroupe les trois bonds de quatre. Nous décrivons rapidement l'outil sémiotique, la ligne graduée sur laquelle l'élève a tracé les bonds. Il s'agit d'une ligne horizontale sans numérotation. Toutefois, elle comporte des graduations de 1 en 1. Celles-ci sont indiquées par de petits traits noirs verticaux. Ensuite, il existe des graduations renforcées (le trait est comme épaissi, en gras) afin de permettre l'identification aisément de certains nombres-repères. Les traits sont donc plus marqués à partir de l'origine (non numérotée) et pour les nombres-repères de 5 en 5. D'autres traits sont également plus marqués et plus longs. Ceux-ci correspondent aux nombres-repères de 10 en 10. Cette différence de trait (l'épaisseur et la longueur), pour les nombres-repères de dix, amène souvent l'élève à parler de « tiret ». Il réserve ainsi le mot « trait » pour toutes les autres graduations.

Que semble provoquer chez l'élève la représentation de l'annonce sur la ligne graduée ? Les Tdp 235, 236, 238 et 239 montrent une certaine cohésion autour de la réponse du nombre 12 pour l'annonce. Une élève s'exprime en disant qu'elle sait et affirme au Tdp suivant qu'elle peut prouver.

Tdp 235, E (Isabelle) : ha/je sais/moi Tdp 237(13mn28), E : je sais comment prouver

Un autre élève de la classe propose alors le nombre 12. Une élève répond comme en écho par « plutôt douze ». Nous ne savons pas ce que signifie exactement ce « plutôt douze ». Fait-il référence à la lecture du tracé des trois bonds de quatre sur la ligne ? Correspond-il à une estimation du grand bond (la somme) ? Est-il une prise de position en rapport au choix proposé par le professeur des trois nombres cités au début de l'extrait ?

Tdp 238, E : 12 Tdp 239, E : plutôt 12

Le Tdp 240 indique le début de l'élaboration de la certitude raisonnée. Ici, l'annonce « 4 + 4 + 4 » désigne le nombre 12. Le professeur commence par la stratégie de l'adhésion (adhésion à la réponse de l'élève) et continue par une demande d'explication/d'argumentation. Il s'agit bien du nombre 12 mais comment obtenir la certitude – sinon, pourquoi pas le nombre 13. Un élève (Damien) cherche à prouver le calcul du nombre 12 avec l'usage des doigts en appui sur les répertoires additifs.

Tdp 241, E (Damien) : parce que 4/4/ Damien sort quatre doigts

Le professeur arrête l'élève. Il ne souhaite pas favoriser cette démonstration et il va l'arrêter. La preuve est sur la ligne graduée. Isabelle prend à nouveau la parole pour préciser qu'elle sait prouver mais le professeur choisit un autre élève. Christophe levait la main. La réponse de l'élève, nous semble-t-il, est intéressante. Toute la classe est à la recherche de la preuve pour démontrer que l'annonce « 4 + 4 + 4 » est une désignation du nombre 12. Il est à remarquer que Christophe dit simplement : « c'est 12 ».

Tdp 247, E (Christophe) : c'est 12

Pour contraindre l'élève à expliciter, à démontrer ou même à justifier davantage son calcul, quelle pourrait être la stratégie du professeur ? Il commence par encourager l'élève. Le professeur veut bien croire la réponse de l'élève mais il n'accepte pas l'hésitation (il recherche la certitude). Toute la question repose sur « comment prouver le nombre 12 ? » Là encore, l'échange entre le professeur et l'élève est une stratégie. L'élève avancé (Christophe) doit « contaminer » le reste de la classe. Le professeur ne peut se taire et il use d'expression pour maintenir les transactions sur le savoir (la preuve). Nous pourrions peut-être dire : rendre les transactions « parlantes » pour tous - sinon les éléments de savoir pourraient ne pas se disséminer. Les trois tours de parole suivants (Tdp 249, 250 et 251) apportent des précisions. La réponse de l'élève avancé « c'est 12 » correspond à une évidence pour lui, une certitude qu'il n'interroge pas. Même la demande de preuve du professeur n'a pas entamé sa certitude sur le nombre représenté par « 4 + 4 + 4 ». L'élève sait. Il est certain du nombre désigné sous la forme additive « 4 + 4 + 4 » et c'est 12. Le professeur souhaite que cette certitude essaime. L'élève commence à interroger non pas sa réponse (c'est le nombre 12 et il le sait) mais l'adéquation du nombre 12 et la représentation de la ligne graduée. Il semblerait que ce qui crée un étonnement chez l'élève concerne les deux représentations de douze (la ligne graduée et le calcul de Christophe) bien que différentes et qui pourtant disent la même chose. Christophe est un élève avancé, il pense avec les calculs. Il est dans la symbolisation et il peut utiliser des résultats partiels pour calculer. Une décomposition comme « 4 + 4 + 4 » ne lui pose pas de véritable problème puisque qu'il sait/connait le nombre-recherché (12). Pourtant, il prononce le mot « d'ailleurs » et son visage marque un étonnement. Nous pouvons faire l'hypothèse qu'il s'agit sans doute de l'affichage du double point de vue sur le nombre douze qui alimente cette « curiosité ». Essentiellement, l'étonnement semble provoqué parce que les deux représentations différentes peuvent être lues en même temps sur la ligne graduée et désignées le même nombre.

Tdp 249, E (Christophe) : d'ailleurs

Ce « d'ailleurs » montre un élève interrogatif, il vient de remarquer une chose importante. La stratégie du professeur est de maintenir un niveau de transactions important à partir de la « cellule de contagion » pour essaimer. Le professeur continue d'user d'expression. Il redemande à l'élève : pourquoi devrait-il le croire ?

Tdp 251, E (Christophe) : je/je viens de remarquer que ça peut être que 12 parce que c'est heu deux carreaux après/après le tiret de dix

quatre) est deux carreaux (deux graduations) après le tiret de dix.

Le professeur pourrait face au comportement de l'élève se taire puisque la preuve est enfin affichée et formulée. Pourtant, le professeur parle. Que choisit-il de dire ? La ligne graduée montre le nombre désigné par la somme avec le tracé du « grand bond ». Il semble important que tous les élèves s'accordent sur cet élément.

Tdp 262, P : nous montre que ce tiret/montre-nous encore Christophe parce que je crois que tous les yeux n'étaient pas sur le tableau/

La certitude raisonnée s'élabore peu à peu. Cela se réalise conjointement. Nous notons l'aide de l'élève avancé (les énoncés de Christophe), dans la progression du temps didactique, entrelacée aux énoncés du professeur qui parle beaucoup. Ce dernier entretient les transactions sur le savoir à construire. Il guide l'élève dans l'argumentation. Il communique avec la classe, sur le savoir, par l' « entente » avec un élève. Le professeur recherche l'entente commune à l'aide de l'entente particulière. L'élève va donc reformuler la démonstration/la preuve de la désignation du nombre 12. Il consolide la certitude. Pour cela, le professeur va lui demander de recommencer la démonstration. L'élève avancé, pour qui ce savoir est déjà une certitude, utilise des mots différents à la seconde argumentation. Le Tdp 251 (12 parce que c'est heu deux carreaux après/après le tiret de dix) parle de deux carreaux après le nombre 10. Ensuite, l'élève surcompte à partir de dix et énumère les nombres 11 et 12 mais il assure la certitude à la classe, c'est toujours le nombre 12.

Tdp 263, E (Christophe) : ça c'est 10/11/ et 12

Tdp 264(14mn44), E (Isabelle) : ben oui/mais il devrait faire un trait en dessous pour bien montrer que c'est dix/en dessus

Isabelle demande alors un trait en dessous (un bond) pour représenter la quantité de dix parce que