Les secondes mises en œuvre dans la classe et les évolutions (année 2) : la production collective de l'incitation et la définition des règles du jeu collective de l'incitation et la définition des règles du jeu

Nous souhaitons que chaque élève produise des mathématiques. Nous désirons laisser du temps afin que chaque élève s'approprie l'enquête collective et individuelle. Lors de l'entrée dans la symbolisation, nous décidons de favoriser la production collective et individuelle. Pour cela, nous faisons l'hypothèse de la nécessité de la construction d'une référence commune à tous par la mise en place de modalités spécifiques de travail dans la classe. Il s'agit du débat pour favoriser l'incitation à la production collective puis individuelle et du dispositif d'anticipation. Ces différentes modalités auront-elles un impact sur les productions des élèves moins avancés ?

Le Journal du Nombre et le groupe d'anticipation (nous allons présenter une première description de ce dispositif ci-dessous) nous semble permettre de traiter les obstacles en aval que les élèves rencontrent dans la construction du nombre. Les modalités de remédiation ou de reprise ont des avantages certains mais elles interviennent après et parfois très longtemps après la « mise en difficulté ». L'explicitation de la production collective de l'incitation sera illustrée par des séances réalisées lors de l'année 2013/2014. Nous tentons une structuration de séances réalisées et centrées autour du Journal du Nombre afin d'élaborer la construction d'un arrière-plan nécessaire, pensons-nous, au travail de nos hypothèses. Nous décrivons maintenant certaines leçons et deux sortes de structurations de l'incitation productive collective. Nous produirons ensuite une étude spécifique, au chapitre 3, de cette incitation productive collective.

La structuration 1 sera décrite ci-dessous de la manière suivante :

3.2.1 Structuration 1, la production collective de l'incitation avec la définition des règles du jeu

Les élèves sont à leur place et le professeur est placé devant la classe près du tableau. Les journaux du nombre ne sont pas distribués. Il s'agit de lancer un débat autour d'une écriture mathématique. La discussion collective doit alimenter les productions individuelles dans le journal du nombre lors de la phase suivante, le travail individuel. Ce travail comprend plusieurs phases.

La phase 1 correspond à l'ouverture du débat dans la classe autour du savoir mathématique. Il s'agit de construire une référence pour tous, à l'intérieur de laquelle chacun pourra travailler et étudier. Ce temps construit l'entente autour du savoir par la construction d'une production collective. Cette production est le résultat de l'analyse collective des premières propositions des élèves. Elle est l'étude menée à partir des échanges autour d'un savoir. Le savoir n'est pas formalisé. Les élèves, par la discussion, en précisent les contours. Chaque élève, par sa participation, peut et doit faire évoluer cette construction collective. Ensuite, celle-ci restera visible comme le témoin du travail accompli ensemble et à poursuivre individuellement. La trace écrite est la mémoire de la classe.

Donnons un exemple de ce travail.

Ce matin, le professeur propose aux élèves de choisir un nombre. Le nombre sept est sélectionné. Au tableau, le professeur écrit le nombre 7 suivi du signe « = ». Les élèves sont rapides et font des propositions orales comme 4 + 3 parce que « 4 + 3, c'est 7 » ou bien encore « c'est égal à 7 ». Le professeur propose alors à un élève de venir au tableau écrire sa proposition. Il reste au groupe à valider l'écriture notée au tableau. Le professeur renvoie donc cette validation au groupe-classe. Les élèves acquiescent. Maintenant, c'est au tour d'un second élève. Il poursuit le travail commencé. Le travail prévu par le professeur consistait à produire des écritures additives à plusieurs termes et à montrer les équivalences. Le second élève va accrocher sa proposition à la première écriture additive. Il utilise alors un signe mathématique différent de celui de la première écriture additive. Il emploie pour cela le signe « - ». Sur le tableau, l'écriture notée est la suivante, 7 = 4 + 3 = 8 – 1. Ce temps correspond au temps de l'incitation productive collective décrit dans le chapitre 3. Nous répétons que le professeur cherche à élaborer une production conjointe, « alimentée » par les

propositions des différents élèves. Le professeur choisit de faire évoluer l'enquête d'un statut générique à un statut spécifique. Pour cela, il est nécessaire que la production réalisée au tableau se poursuive avec le choix/la proposition d'un élève. Ce dernier vient au tableau et il prend la main sur le déroulement de l'enquête par la proposition émise (l'écriture d'une décomposition du nombre sept). L'enquête devient réellement spécifique puisqu'elle est dépendante des connaissances des élèves présents dans la classe à un temps donné.

3.2.2 Le débat

L'écriture avec les signes « + » et « - » et deux « = » nourrit le débat. Les élèves explorent certaines questions. La première réaction est en rapport avec l'écriture 8 – 1. Richard, élève moins avancé et participant au groupe d'anticipation rejette cette écriture. Il précise que cela fait 9. Un nombre important d'élèves paraît être d'accord avec lui. Christophe, élève avancé affirme quant à lui que cela fait 7 parce qu'il ne s'agit pas du même signe mathématique. Une autre élève, Anne, confirme. « Ce n'est pas 9 parce que tu n'as pas plus ». Elle tente de procéder à une démonstration et parle de moins et d'enlever. Nous avons recours aux doigts. Nous convoquons le jeu des annonces pour comparer ce qui est pareil et ce qui est différent. Un élève montre 8 doigts, le second élève montre un doigt. Nous nous accordons sur le nombre 7. Mais Richard n'est toujours pas d'accord. Et cette fois-ci, le désaccord porte sur la présence de deux signes « = ». La question est renvoyée au groupe. Les élèves s'interrogent. Au début, la majorité de la classe semble invalider l'écriture avec deux signes « = » comme une écriture impossible parce que jamais vue. Les élèves observent. Puis un changement d'appréciation se produit. Les élèves approuvent puisque « c'est possible parce que c'est toujours égal à 7 ».

3.2.3 La construction de la référence commune

La classe est apparemment d'accord sur l'écriture qui désigne le nombre 7. Nous poursuivons la construction de la référence commune dans la classe afin de rendre les élèves autonomes dans l'étude et la production d'écriture lors de la phase individuelle. D'autres écritures sont alors proposées et portées à la discussion. Anne écrit alors 5 + 2 + 0. Dans un premier temps, Killian refuse avec le motif qu'il n'y a pas de zéro sur le dé. Cet argument est rejeté dans la discussion puisque nous ne travaillons pas dans le jeu des annonces « dé et doigts ». C'est au tour de André de poursuivre avec l'écriture 3 + 3 + 2.

Le professeur signale alors qu'il ne « prend pas » cette écriture. Certains élèves s'interrogent : le rejet concerne peut-être le nombre de termes. Même André, auteur de l'écriture, s'apprête à modifier celle-ci afin de réduire l'écriture proposée à 2 termes. La consigne ne précise pourtant pas le nombre de termes. Une écriture en trois termes est donc recevable. Il est nécessaire, pour les élèves, de chercher à nouveau le pourquoi du refus. Finalement, la classe se met d'accord sur 3 + 3 + 1. L'écriture 3 + 3 + 2, c'est 8 et ce n'est pas le nombre 7.

Voilà l'écriture maintenant présente sur le tableau, 7 = 4 + 3 = 8 – 1 = 7 = 3 + 3 + 1. Dans cette écriture, un nombre perturbe une élève, Isabelle. André a réécrit 7 avant la décomposition additive 3 + 3 + 1. Isabelle s'interroge sur le pourquoi de ce 7. Nous discutons rapidement puis nous finissons pas l'effacer puisque déjà proposé au début. Nous continuons la recherche des écritures égales au nombre 7. D'autres propositions seront faites comme 1 + 3 + 3 par Adrien. La classe validera avec l'argument qu'il s'agit de la même écriture. Elle est « en miroir ». Nous obtenons avec Killian l'écriture suivante 3 + 3 + 3. Celle-ci est rejetée parce que « cela fait trop ». George, élève moins

avancé, fait la proposition suivante 1 + 3 + 3. Nous ne la prenons pas puisqu'elle est déjà écrite au

3.2.4 Une question perdure pour Richard et la prise en charge de l'erreur par la classe

Nous ne pouvons pas écrire cette grande écriture qui fait beaucoup plus que 7. Richard vient lire la grande écriture produite collectivement au tableau. A chaque signe « = », il lit le signe « + ». Il argumente en disant : « je ne suis pas d'accord. 7 + 7 + 7 + 7 + 7, c'est beaucoup plus que 7 ». Cela fait au moins 59. Ce à quoi Christophe répond : « mais tu te trompes Richard, ce n'est pas un signe « + », c'est un signe « = ». Nous lisons donc cette grande écriture. Les élèves, en général, lisent ce qui est écrit 7 = 4 + 3 = 8 – 1 = 3 + 3 + 1 = 6 + 2 …..mais l'élève avancé propose de lire autrement. Il annonce 7 est égal à 7 qui est égal à 7 qui est encore égal à 7.... Les uns parlent les décompositions écrites au tableau, les autres le nombre-tout, identique à chaque fois. Pour Richard, il s'agissait d'un nombre très, très grand peut-être en rapport avec la longueur de l'écriture, c'est-à-dire l'espace occupé par l'écriture sur le tableau, la longueur produite par l'écriture. Il proposera 900 000. Christophe, toujours près du tableau, écrit le nombre proposé par Richard pour lui prouver son erreur. Mais Richard invalide cette écriture et demande à la place le nombre 900 000 composé uniquement de chiffres neuf. Il soutient que 900 000 s'écrit 999 999. Christophe barre le nombre écrit avec des neuf. Nous ne tranchons pas cette question pour l'instant. Une élève propose d'appeler ce que nous venons de construire collectivement « le train du sept ».

3.2.5 La phase 2 correspond au travail individuel dans le Journal du Nombre

Les cahiers sont maintenant distribués. Nous avons changé d'outil scripteur. Depuis le début de l'année scolaire, nous travaillons avec le crayon gris. Les élèves effaçaient les erreurs malgré des moyens mis en œuvre explicités comme mettre entre parenthèses ou barrer afin de garder les traces. Le professeur souhaite observer l'évolution des productions. Il a alors interdit la gomme. Cela a un peu amélioré la permanence des traces. Ce n'était pas suffisant. Par la suite, nous avons opté pour le feutre.

Après cette phase collective, nous choisissons un autre nombre pour le travail individuel dans le Journal du Nombre. Un élève propose 8. La classe s'engage à « écrire les écritures » du train du nombre 8. Isabelle formule tout haut : « cela va être dur ». Ensuite, elle dit : « est-ce que l'on peut copier ce qui est sur le tableau ? » La question est soumise à la classe. La réponse arrive très vite. Ce qui est écrit au tableau n'est pas le nombre huit. Christophe donne une information capitale : « il suffit d'ajouter plus un à toutes les écritures additives ».

Les élèves travaillent dans le journal du nombre. A un certain moment, le professeur va appeler les quatre élèves du groupe d'anticipation, avec qui il va travailler pendant que le reste de la classe produit dans le journal du nombre.

3.2.6 La notion d'anticipation

Le travail au sein du groupe d'anticipation est lié au Journal du Nombre Nous définissons rapidement, selon nous, l'enjeu du groupe d'anticipation. Ensuite, nous expliciterons nos hypothèses de travail sur la liaison entre le Journal du Nombre et la modalité du groupe d'anticipation. Comme nous l'avons précisé ci-dessus, nous reprendrons dans une autre partie de la thèse l'étude spécifique du dispositif d'anticipation.

Le choix du professeur, pour cet exemple, est l'étude du module 7 « soustraction/différence » avec les élèves du groupe d'anticipation. Il privilégie des séances régulières mais courtes. Initialement, le travail est prévu pendant une vingtaine de minutes. Le groupe se compose de quatre élèves et du professeur. Le nombre est volontairement restreint pour favoriser l'expression, l'émergence et la prise en charge de l'erreur collectivement mais aussi le ralentissement du temps didactique si nécessaire. L'essence du groupe d'anticipation est l'entrée dans le nouveau savoir qui autorise l'étude d'obstacles récurrents. Il s'agit de favoriser le questionnement et l'étude mathématiques. C'est un groupe « hétérogène », ce n'est donc pas un groupe de niveau. Nous faisons l'hypothèse que ce sont

les échanges entre les membres du groupe qui permettent une avancée du temps didactique. L'élève

plus avancé est une aide pour le professeur. Le groupe se compose d'une élève avancée, deux élèves moins avancés et un élève presque hors jeu.

Le professeur n'envisage pas l'anticipation comme une reprise ou une répétition du travail à suivre en classe entière. Il s'agit de permettre à l'élève moins avancé de reprendre une place parmi les autres élèves. Dans un premier temps, il prendra appui sur les propositions de ses camarades. Pour cela, les activités mises en œuvre doivent lui permettre d'agir sur le temps didactique, d'oser proposer pour ensuite anticiper une réponse afin de posséder une puissance d'action. L'objectif n'est pas de doter l'élève moins avancé de « recettes » pour fournir des réponses justes.

Nous reprendrons en détail l'étude du dispositif d'anticipation.

3.2.7 La phase 3, le regard collectif sur les productions

Maintenant, les élèves travaillent activement dans le Journal du Nombre. Le professeur observe silencieusement les écritures des élèves. Il passe dans les rangs. Le groupe d'anticipation n'est pas encore au travail. Pour l'instant, tous les élèves travaillent dans le Journal du Nombre. Le professeur est parfois interpellé par un ou deux élèves sur ce que l'on peut faire ou pas dans le Journal du Nombre. Les élèves disent souvent : « est-ce que l'on a le droit de ... » Le professeur essaie de renvoyer la question et toi « qu'en penses-tu ? » L'élève explique alors ce qu'il pense avoir compris. En fait, l'élève se retrouve dans la position du professeur. Il doit émettre un message oral destiné au professeur pour expliciter l'enjeu du travail d'écritures mathématiques. Cette formulation à voix haute de la tâche peut aider à structurer la pensée puisque généralement l'élève se remet ensuite au travail.

Lorsque le professeur commence à percevoir des signes de ralentissement de l'activité d'écriture, il décide alors d'exploiter certaines productions. Il cherche à la fois à maintenir la recherche et favoriser la contagion. Ce temps pourrait aussi permettre aux élèves « hors jeu » qui sont hors de l'activité d'être à nouveau dans le jeu de la classe. Les nouvelles écritures produites par des pairs sont données à voir et commentées. Les élèves « hors jeu », s'ils ne peuvent produire dans un premier temps des écritures, peuvent prendre appui sur les productions et participer au débat.

La production d'Anne dans le Journal du Nombre

Photographie n°21 : le Journal du Nombre d'Anne (le nombre 8)

Date, le 11 décembre 2013

Nous coupons le production verticale d'Anne sur l'écriture du nombre 8. Le nombre est perçu comme comme une écriture additive et il est à noter le nombre importante d'écritures avec trois termes. La première production montrée à l'ensemble de la classe est issue du Journal du Nombre d'Anne. Nous observons les décompositions additives mais également plusieurs écritures du type 10 – 2 = 8. Nous remarquons des décompositions additives de plus de deux termes. En fait, il s'agit d'un train disposé à la verticale composé de nombreuses décompositions du nombre 8, avec les signes « + » et « - ». Nous exposons la suite de la production photographiée.

Photographie n° 21 (suite) : le Journal du Nombre d'Anne (le nombre 8)

Date, le 11 décembre 2013

Il nous semble important de souligner deux éléments, la présence des signes « moins » et « égal » dans les écritures de l'élève. Un autre élève de la classe (Jean-Louis) montre un second travail sur les écritures du nombre 8.

Photographie n°22 : le Journal du Nombre d'Jean-Louis

Date, le 11 décembre 2013

Jean-Louis a lui aussi tracé des sortes de cernes qui entoure chaque décomposition (des wagons pourrait-on dire). Ces décompositions sont à l'horizontal. Nous remarquons non pas l'absence du signe « = » mais chaque écriture du nombre 8 est refermée sur elle-même.

Le groupe propose alors d'ajouter le signe « = » entre chaque décomposition. Jean-Louis trace au tableau les signes « = ». Ceux-ci se trouvent alors sur les limites qui entourent l'écriture additive. Maintenant, Christophe remarque que le signe « = » est barré par le trait de la cerne. Il ne dit/signifie plus la même chose. Il dit la différence ou encore « pas égal ». Jean-Louis modifie à nouveau la production afin d'écrire le signe « = » à l'intérieur de la cerne.

Nous montrons une photographie du TBI. Le Journal du Nombre d'Jean-Louis est placé sous le visualiseur. La production peut ainsi être soumise à la discussion collective. Nous remarquons des désaccords sur certaines décompositions. Par exemple, la classe propose de modifier l'écriture 3 + 3

+ 3. C'est trop. Elle la transforme en 3 + 3 + 2. Ensuite, ce n'est pas un très long train du nombre 8. Les élèves ont donc proposé d'ajouter des signes « = ». Le placement du signe « = » dans des écritures alimente le débat. En bas de la photographie, nous observons le signe « = » barré. Cela a suscité une discussion. Quelques élèves proposaient de le placer devant l'écriture mais cela n'était guère lisible pour certains d'entre eux parce que l'on ne savait pas de quoi on parlait. Ensuite, Jean-Louis a écrit le signe « = » à l'intérieur (comme avec 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8.)

Ce temps est aussi l'occasion de reparler du zéro. Il y a régulièrement discussion sur ce que code le zéro. Nous débattons autour des écritures additives constituées de mêmes nombres, c'est-à-dire que le professeur attire l'attention des élèves sur une écriture avec le zéro en demandant le nombre de termes par exemple. Il obtient souvent deux réponses. Une partie de la classe a comptabilisé le zéro dans le nombre de termes de l'annonce 2 + 3 + 0. Elle propose bien 3 termes. D'autres élèves ne l'ont pas pris en compte. Ils répondent même parfois : « il ne compte pour rien ». Devant l'étonnement du professeur, ils précisent : « enfin non mais c'est quand tu en as besoin ». Ce type de questionnement permet, pensons-nous, d'approfondir les connaissances sur les nombres. Les nombres ne sont pas à la même place ou dans le même ordre comme par exemple 0 + 3 + 2 et 3 + 2 + 0 mais aussi 0 + 3 + 2 et 3 + 2. Souvent, les élèves disent que « c'est un peu pareil » signifiant ainsi que la somme est bien égale au nombre 5. Les nombres, quant à eux, pourtant les mêmes, sont à des places différentes. Certains regardent l'ordre et disent : « c'est un petit peu pareil mais c'est différent ». Il est important d'apprendre à préciser de quoi nous parlons. Cela amène certains élèves à dire sur le zéro qu'il ne compte pas mais il est parfois nécessaire.