Formes d’´equilibre des v´esicules

− ^8πκ KBT A − A< L2  (2.16) `a comparer avec l’´equation 2.14. Dans le cas g´en´eral, la relation tension-exc`es de surface a la mˆeme forme que l’´equation 2.15.

C.3.2 Formes d’´equilibre des v´esicules

La forme des v´esicules est obtenue par minimisation de leur ´energie. Mˆeme si la forme sph´erique correspond le plus souvent `a la forme d’´equilibre, toute une vari´et´e de formes peut ˆetre obtenue en faisant varier les param`etres caract´eristiques de la v´esicule : le volume, la surface, la courbure spontan´ee ou la temp´erature [Lipowsky and Sackmann, 1995]. Les diagrammes de phase obtenus d´ependent de la complexit´e du mod`ele utilis´e.

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pour rester coh´erent dans l’expression de l’aire r´eelle et microscopique A. En effet, A correspond `

C. Les V´esicules G´eantes Unilamellaires : syst`eme mod`ele de membranes biologiques

∗ Le mod`ele le plus simple consiste juste `a minimiser l’´energie de courbure des v´esicules (donn´ee par le hamiltonien de Canham-Helfrich eq. 2.9) :

X Sans courbure spontan´ee (c0 = 0), les formes d’´equilibre ne d´ependent que du volume adimensionn´e v = V/(⁴₃πR3), o`u R repr´esente le rayon de la v´esicule. On obtient alors des ellipso¨ıdes et halt`eres prolates, ellipso¨ıdes et discocytes oblates ou stomatocytes puis sph`eres en augmentant v. On peut remarquer comme la forme discocyte oblate rappelle la forme d’un globule rouge.

X Avec courbure spontan´ee (c0 6= 0), le diagramme de phase d´epend du volume adimensionn´e et de la courbure adimensionn´ee c0.R. Le cas c0 > 0 favorise une forme nouvelle de poire (”pear”), c₀ < 0 favorise les formes oblates.

Cependant, le mod`ele simple de courbure ne suffit pas `a pr´edire toutes les formes de v´esicules observ´ees exp´erimentalement, y compris par exemple, la forme d’´etoile de mer (”starfish”) [Wintz et al., 1996] (fig. 2.31(D)). Une des raisons venait du fait que le mod`ele ne tenait pas compte de l’asym´etrie d’aire entre les deux feuillets de la membrane.

∗ Le mod`ele ADE (”Area Difference Elasticty”) a ´et´e mis au point pour tenir compte de la de l’asym´etrie de la bicouche lipidique. En effet, si la membrane est courb´ee (voir fig. 2.26(B)), le feuillet interne est plus compress´e que le feuillet ex-terne ; ils n’ont donc pas la mˆeme surface totale. Cette asym´etrie apparaˆıt aussi si les deux feuillets ne contiennent pas le mˆeme nombre de lipides. Ceci engendre une courbure suppl´ementaire de la membrane et donc une diff´erence de surface totale plus grande entre les feuillets. Le mod`ele ADE tient compte de cette asym´etrie via un module d’´elasticit´e non local appel´e κ [Svetina and Zeks, 1989, Miao et al., 1994]. Il faut ajouter au hamiltonien de Canham-Helfrich (eq. 2.9, sans courbure spontan´ee ni courbure gaussienne) une ´energie qui repr´esente l’´etirement des deux couches l’une par rapport `a l’autre ; ce terme est non local27, contrairement aux diff´erentes contri-butions cit´ees plus haut (extension, courbure, etc.). L’´energie int´egr´ee sur toute la surface de la v´esicule a maintenant comme expression :

H = I 1 2^{κ(c1+ c2)} 2dA + ^πκ 2Ad2(M − M0)² (2.17) o`u d repr´esente l’´epaisseur de la bicouche, M la diff´erence d’aire entre les deux feuillets (M=dH (c1+ c2)dA) et M0 la diff´erence d’aire due strictement `a la diff´erence de nombre de lipides entre feuillets. M0 (grandeur int´egr´ee sur toute la v´esicule) refl`ete l’asym´etrie entre feuillets et illustre la tendance de la membrane `a se courber, sans pour autant pouvoir ˆetre assimil´ee `a une courbure spontan´ee (grandeur locale). Un bon ordre de grandeur pour la courbure non locale est donn´e par : κ = 4κ/π, soit une dizaine de KBT [Waugh et al., 1992, Heinrich et al., 1999].

Le diagramme de phase obtenu avec le mod`ele ADE d´epend alors de trois para-m`etres :

– le volume adimensionn´e v = _{(4/3)π(A/4π)}^V 3/2 , qui mesure l’´etat de gonflement de la v´esicule. Le d´enominateur repr´esente le volume qu’aurait la v´esicule si elle

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Chapitre 2. Principales caract´eristiques des constituants impliqu´es dans la formation de tubes de membrane.

´etait sph´erique.

– le rapport entre les deux modules ´elastiques q = κ/κ [D¨obereiner et al., 1997]. – la diff´erence d’aire adimensionn´ee entre les deux feuillets : ∆a0 = _8πd(A/4π)^M0 3/2

Il est repr´esent´e en partie dans la figure 2.31 : seuls deux param`etres varient, v et ∆a0 qui correspond `a l’aire adimensionn´ee effective entre les deux feuillets. ∆a0 est la somme de deux sources de courbure, celle venant de l’asym´etrie entre les feuillets mentionn´ee pr´ec´edemment ∆a0 et celle venant de la courbure spontan´ee c0 rajout´ee au mod`ele ADE : ∆a0 = ∆a0+_2πq¹ c0.

Fig. 2.31 – (A) Diagramme de phase des v´esicules dans le mod`ele ADE des formes accessibles aux v´esicules dans l’espace des param`etres : volume r´eduit v et diff´e-rence d’aire effective entre les deux feuillets ∆a0, d’apr`es [D¨obereiner, 2000]. (B) Transition prolate-poire par ´el´evation de temp´erature donnant lieu `a un bourgeon-nement. (C) Transition discocyte-stomatocyte par ´el´evation de temp´erature ((B-C) d’apr`es [Lipowsky and Sackmann, 1995]).(D) V´esicule en forme d’´etoile de mer (d’apr`es [Wintz et al., 1996]).

Notons que certaines transitions ont ´et´e ´etudi´ees plus en d´etail, comme la transi-tion prolate-oblate [Heinrich et al., 1993, Jaric et al., 1995, D¨obereiner et al., 1997] ou la transition prolate-poire [Dobereiner et al., 1995]. Cette derni`ere explique

th´eo-C. Les V´esicules G´eantes Unilamellaires : syst`eme mod`ele de membranes biologiques

riquement les exp´eriences de J.K¨as et E.Sckmann qui avaient observ´e le ph´eno-m`ene de bourgeonnement d’une v´esicule ”fille” `a partir d’une v´esicule ”m`ere” initiale [K¨as and Sackmann, 1991] en augmentant la temp´erature progressivement28 (fig. (fig.2.31(B)). Il est aussi possible de faire varier d’autres param`etres pour observer un changement de forme des v´esicules : citons par exemple la diff´erence d’osmola-rit´e entre les milieux int´erieur et ext´erieur de la v´esicule qui permet de faire varier le rapport surface sur volume (le ph´enom`ene de v´esiculation a aussi ´et´e observ´e dans ce cas, ainsi que la fission [Dobereiner et al., 1993]) ou l’ajout de phospholipides dans un seul des feuillets de la membrane [Farge and Devaux, 1992].

Les formes moyennes obtenues th´eoriquement sont toutes axisym´etriques, mais il est possible d’obtenir num´eriquement des formes non-axisym´etriques avec le mod`ele ADE ou bien le module de courbure avec un terme de courbure spontan´ee non nulle [Heinrich et al., 1993, Jie et al., 1998]. Si les v´esicules sont suffisamment d´egonfl´ees, le mod`ele ADE permet de pr´evoir les ´etoiles de mer (fig.2.31(D)). Un expos´e d´etaill´e de tous les mod`eles permettant de d´ecrire les formes d’´equilibre des v´esicules (en plus des mod`eles de courbure et ADE cit´es ici) peut ˆetre trouv´e dans [Seifert, 1997] et est r´esum´e dans le tableau 2.4.

Mod`ele Energie Variable fix´ee

minimal κH dA(c1+ c2)2 A,V

BC κH dA(c1+ c2)² A,V,M

ADE κH dA(c1+ c2)2 + κ π

2Ad2(M − M0)2 A,V

SC κH dA(c1+ c2− c0)2 A,V

ADE-SC κH dA(c1+ c2− c0)2+ κ_2Ad^π2(M − M0)2 A,V

Tab.2.4 – Principaux mod`eles pour rendre compte de l’´elasticit´e de courbure d’une membrane ; Mod`ele minimal, ”Bilayer Coupling” (BC), ”Area Difference Elasticity” (ADE), ”Spontaneous Courvature” (SC). A d´esigne l’aire de la v´esicule, V son vo-lume, d l’´epaisseur de la bicouche, M la diff´erence d’aire entre les deux feuillets et M0 la diff´erence d’aire due strictement `a la diff´erence de nombre de lipides entre feuillets (d’apr`es [Seifert, 1997]).

Notons enfin que mˆeme si certaines des formes d’´equilibre des v´esicules inven-tori´ees ici ont une ressemblance avec des organites ou des cellules observ´es dans le monde vivant, elles ne peuvent illustrer toutes les observations exp´erimentales (comme l’´echinocytose des globules rouges [Lipowsky and Sackmann, 1995]). Pour mieux comprendre et mod´eliser les membranes biologiques, il paraˆıt essentiel de tenir compte non seulement du couplage avec le cytosquelette, mais aussi des ´eventuelles sources de bruit hors ´equilibre [Prost and Bruinsma, 1996, Ramaswamy et al., 2000,

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Ce bourgeonnement contrˆol´e peut ˆetre rapproch´e des ph´enom`enes d’exocytose observ´es dans les cellules.

Chapitre 2. Principales caract´eristiques des constituants impliqu´es dans la formation de tubes de membrane.

Ramaswamy and Rao, 2001].