Transport de phonons dans les super-réseaux
3.1 Introduction au transport des phonons dans les super-réseaux
Comme nous l’avons vu dans l’introduction de cette partie, les modules ther-moélectriques doivent être composés de matériaux possédant de bonnes pro-priétés de transport électronique, un coefficient Seebeck élevé, mais une con-ductivité thermique faible. Les super-réseaux se sont révélés être d’excellents composants thermoélectriques grâce à une conductivité thermique phononique extrêmement faible pour des cristaux. Revenons tout d’abord sur ce qu’est un super-réseau. Il s’agit d’un arrangement périodique d’au moins deux matériaux, comme cela est schématisé sur la figure 3.1. Le nom "super-réseau" vient du
Figure 3.1 – Représentation schématique d’un super-réseau composé de deux matéri-aux A et B, avec la période du super-réseaudSL.
fait que cette période, notéedSLsur la figure, s’ajoute à la périodicité naturelle existante des matériaux A et B. La première caractéristique étudiée par spec-troscopie Raman dans les super-réseaux est le repliement de la première zone de Brillouin [50,207]. Plaçons-nous dans le cas unidimensionnel pour illustrer notre propos. La figure 3.2 schématise deux super-réseaux unidimensionnels dont la période dSL du cas b. (noté 2x2) est deux fois plus grande que celle du cas a. (noté 1x1). Chaque atome est séparé de son voisin par une distance a.
Nous savons déjà que le cas 1x1 aura deux branches alors que le cas 2x2 en aura quatre. De plus, la période étant doublée dans le cas 2x2, la première zone de Brillouin, bornée par ⇡/dSL en sera réduite de moitié. La figure3.3représente les relations de dispersion de ces deux super-réseaux. La branche acoustique est similaire dans les deux cas jusqu’aux environs dek= 4a⇡. Ici, une ouverture de bande apparaît en bord de zone. Aucun phonon entre 0,31 THz et 0,38 THz ne peut être transporté dans le cas 2x2. Plus la période du super-réseau dSL
sera grande, plus la première zone de Brillouin correspondante sera repliée et comportera de bandes interdites. Les vitesses de groupe s’annulant au centre et en bord de zone de Brillouin, elles seront donc en moyenne plus faibles que dans le cas 1x1.
Hyldgaard et Mahan [96] ont montré à partir d’un modèle simple basé sur les relations de dispersion que la conductivité thermique perpendiculaire aux in-terfaces d’un super-réseau Si/Ge doit avoir un ordre de grandeur inférieure à
Matériau A
m1
Matériau B
m2
Matériau A
m1 m1
Matériau B
m2 m2 (a)
(b)
Super-réseau 1x1
Super-réseau 2x2
Figure 3.2 –Super-réseaux unidimensionnels composés d’une alternance de matériaux A et B. (a) Chaîne diatomique, cas noté 1x1. (b) Deux atomes du matériau A sont alternés avec deux atomes du matériau B, cas noté 2x2.
k 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1
Fréquence (THz)
1x1 2x2
0 π /4a π /2a
A
A
O1
O1 O2
O3
Figure 3.3 – Relations de dispersion d’un super-réseau composé de chaînes di-atomiques. Adénote la branche acoustique et O les branches optiques
celui des matériaux massifs. La raison de cette réduction vient seulement de l’affaiblissement des vitesses de groupe dans les super-réseaux par le repliement de la zone de Broilluin. Différents groupes [35, 130, 22, 92, 253] ont validé cette observation expérimentalement et les valeurs de conductivité thermique
90 3.1 Introduction au transport des phonons dans les super-réseaux
obtenues sont même plus faibles que celles des alliages. Chen a, quant à lui, montré que la réduction de la conductivité thermique dans les super-réseaux pouvait être due à la diffusion des phonons aux interfaces rugueuses [44] mais également au confinement des phonons [45] dans chaque couche de matériau.
Volz et Chen [237] ont calculé les conductivités thermiques par Dynamique Moléculaire avec la méthode de Green-Kubo et ont obtenu des résultats simi-laires.
Simkin et Mahan [204] ont clarifié la situation en postulant qu’il doit exister deux régimes de transport différents dans les super-réseaux, comme cela est représenté sur la figure3.4. Ils ont introduit un vecteur d’onde complexe, dont
Figure 3.4 – Conductivité thermique en unités réduites de super-réseaux en fonction de la période pour différentes valeurs moyennes de libre parcours moyen l (extrait de l’article de Simkin et Mahan [204].
la partie imaginaire est donnée par i/l avecl une valeur moyenne du libre par-cours moyen des phonons dans les super-réseaux. Ainsi, ils ont pu discriminer le fait que les phonons sont confinés ou non dans une couche du super-réseau.
Ils ont identifié que pour les petites périodes du super-réseau, la conductivité thermique doit diminuer lorsqu’est augmentée dSL. Ceci vient du repliement de la première zone de Brillouin qui crée des bandes de fréquences interdites et diminue donc la vitesse de groupe moyenne des phonons au centre et en bord de zone. Lorsque la période a une taille comparable à l, la conductivité thermique atteint un minimum. Finalement, les diffusions aux interfaces de-viennent dominantes lorsque le libre parcours moyen devient plus petit que la période du super-réseau. Ce résultat, bien que basé sur des moyennes et un raisonnement qualitatif, a montré la réelle nature du transport des phonons dans les super-réseaux où les phonons peuvent se comporter comme des ondes
ou des particules.
Ce minimum de conductivité thermique a été étudié intensivement dans les années 2000 dans différents types de super-réseaux, à la fois numériquement [52,97,47,214] et expérimentalement [231,41,191]. Une condition nécessaire à la présence d’un minimum de conductivité thermique est d’avoir des interfaces aussi parfaites que possible. Dans le cas contraire (défauts interfaciaux, pression aux interfaces), la conductivité thermique devient croissante avec l’épaisseur de la période [125,214,43], indiquant un régime de diffusion aux interfaces.
La notion de cohérence des phonons a été introduite à ce moment-là pour tenter d’expliquer cette transition d’un régime ondulatoire à un régime particulaire [45,252,125,43]. Mis à part les modèles qualitatifs de Chen [45] et de Simkin et Mahan [204] présentés dans le chapitre précédent, il n’y avait dans la littérature aucun autre modèle permettant d’étudier la cohérence des phonons.
Nous allons donc utiliser la théorie de la cohérence des phonons que nous avons développée dans le chapitre précédent pour avoir une vision plus détail-lée du transport de phonons dans les super-réseaux. Dans une première partie, nous définirons un critère quantitatif basé sur la longueur de cohérence spa-tiale pour qualifier le transport de phonons de "cohérent" ou "d’incohérent".
Nous étudierons par la suite la longueur de cohérence spatiale des phonons dans différents types de super-réseaux et nous conclurons sur le transport de phonons dans les super-réseaux. Nous nous intéresserons finalement à la raison de l’existence de ce minimum de conductivité thermique dans les super-réseaux.