La chronologie de la production d'énoncés de problèmes

Durant le premier trimestre, l'élève expérimente les petits nombres à travers différentes contraintes dans la situation du jeu des annonces « Dé et doigts ». Il explore les nombres ≤ 6. Il résout des problèmes puisqu'il recherche, par exemple : comment faire six avec les deux mains. Puis, il réalise le module Différence. Il s'agit, à partir de la comparaison de deux annonces, de percevoir et de calculer le nombre-écart à ajouter à l'annonce la plus petite et/ou le nombre de plus à l'annonce la plus grande pour obtenir deux collections/deux nombres équipotents. En parallèle, le module Résolution de problèmes commence une imprégnation visant la catégorisation des types de problèmes avec des énoncés comme : « un train a 4 wagons. On ajoute 2 wagons. Combien en a-t-il en tout ? » mais aussi « un train a 3 wagons au départ de Rennes. Lorsqu'il arrive à Paris, le train a 5 wagons. Combien a-t-on ajouté de wagons ? ». C'est à la suite de ce travail en Résolution de

d'énoncés mathématiques.

1.2.1 Les listes

Il s'agit d'un premier travail à partir de listes de fruits et légumes dans le Journal du Nombre. La classe, sous l'incitation du professeur, décide de créer deux listes A et B à partir desquelles l'élève produit des calculs qu'il résout. Les élèves ont été confronté à la comparaison dès le début de la recherche ACE, par exemple avec la situation des trains pour connaître le train le plus long. Également entre deux annonces, l'élève a déterminé qui a le plus ou le moins par la comparaison. La comparaison est ainsi un prodédé fréquemment mis en œuvre dans les modules des différents domaines.

Le professeur et la classe sélectionnent ensemble une catégorie d'objets. Ce sera la catégorie des fruits et des légumes. Ensuite, l'élève partage la page du journal du nombre en deux. Il note dans la colonne de gauche « liste A » et dans la colonne de droite « liste B ». Maintenant, la classe décide des objets contenus dans les listes A et B. Les objets seront identiques dans les deux listes. Ceci permet d'expérimenter à nouveau les procédés découverts et mis en œuvre dans les modules

Situations et Résolution de problèmes. Après accord, le professeur écrit le nom de l'objet dans les

listes A et B, l'élève fait de même dans son Journal du Nombre. La classe décide, ensuite de la quantité de fruits et/ou de légumes pour la liste A (pour le premier objet, ici, les oranges). Puis chaque élève ajoute librement la quantité, c'est-à-dire le nombre d'objets présents dans la liste B (pour le premier objet, ici, les oranges). Puis, c'est le tour du second objet choisi conjointement, les pommes. La classe décide ensemble du nombre pour la liste A puis c''est l'élève qui choisit le nombre qu'il désire noter pour chaque objet de la liste B, avec le même procédé pour le dernier objet. Le professeur impose toutefois une contrainte. Les nombres choisis pour les listes ne pourront être supérieurs à 20 (les nombres possibles sont donc compris entre 0 et 20 pour les premières listes).

Nous présentons deux productions d'élèves dont les listes A sont identiques puisqu'elles sont élaborées conjointement. Elles comprennent, toutes les deux, 5 oranges, 2 pommes et 3 poires. La liste B diffère dans les nombres inscrits pour les quantités par l'élève (les objets sont les mêmes que pour la liste A avec les oranges, les pommes et les poires). Par exemple, la liste de B de Joseph contient 4 oranges, 5 pommes et 10 poires. La liste B de André comprend 10 oranges, 8 pommes et 10 poires. Les listes A et B de ces deux élèves sont donc partiellement différentes puisque les listes A sont communes avec des listes B différentes. Ce point est important puisque les calculs effectués par l'élève devront être mis en relation avec les listes A et B pour lui mais pour la classe également. Les calculs devront donc s'inscrire dans chaque histoire « particulière » notée dans le Journal du Nombre. Comme les calculs sont différents, la classe va être contrainte de chercher à quelle recherche correspond le problème-calcul. Il s'agit d'établir la correspondance de l'écriture du calcul avec l'histoire du problème qu'il raconte.

Photographie n°44 : le Journal du Nombre de Joseph

Date, février 2014

L'élève produit cinq calculs avec les nombres des listes A et B. Au début, la classe recherchait simplement si les calculs étaient vrais. Par exemple, un élève disait : « je prends parce que 3 + 2 = 5, c'est vrai ». Un autre répondait : « par contre, moi, je ne prends pas 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 parce que ce n'est pas vrai ». Un autre élève répondait : « il n'y a même pas de 1 dans les listes, alors c'est pas vrai ». En fait, il s'agit sans doute du nombre 7 formé à l'envers. C'est une hypothèse mais généralement, l'élève (Joseph) trace le nombre 4 « fermé ». A la suite de ces échanges, le professeur demandait ce que raconte précisément le calcul. L'auteur du calcul expliquait alors qu'il avait calculé ensemble les pommes et les poires de la liste A. C'était donc l'histoire du nombre de pommes et poires de la liste A (sans les oranges). Ensuite, la classe recherchait les histoires corespondantes aux autres calculs, par exemple, pour le calcul 5 + 3 = 8. Il s'agit de la recherche du nombre de pommes en tout (le nombre total des pommes des listes A et B). Sur la production, l'élève a noté 5 + 3 + 8. Le second signe « + » (celui avant le nombre 8) est à remplacer par le signe « = ». Ce travail semblait nécessaire pour lier les listes et les calculs puis les calculs aux histoires racontées par les calculs.

Photographie n°45 : le Journal du Nombre de André

Date, février 2014

La seconde production montre le travail d'un élève qui réalise les calculs à partir uniquement de la liste B. Il code la liste B avec les écritures additives 10 + 8 + 10 = 28 et 8 + 10 + 10 = 28. C'est l'histoire du nombre total de fruits (de tous les fruits) contenus dans la liste B. L'élève semble réinvestir un « savoir que » et un « savoir comment » dans la recherche de problèmes à partir des listes. En effet, la première écriture additive ajoute les nombres selon l'ordre de la liste B (10 oranges + 8 pommes + 10 poires). Pour la seconde écriture additive, l'élève écrit le nombre de pommes (8) et regroupe côte à côte les deux dix (10 + 10). Il semble que le répertoire additif (10 + 10 = 20) connu et mémorisé, amène à penser le problème comme 8 + 20 ou peut-être bien 20 + 8, et le calcul de la somme 28.

1.2.2 Le questionnement des élèves sur la constitution même des listes

Lors de ce travail sur la constitution de listes, des élèves sollicitent le professeur pour des informations complémentaires. Voici une liste de questions non exhaustive : « Le zéro peut-il être utilisé dans les listes ? « Peut-on utiliser deux fois le même nombre dans la liste ? » « Un même nombre peut-il être écrire plusieurs fois et pour un même objet (dans la liste A et dans la liste B) ? A chaque fois, le professeur ne répond pas mais il renvoie directement la question de l'élève au groupe-classe. Le professeur cherche à construire une référence, une habitude commune de

constitution des listes. Il a explicité le choix de « bloquer » les nombres à 20, sous la sollicitation de quelques élèves qui désiraient utiliser de très grands nombres. Le professeur argumente que les listes ne peuvent comprendre de grands nombres puisque celles-ci ne sont pas des listes pour la gestion de magasin.

1.2.3 La naissance des questions

Puisque certains calculs ne sont pas en adéquation avec les listes, la classe décide de rechercher à l'oral les questions à envisager à partir des listes A et B. Cela entraîne une interrogation massive chez certains élèves : « c'est quoi une question ». En fait, la classe va s'interroger sur ce que représente une question. Les différents exemples proposés par les élèves comme « comment tu t'appelles ? », « Est-ce que tu veux un bonbon ? », « quel âge as-tu ? », « Où habites-tu ? » « Combien de gâteaux as-tu ? » apportent des informations sur les différentes questions possibles. Ensuite, la classe, toujours sur le temps de l'incitation productive collective, recherche et formule des questions génériques (puisque les élèves n'ont pas les mêmes nombres). Ils s'interrogent sur ce qu'ils peuvent rechercher à partir des listes A et B crées. Ces questions sont soumises à la discussion lors de ce temps (l'incitation productive collective). Par exemple, les élèves n'ont pas le même nombre de tomates mais tous les élèves possèdent l'objet « tomate » écrit dans les listes dans le Journal du Nombre. Il est alors possible de questionner combien il y a des tomates dans les listes A et B ou combien il y a de tomates en plus ou en moins dans une des listes mais également combien les listes comprennent de fruits ou de légumes en tout. L'incitation productive collective n'est pas forcément un temps de calcul écrit puisque chaque Journal du Nombre peut/doit être différent par les quantités. C'est un temps consacré à la recherche de problèmes à l'oral et de problèmes

génériques. Généralement, les élèves comparent les objets de la liste A et les objets de la liste B. Ils

réalisent des calculs sur les objets de la liste A et d'autres calculs à partir des objets de la liste B. Aussi, il est facile pour le professeur de demander à quoi sert la présence de deux listes. Ensuite, la comparaison semble se déplacer d'un objet de la liste A vers un objet de la liste B, mais le calcul ne procède pas forcément sur la catégorie (par exemple, l'élève compare le nombre de tomates de la liste A avec le nombre de radis de la liste B. Par exemple, cela permet de connaître qu'il y a plus radis que de tomates et de combien...). Souvent, la comparaison s'effectue sur deux objets uniquement. La somme des objets de la liste A et celle de la liste B interviennent plus tard. Encore plus tardivement, la comparaison des deux nombres-sommes (la somme de chaque liste).

1.2.4 Le retour sur les calculs

Mais bien avant tout cela, la classe observe les productions dans le Journal du Nombre. Un élève place sa production sous le visualiseur et lit/explique les calculs effectués. La classe discute si elle « prend ou ne prend pas » les calculs/problèmes. Très souvent, les élèves valident si le calcul est vrai. La classe, les élèves et le professeur cherchent alors à relier les calculs/problèmes à l'histoire racontée. Ils recherchent, à l'aide des listes, quelle peut être l'histoire mathématique racontée par le calcul. Parfois, le calcul est vrai mais l'histoire n'existe pas. Parfois, le calcul est erroné mais l'histoire existe ou encore un même calcul raconte plusieurs histoires. Les élèves tentent de coordonner les calculs avec les listes (les histoires des calculs).

1.2.5 Une double-page de deux Journaux du Nombre

Nous allons à l'aide de la comparaison de deux doubles pages, travail réalisé sur les listes dans le Journal du Nombre, expliciter et développer davantage notre propos. Les productions qui suivent sont la poursuite du travail sur la constitution de listes. Maintenant, les élèves sont rodés à l'élaboration de listes, de plus, ils comprennent l'enjeu du travail. Les noms des objets contenus dans les listes sont encore négociés lors de l'incitation productive collective mais l'élève, dans cette phase

choisit les nombres pour la liste B mais également pour la liste A. Bientôt, l'élève sera complètement autonome. Il sélectionnera lui-même les objets de la catégorie décidée colletivement. Nous montrons les double-pages que nous fragmentons ensuite pour les besoins de l'explicitation.

Le Journal du Nombre de Damien

Photographie n°46 : les fruits et les légumes (auteur Damien)

Date, le 19 février 2014

1.2.6 Le cadrage de la constitution des listes

La double page de chaque Journal du Nombre (Celui de Isabelle dessus et celui de Damien ci-dessous) montre sur la page de gauche un travail semi-collectif issu de l'incitation productive collectif. La catégorie d'objet est choisie collectivement mais les calculs/problèmes sont individuels puisqu'ils sont liés aux listes A et B propres à l'élève pour les quantités. Ce sont ces calculs/problèmes qui nourrissent un débat collectif. Ce temps permet de travailler le contrat et place l'élève en position de connaisseur de l'enjeu du jeu spécifique demandé par le professeur. Il peut ensuite, sans la garantie de gagner, apprendre à jouer. La page de droite de chaque Journal du Nombre (Isabelle et Damien) correspond à cette recherche. L'élève recrée deux listes A et B. Pour ne pas être pénalisé par l'écriture des noms des objets, il représente/dessine les fruits et les légumes. Nous montrons dans le chapitre 4 différents procédés (listes de mots, tampons …) pour la constitution de listes puis nous sélectionnerons quelques énoncés de problèmes réalisés par les élèves.

Le Journal du Nombre de Isabelle

Photographie n°47 : les fruits et les légumes (auteur Isabelle)

Dates, le 19 février 2014 et 20 février 2014