Bilan de flux de moteurs au niveau du bout du tube 111

Nous avons vu au paragraphe B.2.1 que la dynamique des moteurs mol´eculaires au bout du tube fait intervenir deux variables : nb, nombre de moteurs li´es au MT qui tirent le tube et n_u, nombre de moteurs non li´es au MT dans cette mˆeme r´egion. Les variations de nb et nu d´ependent des flux suivants (fig. 3.14) :

– flux de moteurs li´es, Jb, dans le bout

– flux de d´etachement des moteurs li´es ´egal au produit du taux de d´etachement ku par le nombre de moteurs li´es nb

– flux de moteurs non li´es, Ju, dans le bout.

n_b n_u Bout du tube J_b J_u kunb R 0 F₀ X=0

Fig.3.14 – Les diff´erents flux de mo-teurs qui interviennent dans la dyna-mique du bout du tube : le flux de moteurs li´es (Jb), le flux de moteurs non li´es (Ju), le flux de d´etachement de moteurs li´es au niveau du bout : k_un_b. n_b et n_u sont les nombres de moteurs li´es et non li´es au MT au niveau du bout du tube. La force statique n´ecessaire pour extraire un tube F0 est repr´esent´ee, ainsi que R0, le rayon du tube. Le syst`eme est re-pr´esent´e dans le r´ef´erentiel du bout du tube. L’axe des x est centr´e sur le bout du tube.

Les variations de nb et nu sont alors donn´ees par les ´equations de conservation : dnb

dt ^{= Jb}(x = 0, t) − ku(nb)nb (3.22) dnu

dt ^{= Ju(x = 0, t) + ku(nb)nb (3.23)} Notons ici que les ´ev´enements d’accrochage de moteurs sur le MT (sym´etriques aux ´ev´enements de d´etachement) ont ´et´e n´eglig´es au bout du tube. En effet, le temps n´ecessaire pour sortir du bout par diffusion est de l’ordre de R2

0/D (R0 ´etant le rayon du tube, de l’ordre de 20 nm dans des conditions typiques de tension et rigidit´e de courbure9), soit quelque 10−4 s. Il est beaucoup plus petit que le temps caract´eristique d’accrochage des moteurs sur le MT10 : 1/kb ≃ 0, 2 s. Les moteurs

9

voir §A.3.1

10

Chapitre 3. Etude th´eorique de l’extraction et la croissance de tubes de membrane

non li´es sortent donc du bout du tube avant d’avoir eu le temps de s’attacher au MT. Ceci revient `a dire que Ju ≫ kbnu.

Comme nous l’avons vu au ch.2 §B.3.1, le taux de d´etachement d’une kin´esine d’un MT, k_u, d´epend de la force appliqu´ee sur le moteur. Comme la force F₀/n_b est appliqu´ee sur chaque moteur du bout, le taux de d´etachement dans cette r´egion vaut donc, en utilisant l’´equation 2.4 :

ku(nb) = k_u⁰exp^{ F0a} KBT 1 nb  (3.24) Les flux Jb et Ju sont exprim´es dans le r´ef´erentiel li´e du tube (o`u x=0 correspond `a la position du bout du tube). En g´en´eral, la dynamique du syst`eme devrait ˆetre d´ecrite dans le r´ef´erentiel du laboratoire puisque la vitesse du tube V n’est pas n´ecessairement constante. Cependant, comme nous allons chercher des solutions avec nb constant (voir §B.3.4), donc V constante, nous pouvons tout de mˆeme utiliser le r´ef´erentiel du tube. Dans ces conditions, le flux de moteurs li´es (allant `a la vitesse V0 dans le r´ef´erentiel du laboratoire) entrant dans cette r´egion est donc donn´e par : Jb(x = 0, t) = ρb(x = 0, t)[V0− V ] (3.25) puisque les effets de gˆene st´erique entre moteurs qui entraˆıneraient la pr´esence d’un terme non lin´eaire en (1-ρb/ρmax) dans Jb ont ´et´e n´eglig´es. On suppose donc que le syst`eme est dans un r´egime de basse densit´e de moteurs, en accord avec nos exp´eriences faites sur le syst`eme. La formation de phases haute et basse densit´es est pr´esent´ee plus pr´ecis´ement au paragraphe suivant. Ce qu’il faut retenir ici est que ρ(x = 0) couple la dynamique au bout du tube et le transport le long du tube. B.3.2 Description des phases hautes densit´es et basses densit´es de kin´

e-sines le long d’un MT

X Cas de la g´eom´etrie cylindrique ferm´ee

La description th´eorique des phases haute et basse densit´es de moteurs mol´ecu-laires le long d’un filament a ´et´e tout d’abord d´ecrite dans le groupe de Lipowsky [Lipowsky et al., 2001]. Ils ont effectu´e des simulations de Monte Carlo pour d´ecrire le mouvement stochastique des moteurs mol´eculaires le long d’un filament auquel ils peuvent s’associer dans diff´erentes situations (soit confin´es dans un volume ferm´e, soit dans un volume ouvert, de g´eom´etrie donn´ee). Aucun des cas ´etudi´es ne cor-respond exactement `a notre syst`eme et notre g´eom´etrie. Nous verrons plus loin une description th´eorique compl`ete de la r´epartition des moteurs mol´eculaires dans notre g´eom´etrie.

La cas de la g´eom´etrie tubulaire ferm´ee des deux cˆot´es se rapproche le plus de notre g´eom´etrie, c’est donc celle-ci qui va ˆetre d´etaill´ee maintenant. Elle est repr´esent´ee figure 3.15(A). Le syst`eme consiste en un tube contenant N moteurs mol´eculaires libres de diffuser `a 3D dans le volume ou d’avancer le long du filament de l’extr´emit´e ”-” vers l’extr´emit´e ”+”. Les moteurs en volume (d´etach´es) peuvent s’attacher au filament et les moteurs li´es au filament peuvent se d´etacher ou bien faire

B. Dynamique de formation et de croissance d’un tube de membrane tir´e par des kin´esines

un pas en avant. Ils avancent alors avec une certaine vitesse et sont aussi caract´eris´es par un coefficient de diffusion. Le tube est ferm´e des deux cˆot´es donc aucun moteur ne peut entrer ou sortir du volume. Ces conditions sont diff´erentes des nˆotres : les moteurs sont confin´es sur une surface tubulaire `a 2D et ne peuvent diffuser dans le volume. La grosse diff´erence vient du fait que la longueur de notre tube augmente et que l’entr´ee du tube est aliment´ee en moteurs par la v´esicule.

Fig. 3.15 – (A) G´eom´etrie tubulaire ferm´ee aux extr´emit´es, contenant un filament orient´e suivant l’axe x. Les moteurs sont libres de diffuser en solution, ou d’avancer le long du filament du ”+” vers le ”-”. (B) Densit´e locale de moteurs li´es par unit´e de monom`ere de filament l, en fonction de la distance x aussi normalis´ee par l. Les trois courbes repr´esentent les trois r´esulats obtenus par simulations pour trois valeurs de N diff´erentes. La longueur du tube est 200 et son diam`etre : 25l. D’apr`es [Lipowsky et al., 2001].

Les auteurs ont ensuite effectu´e des simulations de Monte Carlo en utilisant des valeurs typiques pour les diff´erentes probabilit´es de transition, les coefficients de diffusion et la vitesse du moteur et en faisant varier le nombre de moteurs pr´esents N. Ils d´ecrivent les ph´enom`enes dans un r´egime stationnaire. Les r´esultats obtenus pour la densit´e de moteurs li´es ρb suivant la direction x (le long du filament) normalis´ee par la densit´e maximale 1/l (o`u l est la taille d’un monom`ere de filament, l=8 nm pour un MT) sont repr´esent´es figure 3.15(B) pour trois valeurs de N diff´erentes (N=40, 150 et 250). La longueur du tube est prise ´egale `a 200 fois l, et son diam`etre fait 25 fois l. Dans le cas o`u N=40 moteurs, on observe que sur presque toute la longueur du filament, la densit´e normalis´ee de moteurs li´es est tr`es petite devant 1, ce qui signifie que tr`es peu de sites d’accrochage du filament sont occup´es : c’est ce qu’on appelle la phase basse densit´e. Les moteurs li´es ne se gˆenent pas et se comportent comme s’ils n’avaient pas de voisin. En revanche, au bout ”+” du filament, on observe que la densit´e de moteurs li´es tend vers 1. Dans cette r´egion, il y a une haute densit´e de moteurs, ce qui signifie que les moteurs au bout ont une forte chance d’avoir un voisin devant et de ne pas pouvoir avancer plus loin. Les moteurs se gˆenent, et c’est exactement ce genre de

Chapitre 3. Etude th´eorique de l’extraction et la croissance de tubes de membrane

comportement que l’on a n´eglig´e dans la phase basse densit´e. La phase haute densit´e en bout de filament correspond `a un embouteillage de moteurs (un ”traffic jam”). Dans le cas o`u N=150, il est plus difficile d’observer la phase basse densit´e car la g´eom´etrie ferm´ee empˆeche de l’observer. Dans le cas o`u N=250, le filament est prati-quement compl`etement recouvert de moteurs ; il n’y a qu’une phase de haute densit´e. X Coexistence de phase dans un transport `a 1 dimension

Le deuxi`eme groupe `a avoir travaill´e sur les phases de haute et basse densit´es de moteurs le long de filaments est celui de Frey [Parmeggiani et al., 2003]. Le travail s’applique `a l’ensemble des ph´enom`enes de transport `a 1 dimension, pas seulement celui des moteurs. L’´etude pr´esent´ee comporte `a la fois la th´eorie, la r´esolution num´erique des ´equations de transport (sans approximation de basse densit´e comme dans notre cas, et des simulations de Monte Carlo). Les particules sont d´ecrites dans le cadre d’un mouvement totalement asym´etrique avec un processus d’exclusion `a 1 D (TASEP, Totally Asymmetric Exclusion Process) ; c’est-`a-dire que les particules avancent le long d’un filament, dans une seule direction, et qu’elle ne peuvent avancer que si le site de devant est libre. Les auteurs ont en plus permis aux particules de s’attacher et de se d´etacher le long du filament avec des probabilit´e wA et wD

(cin´etique de Langmuir), et de rentrer et sortir aux extr´emit´es avec des probabilit´es α et β (voir fig. 3.16(A)). Ils ´etudient la comp´etition entre le TASEP et la cin´etique de Langmuir. Le filament est plac´e dans un r´eservoir de particules dont la concentration est suppos´ee constante.

La diff´erence avec notre g´eom´etrie vient d’abord de ce r´eservoir dont la concen-tration est constante, qui diff`ere de notre tube o`u les moteurs qui se d´etachent du MT augmentent la population de moteurs non li´es et inversement. De plus, si on se place dans le r´ef´erentiel du bout du tube, la probabilit´e de sortie de moteurs est nulle dans notre cas. Enfin, la longueur de tube croˆıt.

Ils ont trouv´e la limite en champ moyen de l’´equation maˆıtresse qui d´ecrit les phases de haute et basse densit´e. L’´equation obtenue 3.26 (ci-dessous) peut ˆetre rapproch´ee de celle qui r´egit le transport des moteurs li´es le long du tube dans notre cas, mais dans un cas plus g´en´eral.

ε 2^∂

2

xρ + (2ρ − 1)∂xρ + ΩA(1 − ρ) − ΩDρ = 0 (3.26) o`u ε=L/N avec L, la longueur totale du filament, ΩA = ωAN et ΩD = ωDN. ΩA, ΩD, α et β restent fixes quand N tend vers l’infini dans la limite thermodynamique. Les taux d’attachement/d´etachement (ω<sub>A</sub> et ω<sub>D</sub>) sont normalis´es par la taille du syst`eme de fa¸con `a toujours avoir la comp´etition entre le TASEP et la cin´etique de Langmuir. Dans le cas contraire, c’est la cin´etique de Langmuir qui l’emporterait.

Les diff´erents profils de particules qu’ils ont obtenu `a la fois num´eriquement et par des simulations, pour diff´erentes valeurs des probabilit´es se superposent bien. Le r´esultat le plus important est qu’il existe, dans un ´etat stationnaire, des valeurs des param`etres impliqu´es tels qu’il y a coexistence entre une phase basse densit´e et une phase haute densit´e de particules sur le mˆeme filament. Un diagramme de phase en fonction de α et β est repr´esent´e figure 3.16(B). Ce diagramme de phase

B. Dynamique de formation et de croissance d’un tube de membrane tir´e par des kin´esines

qui tient compte de la cin´etique de Langmuir modifie le diagramme dans le cas du m´ecanisme de TASEP uniquement, d´ecrit auparavant dans [Kolomeisky et al., 1998] par exemple.

Fig. 3.16 – (A) Sch´ema du transport `a 1D asym´etrique avec processus d’exclusion le long d’un filament, avec en plus la possibilit´e de s’attacher et de se d´etacher du filament. (B) Diagramme de phases obtenu dans le cas de la r´esolution exacte de l’´equation 3.26 en r´egime stationnaire dans le cas o`u ω_A/ω_D = 3 et Ω_D=0,1 et N tend vers l’infini. LD : low density phase, HD : high density phase. D’apr`es [Parmeggiani et al., 2003].

On peut enfin noter les travaux de N´ed´elec et al. qui ont ´etudi´e l’autoorganisation de MTs et de moteurs mol´eculaires, qui donne des profils de moteurs qui peuvent ˆetre d´ecrits par la mˆeme physique que ce que l’on a d´ecrit avant [Nedelec et al., 1997, Nedelec et al., 2001, Surrey et al., 2001].