Période du super-réseau (nm)0,0

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0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Longueur de cohérence spatiale (nm)

Figure 2.18 –Valeurs moyennes des longueurs de cohérence spatiale obtenues à partir de la densité spectrale d’énergie pour la branche optique la plus élevée pour différentes périodes de super-réseau.

Le coefficient de proportionnalité est de l’ordre de 1/8. Ces résultats sont en réalité des artefacts de calcul. En effet, ces seuils ont des valeurs bien plus faibles que la période du super-réseau. Nous sommes donc en train de nous intéresser à des longueurs plus petites que la résolution minimale de notre méthode, ce qui n’a aucun sens physique.

Nous avons donc calculé les longueurs de cohérence à partir de la densité spec-trale et directionnelle croisée W(!, R), donc dans l’espace direct (figure 2.15).

Dans ce calcul, nous avons effectué les corrélations spatiales directement entre tous les atomes du cristal sans considérer de maille élémentaire. Ceci permet de réduire notre résolution spatiale à la distance interatomique. À nouveau, le libre parcours moyen et les longueurs de cohérence spatiale sont identiques pour la branche acoustique, excepté en bord de la première zone de Brillouin.

Ceci est également vrai pour la première branche optique. La différence pour

les modes acoustiques à basse fréquence vient du fait que nous mesurons des extensions spatiales de paquets d’onde proches de la taille du système. Il y a donc une saturation des longueurs de cohérence à basse fréquence. Lorsque le libre parcours moyen ne chute pas à cause des vitesses de groupe, les deux longueurs caractéristiques sont similaires. Finalement, pour les autres branches optiques, lorsque le libre parcours moyen devient plus petit que la distance in-teratomique, la longueur de cohérence spatiale devient nulle et n’apparaît pas dans ce graphique en échelle logarithmique.

Une caractéristique intéressante de ce graphique est la présence de deux pics dans la longueur de cohérence spatiale dans des gammes de fréquences inter-dites. Ils sont reliés à des effets non linéaires qui ne peuvent pas être capturés à partir de la densité spectrale d’énergie qui utilise les modes propres de la matrice dynamique. Nous n’avons, pour le moment, aucune réelle explication de ces pics et nous cherchons encore des raisons de cette présence.

La figure2.19compare les longueurs de cohérence spatiale obtenues à partir de la densité spectrale et directionnelle croiséeW(!, R)pour différentes valeurs de périodes. Elles ne dépendent pas dedSL et les pics non linéaires sont présents

0,01 0,1 1

Fréquence (THz) 10

-1

10

0

10

1

10

2

Longueur de cohérence spatiale (nm)

d

SL

= 1,54 nm d

SL

= 6,16 nm d

SL

= 24,64 nm distance interatomique

Figure 2.19 –Comparaison des longueurs de cohérence spatiale obtenues à partir de la densité spectrale croisée pour différentes périodes de super-réseau.

quelle que soit la période du super-réseau.

Nous terminons cette section par une considération relative à la localisation des modes. Jusqu’à présent, la localisation des phonons était estimée grâce au

84 2.4 Libre parcours moyen et longueur de cohérence spatiale dans les super-réseaux

calcul de la fraction de participation F P des atomes définie par [15] : F P(~k,⌫) = 1

Pour chaque mode, la fraction de participation est un nombre entre 0 et 1.

Lorsque le mode est parfaitement délocalisé, F P = 1. Lorsqu’un seul atome est actif, F P = 1/Nat ⇡ 0 lorsque Nat est grand. La figure 2.20 représente la fraction de participation pour chaque mode et pour différentes périodes.

Pour les basses fréquences, les fractions de participation sont proches de 1, cela

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Figure 2.20 –Comparaison des longueurs de cohérence spatiale obtenues à partir de la densité de corrélation croisée pour différentes périodes de super-réseau.

signifiant que les modes ne sont pas localisés. Ceci est cohérent avec les calculs des longueurs de cohérence spatiale qui sont supérieures à la période, ce qui prouve que les phonons sont propagatifs dans la super-structure. Pour dSL = 1,54 nm, les deux branches les plus élevées ont une fraction de participation F P proche de 0,5, ce qui indique que seulement deux atomes sont actifs et donc que les modes sont localisés dans une seule couche de matériau. Ceci est à nouveau en accord avec nos calculs de longueur de cohérence spatiale. Plus la période du super-réseau est grande, plus la fraction de participation tend vers 0, indiquant que de moins en moins d’atomes de la maille sont actifs pour les modes optiques.

Ceci prouve que notre estimation de la longueur de cohérence spatiale peut être utile pour mettre en exergue les phénomènes de localisation des phonons.

L’avantage de notre méthode est de pouvoir prendre en compte l’anharmonicité du système, contrairement à la fraction de participation qui est purement har-monique.

2.5 Conclusion et perspectives

Nous avons développé une théorie pour estimer les longueurs de cohérence tem-porelle et spatiale pour chaque mode du système étudié. Nous avons montré que la longueur de cohérence temporelle est une autre terminologie du libre parcours moyen. Nous avons comparé ces deux quantités dans les matériaux massifs et les super-réseaux. En résumé, le libre parcours moyen et la longueur de cohérence spatiale sont égaux pour la plupart des modes. Ainsi, les phonons se déplacent sans collision sur une distance égale à leur extension spatiale. Ceci implique la relation suivante :

vg(!, k) = @Re(!)

@Re(k) = Im(!)

Im(k). (2.35)

Des différences apparaissent entre ces deux longueurs caractéristiques lorsque la vitesse de groupe devient faible, notamment lorsque les modes deviennent localisés ou stationnaires.

A partir de la longueur de cohérence spatiale calculée par la densité spec-trale croisée, nous avons accès aux vibrations non linéaires. Des pics avec des longueurs de cohérence spatiale élevées apparaissent dans les gammes de fréquence interdite, quelle que soit la période du super-réseau. Des efforts supplémentaires sont nécessaires pour comprendre d’où viennent ces modes et quelles sont leurs propriétés. Une possibilité envisagée est d’avoir affaire à des solitons.

Finalement, nous avons montré que le calcul des longueurs de cohérence spatiale peut être utile pour quantifier les phénomènes de localisation en prenant en compte l’anharmonicité du système.

Nous allons maintenant utiliser le formalisme développé pour la cohérence des phonons thermiques pour caractériser le transport des phonons dans les super-réseaux.

Transport de phonons dans les

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