cohérence temporelle et spatiale des phonons thermiques
2.3 Libre parcours moyen et longueur de cohérence spatiale dans les matériaux massifs
Nous allons comparer ces deux longueurs caractéristiques des phonons dans une monocouche de graphène par Dynamique Moléculaire à l’Équilibre afin d’avoir accès aux fluctuations des vitesse des atomes. La principale raison du choix de ce matériau est sa bidimensionnalité qui permet de construire un système long dans les deux directions de l’espace afin d’avoir une meilleure résolution dans l’espace réciproque. Après avoir détaillé les simulations de Dynamique Moléculaire effectuées, nous confronterons les libres parcours moyens avec les longueurs de cohérence spatiale.
2.3.1 Présentation du graphène
Le graphène est considéré comme l’un des matériaux les plus prometteurs pour ses propriétés physiques exceptionnelles. Il fut découvert par Novoselov et al.
[173] en 2004, ce qui lui a valu le prix Nobel de physique 2010. Sa structure bidimensionnelle est représentée sur la figure 2.6. Il s’agit d’un réseau hexag-onal dont la maille contient deux atomes indiqués en rouge sur le schéma aux positions (0,0) et (1/3,1/3). Cette structure fait apparaître un cône de Dirac dans la structure de bandes électroniques, ce qui en fait un semi-conducteur à gap nul. Les électrons se transportent au voisinage de ce cône avec une masse effective nulle, ce qui en fait un excellent conducteur électrique [38].
Le graphène n’est pas seulement célèbre pour ses propriétés de transport élec-tronique mais également pour ses propriétés thermiques [251]. Balandin et al.
ont mesuré une conductivité thermique de l’ordre de 5000 W.m−1.K−1, plus élevée par exemple que celle du diamant. De nombreuses études ont débattu de la réelle valeur de la conductivité thermique de ce matériau car il n’est pas évident de fabriquer une monocouche de graphène parfaite de grande dimen-sion. Les grands libres parcours moyen génère également des effets de taille important dans ce système. Le graphène reste très certainement le matériau le plus étudié actuellement.
Nous avons construit une monocouche de graphène de 200 mailles primitives
72 2.3 Libre parcours moyen et longueur de cohérence spatiale dans les matériaux massifs
Figure 2.6 – Représentation schématique du cristal de graphène.~a1 et~a2 sont deux vecteurs primitifs du réseau et les deux atomes de la maille primitive sont indiqués par le disque rouge.
dans chacune des directions portées par les vecteurs primitifs, pour un total de 80000 atomes. Nous avons employé le potentiel de Tersoff [217] avec les paramètres optimisés pour le graphène de Lindsayet al. [136]. Ce potentiel est présenté en détail dans la section A.6. La figure 2.7schématise la monocouche de graphène simulée à 500 K. Nous distinguons clairement les modes de
vibra-Figure 2.7 – Monocouche de graphène par Dynamique Moléculaire à 500 K.
tion hors plan qui donnent une structure rugueuse à ce système bidimensionnel.
Nous pouvons donc nous attendre à avoir de grandes longueurs de cohérence dans ce système, étant donné les persistances des corrélations spatiales. Le système est donc simulé à une température élevée afin d’avoir des longueurs de cohérence spatiale réduites. Nous avons opté pour T = 1500 K. Le pas de temps est fixé à 0,5 fs, la relaxation en NVE dure 300 ps et nous enregistrons les vitesses de chaque atome toutes les 8 fs durant 131072 pas de temps.
Après avoir extrait la partie réelle de la pulsation propre de chaque mode, nous avons tracé sur la figure2.8 les relations de dispersion des phonons dans les directions armchair (ΓM) et zigzag (ΓK). Les atomes de carbone étant
0 10 20 30 40 50
Fréquence (THz)
M Γ K
ZA TA
LA
ZO ZO
LA TA
ZA LO LO
TO TO
K Γ M
Figure 2.8 – Relations de dispersion des phonons dans le graphène à partir de la densité spectrale d’énergie dans les directions armchair et zigzag avec la première zone de Brillouin associée.
relativement légers et les constantes de force relativement fortes, la fréquence de coupure des phonons dans le graphène est aux alentours de 50 THz. La branche flexurale acoustique, notée ZA, a une dépendance quasi-quadratique avec le vecteur d’onde [150, 138, 21] et donc une vitesse de groupe linéaire avec k. Il a été montré que ce sont ces modes qui transportent la majorité de l’énergie thermique [138,75] malgré les faibles vitesses de groupe de ces modes.
Maintenant que nous nous sommes assurés que nos simulations du graphène sont correctes, nous pouvons comparer les libres parcours moyens des phonons avec les longueurs de cohérence spatiale.
2.3.2 Comparaison du libre parcours moyen et de la longueur de cohérence spatiale
Avant de comparer le libre parcours moyen et la longueur de cohérence spatiale, nous calculons au préalable les temps de relaxation dans le graphène dans les directions armchair et zigzag avec la méthode de la décomposition en modes normaux [160]. La figure 2.9 montre que les temps de relaxation sont simi-laires dans les deux directions cristallographiques. Nous ne nous intéresserons donc qu’à la directionΓM. Étant à haute température, les temps de relaxation
74 2.3 Libre parcours moyen et longueur de cohérence spatiale dans les matériaux massifs
0,1 1 10
Fréquence (THz) 0,1
1 10
Temps de relaxation (ps)
Γ M Γ K
Figure 2.9 –Temps de relaxation des phonons dans les directions armchair et zigzag.
sont relativement faibles pour un système aussi harmonique que le graphène.
La figure 2.10 présente les libres parcours moyens de chaque mode dans le graphène dans la directionΓM et également les longueurs de cohérence spatiale.
Bien que nous soyons à haute température, les modes flexuraux acoustiques du graphène gardent un libre parcours moyen élevé, de l’ordre de plusieurs dizaines de nanomètres. Passons maintenant à la comparaison entre ces deux longueurs caractéristiques. Elles sont égales pour la quasi-totalité des phonons. La plus grande dispersion des résultats dans le cas de la cohérence spatiale s’explique par la relative faible taille de notre système (49,84 nm).
Ainsi, la distance moyenne sur laquelle se propagent les phonons entre deux collisions inélastiques est égale à la taille de son paquet d’onde. Nous enten-dons par collision inélastique les interactions à au moins trois phonons. Ce sont les seuls processus de diffusion présents dans le graphène massif parfait. Cette égalité entre libre parcours moyen et longueur de cohérence spatiale est égale-ment valable dans le cas harmonique où le libre parcours moyen et l’extension spatiale de l’onde plane sont "égaux" et infinis.
Katayama et al. [108] ont réalisé une expérience pour exciter des phonons optiques proches du point K à partir de pulses ultra-courts de 7,5 fs. À partir du spectre d’absorption obtenu par spectroscopie Raman, ils ont mesuré une extension spatiale de paquet d’onde d’environ 6 nm. Dans nos simulations, nous avons, pour ce mode proche du point K, une valeur de 3 nm, relativement proche de la valeur expérimentale. Nous sommes à très haute température