Densité d’états des phonons (THz-1)

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 122-128)

d

SL

= 1 nm d

SL

= 2 nm d

SL

= 4 nm d

SL

= 8 nm d

SL

= 16 nm

Figure 3.6 – Densité d’états des phonons pour différentes valeurs de périodedSL du super-réseau d’argon.

0 1 2 3 4 5

Fréquence (THz) 0

10 20 30 40

Longueur de cohérence spatiale (nm)

d

SL

= 1 nm d

SL

= 2 nm d

SL

= 4 nm d

SL

= 8 nm d

SL

= 16 nm

Figure 3.7 –Longueur de cohérence spatiale pour différentes valeurs de périodedSL

du super-réseau d’argon.

96 3.3 Lien entre le minimum de conductivité thermique et la longueur de cohérence spatiale

Étudions maintenant la longueur de cohérence spatiale longitudinale, c’est-à-dire lorsque les vibrations sont polarisées perpendiculairement aux interfaces pour ces mêmes valeurs de période. Celles-ci sont représentées sur la figure3.7.

Les spectres de longueur de cohérence ont la même tendance, quelle que soit la valeur dedSL. Il y a une claire décroissance delc(!)en fonction de la fréquence.

Cette observation est en accord avec les résultats du chapitre précédent où une diminution monotone de la longueur de cohérence dans les super-réseaux unidi-mensionnels en fonction de la fréquence est observée. Le spectre des longueurs de cohérence est indépendant de la valeur de la période pour des phonons de faible fréquence. Pour les autres phonons, une diminution de la longueur de cohérence est mise en évidence, indiquant une perte de cohérence lorsqu’est augmentée la taille de la période. Les spectres restent tout de même similaires pour des périodes supérieures à 4 nm.

Afin de caractériser le transport des phonons dans ces super-réseaux, il est intéressant d’analyser le rapport entre la longueur de cohérence spatiale et la période du super-réseau (figure 3.8). La ligne pointillée horizontale délimite le régime de transport cohérent lorsque lc(!) > dSL (ou log(lc(!)/dSL) > 0) du régime de transport incohérent (log(lc(!)/dSL)<0). La plupart des modes de

0 1 2 3 4 5

Fréquence (THz) -2

-1 0 1 2

log( l

c

( ω ) / d

SL

)

d

SL

= 1 nm d

SL

= 2 nm d

SL

= 4 nm d

SL

= 8 nm d

SL

= 16 nm

Figure 3.8 – Longueur de cohérence spatiale normalisée par la période dSL pour différentes valeurs de dSL du super-réseau d’argon.

basse fréquence, participant au transport de l’énergie dans les super-réseaux, ont un transport cohérent jusqu’à 3 THz pour dSL = 1 nm. Les modes de plus haute fréquence ont une longueur de cohérence plus faible que 1 nm,

indi-quant un transport incohérent de cette partie du spectre. Nous avons donc un transport de phonons partiellement cohérent dans les super-réseaux. Une par-tie du spectre se déplace de façon balistique et est soumis aux phénomènes de repliement de bandes. Ce comportement balistique a été observé expérimentale-ment par Luckyanovaet al. [143] où la conductivité thermique est proportion-nelle à la taille du super-réseau. Ceci a également été calculé numériquement à partir de simulations de Dynamique Moléculaire non Équilibre [134, 256].

Une autre partie du spectre se déplace selon un régime incohérent et subit des collisions aux interfaces. Différents modèles ont été développés pour tenter de prendre en compte simultanément ces deux régimes [241,256]. Ces deux mod-èles restent qualitatifs et des développements supplémentaires sont nécessaires pour pouvoir prendre en compte le transport de chaque mode individuellement.

Lorsque la période du super-réseau augmente, de moins en moins de modes sont transportés de façon cohérente. Finalement, pourdSL = 16 nm, seule une très petite fraction des modes ressent encore la super-périodicité du système. La transition cohérent-incohérent observée à partir des conductivités thermiques est en accord avec les spectres de longueur de cohérence. Pour 8 nm, très peu de modes sont cohérents, ce qui permet de conclure que notre définition du transport cohérent et incohérent est en corrélation avec les résultats déjà observés dans la littérature.

3.3.1.2 Effet de la taille du super-réseau

Les résultats précédents ont été obtenus avec une taille constante de 80 nm du super-réseau, en faisant varier la valeur de la période. Gardons maintenant con-stante la périodedSLet étudions l’effet de la taille du système sur les longueurs de cohérence spatiale. Nous nous plaçons d’abord sur le régime de transport cohérent, avec dSL = 1 nm. La figure 3.9 montre l’évolution du spectre des longueurs de cohérence pour différentes tailles de système. Une augmentation de la longueur de cohérence spatiale est observée pour les modes de fréquence inférieure à 2 THz lorsque la taille passe de 30 nm à 80 nm. Le spectre évolue beaucoup moins entre 80 nm et 160 nm, sauf pour les modes de très basse fréquence. D’après les résultats du chapitre précédent, nous savons que la longueur de cohérence spatiale augmentera avec la taille du système jusqu’à atteindre la valeur du libre parcours moyen du mode, qui peut être de l’ordre de 100 nm dans des cristaux d’argon.

La même étude est faite pour dSL = 16 nm dans le régime incohérent et est tracée sur la figure 3.10. La taille du système a, cette fois-ci, moins d’effet sur les valeurs de longueur de cohérence spatiale, ce qui montre que nous ne sommes plus dans un régime balistique pour la plupart des phonons.

98 3.3 Lien entre le minimum de conductivité thermique et la longueur de cohérence spatiale

0 1 2 3 4 5

Fréquence (THz) 0

10 20 30 40 50 60

Longueur de cohérence spatiale (nm)

L = 30 nm L = 80 nm L = 160 nm

Figure 3.9 – Effet de la taille du système sur le spectre des longueurs de cohérence spatiale pourdSL = 1 nm, dans le régime de transport cohérent.

0 1 2 3 4 5

Fréquence (THz) 0

10 20 30 40

Longueur de cohérence spatiale (nm)

L = 48 nm L = 80 nm L = 160 nm

Figure 3.10 – Effet de la taille du système sur le spectre des longueurs de cohérence spatiale pourdSL = 16 nm, dans le régime de transport incohérent.

3.3.2 Transport de phonons dans les super-réseaux de silicium : effet d’une différence de masse

Nous changeons maintenant de système avec un super-réseau composé de matéri-aux possédant des phonons de grand libre parcours moyen et des masses dif-férentes.

3.3.2.1 Effet de la période du super-réseau

Nous calculons à présent les propriétés de super-réseaux composés d’une couche de silicium et d’une deuxième couche d’isotope de silicium avec une masse mlSi = 2mSi. Le potentiel de Stillinger-Weber est employé avec les mêmes paramètres quel que soient les types d’atomes considérés. Nous évitons ainsi les problèmes de contraintes aux interfaces qui pourraient affecter grandement les longueurs de cohérence spatiale. Ce potentiel est présenté en détail dans la Section A.5. Une différence d’impédance acoustique proche de celle dans les super-réseaux Si/Ge est donc créée dans ce système. La même procédure pour les simulations de Dynamique Moléculaire a été utilisée que dans le cas des super-réseaux d’argon. La longueur du système est cette fois-ci fixée à 40 nm et la température à 300 K.

Les longueurs de cohérence spatiale pour les phonons longitudinaux sont à nouveau comparées pour différentes périodes de super-réseau sur la figure3.11.

PourdSL= 1 nm, la totalité du spectre acoustique a une longueur de cohérence spatiale plus grande que la période du super-réseau. À nouveau, les modes optiques ont un transport incohérent comme dans le cas précédent. Lorsque la période du super-réseau augmente, de plus en plus de modes deviennent incohérents et auront tendance à diffuser aux interfaces. Nous prédisons ici une transition entre le régime cohérent et incohérent aux alentours de 4 nm pour ce système.

La figure 3.12 montre la même étude mais pour des polarisations transverses, c’est-à-dire des vibrations parallèles aux interfaces. Les valeurs de longueur de cohérence spatiale sont légèrement supérieures dans le cas transverse que longitudinal. Nous observons tout de même la même tendance que dans le cas longitudinal et la transition entre le régime cohérent et incohérent doit se situer vers 4 nm. Nous ne nous intéresserons donc, par la suite, qu’aux phonons longitudinaux.

1003.3 Lien entre le minimum de conductivité thermique et la longueur de cohérence spatiale

0 5 10 15 20

Fréquence (THz) -2

-1 0

1 2

log( l

c

( ω ) / d

SL

)

d

SL

= 1 nm d

SL

= 2 nm d

SL

= 4 nm d

SL

= 8 nm

Longitudinaux

Figure 3.11 – Longueur de cohérence spatiale pour les phonons longitudinaux nor-malisée par la périodedSL pour différentes valeurs dedSL du super-réseau de silicium.

0 5 10 15 20

Fréquence (THz) -2

-1 0

1 2

log( l

c

( ω ) / d

SL

)

d

SL

= 1 nm d

SL

= 2 nm d

SL

= 4 nm d

SL

= 8 nm

Transverses

Figure 3.12 –Longueur de cohérence spatiale pour les phonons transverses normalisée par la période dSL pour différentes valeurs dedSL du super-réseau de silicium.

Pour savoir si nos prédictions pour la transition de régime sont correctes, nous avons calculé la conductivité thermique de ces super-réseaux par la méthode de Green-Kubo. La figure3.13représente l’évolution de la conductivité thermique en fonction de la période des super-réseaux à 500 K. La température est plus

0 2 4 6 8

Période d

SL

(nm)

0 5 10 15 20 25 30

κ (W.m

-1

.K

-1

)

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 122-128)