M´ethode PDH

La puissance r´efl´echie par une cavit´e optique d´epend du module au carr´e du champ r´efl´echi P_ref ≃ |Eref|2. Si ce champ est constitu´e d’une seule onde de fr´equence ω, la phase de l’onde est perdue en mesurant la puissance dans une photodiode. A l’inverse si le champ r´efl´echi est une superposition d’ondes `a diff´erentes fr´equences, ces champs vont interf´erer et l’expression de la puissance comportera un terme de battement. Ce battement contient une information sur la phase du faisceau r´efl´echi. Pound, puis Drever et Hall (PDH) eurent l’id´ee de moduler en fr´equence la phase du champ incident pour g´en´erer ces ondes de fr´equences diff´erentes qui vont interf´erer avec l’onde intra-cavit´e [157, 158, 159]. On se place dans toute la suite en repr´esentation temporelle et on consid`ere que les champs sont des ondes

3.4. Asservissement d’un oscillateur laser sur une cavit´e optique

planes.

Champ incident

L’expression math´ematique du champ incident ainsi modul´e s’obtient grˆace `a la relation de Jacobi-Anger, voir Ref. [160] page 33 :

Ein = E0exp (j(ωt + φ sin(Ωt))) , = E0 J0(φ)e^jωt+ ∞ X n=1 Jn(φ) e^j(ω+nΩ)t+ (−1)ⁿe^{−j(ω+nΩ)t
!} , (3.35)

o`u ω correspond `a la fr´equence de l’onde non modul´ee, dite porteuse, Ω est la fr´equence de modulation, φ est la profondeur de modulation, et les Jn(φ) correspondent aux fonctions de Bessel. La modulation de phase permet ainsi de s´eparer une raie en une somme de raies appel´ees bandes lat´erales de fr´equence ω ± Ω, ω ± 2Ω, etc. Dans la pratique, la faible profondeur de modulation appliqu´ee permet de se limiter aux bandes lat´erales du premier ordre. On se limite donc `a l’ordre un du d´eveloppement et l’Eq. 3.35 s’´ecrit

Ein ≃ E0



J0(φ)e^jωt+ J1(φ)e^j(ω+Ω)t− J1(φ)e^j(ω−Ω)t

. (3.36)

Champ r´efl´echi

En utilisant le coefficient de r´eflexion de la cavit´e F (ω), voir Eq. 3.31, on peut ´ecrire le champ d’une onde modul´ee r´efl´echie par la cavit´e :

Eref = E0



F (ω)J0(φ)e^iωt+ F (ω + Ω)J1(φ)e^i(ω+Ω)t− F (ω − Ω)J1(φ)e^i(ω−Ω)t . (3.37) De mˆeme la puissance mesur´ee `a la photodiode est donn´ee par :

Pref ≃ Pc|F (ω)|²+ Ps



|F (ω + Ω)|² + |F (ω − Ω)|^2 + 2p

PcPs[Re {∆F (ω, Ω)} cos(Ωt) + Im {∆F (ω, Ω)} sin(Ωt)] , (3.38) avec ∆F (ω, Ω) = F (ω)F∗(ω + Ω) − F∗(ω)F (ω − Ω), {Re} et {Im} d´esignant les parties r´eelle et imaginaire, Pc et Ps correspondant respectivement aux puissances de l’onde porteuse et des bandes lat´erales (dans lesquelles on a introduit les J, et o`u l’on n’a n´eglig´e les termes correspondants aux interf´erences entre bandes lat´erales. Bien que ce ne soit pas indispensable, on utilise g´en´eralement une fr´equence de modulation suffisamment importante pour que les bandes lat´erales ne r´esonnent pas dans la cavit´e. Reprenant l’expression de F (ω) (Eq. 3.31), `a la r´esonance on

Chapitre 3. Cavit´es Fabry-Perot en mode puls´e

a donc ω = 2πF SR 6= Ω. Ces conditions impliquent :

F (ω ± Ω) = t2 1r2r3r4exp  −i^{ω ± Ω}_{F SR}  1 − r exp  −i^{ω ± Ω}_{F SR}  − r1, (3.39) ≃ ^t 2 1r2r3r4 1 − r ^{− r1. (3.40)} En consid´erant t1 ≪ 0 et donc r1,2,3,4 ≃ 1, on trouve :

F (ω ± Ω) ≃ −1. (3.41) Cette derni`ere relation a une cons´equence directe sur la fonction ∆F :

∆F (ω, Ω) = F (ω)F^∗(ω + Ω) − F^∗(ω)F (ω − Ω), ≃ F^∗(ω) − F (ω),

≃ −2iIm {F (ω)} . (3.42) On constate alors que la fonction ∆F (ω, Ω) est presque purement imaginaire. Cela permet de n´egliger sa partie r´eelle dans l’Eq. 3.38 et d’´ecrire la puissance r´efl´echie sous la forme :

Pref ≃ Pc|F (ω)|²+ 2Ps− 4^pPcPs∆F (ω, Ω) sin(Ωt), (3.43) o`u l’on a conserv´e ∆F (ω, Ω) plutˆot que −2iIm {F (ω)} par souci de g´en´eralit´e. La puissance r´efl´echie contient donc une information sur la partie imaginaire du signal de la porteuse. Cette partie imaginaire est impaire comme la phase. Elle change donc de signe et s’annule au maximum de la r´esonance, permettant de savoir dans quel sens a vari´e la fr´equence de r´ep´etition de l’oscillateur autour de FSR.

Signal d’erreur

Finalement pour r´ecup´erer la partie imaginaire du signal de porteuse, il faut

d´emoduler le signal r´efl´echi de l’Eq. 3.43. La d´emodulation consiste `a utiliser un

mixeur pour multiplier au signal r´efl´echi une onde de mˆeme fr´equence et de phase parfaitement contrˆol´ee par rapport `a la modulation. Les deux signaux doivent ˆetre synchronis´es par une boucle `a verrouillage de phase ou bien ˆetre issus du mˆeme g´en´erateur. Le mixeur permet de faire le produit des deux entr´ees. Si l’onde de d´emodulation est une sinuso¨ıde de fr´equence Ωd, le produit de cette onde par le sin(Ωt) de l’Eq. 3.43 donne :

sin(Ωt) sin(Ω_dt) = ¹

2(cos[(Ω − Ωd)t] − cos[(Ω + Ωd)t]) . (3.44) 96

3.4. Asservissement d’un oscillateur laser sur une cavit´e optique

On obtient alors en sortie du mixeur deux ondes de fr´equences Ω − Ωd et Ω + Ωd. En pratique on choisit une fr´equence de d´emodulation ´egale `a la fr´equence de modulation de sorte que la sortie du mixeur comporte un signal continu cos(0)/2 et un signal de haute fr´equence cos(2Ω)/2. Ce signal haute fr´equence est ensuite supprim´e en utilisant un filtre passe-bas. Ce filtre passe-bas sert ´egalement `a supprimer les composantes Pc|F (ω)|2sin(Ωdt) et 2Pssin(Ωdt) pr´esents dans le produit de la puissance r´efl´echie 3.43 avec sin(Ωdt). Notons que si la phase entre le signal de modulation et celui de d´emodulation est ´egale `a 90°, le produit 3.44 dans le mixeur se fait entre un sinus et un cosinus. Le r´esultat donne z´ero en sortie du filtre passe-bas si Ω = Ωd et l’on perd toute l’information. Exp´erimentalement il faut donc toujours ajuster la phase entre les deux signaux `a z´ero.

En sortie du filtre passe-bas, on obtient le signal d’erreur PDH : ǫ =p

PcPs∆F (ω, Ω). (3.45) On repr´esente sur la Fig. 3.16 le signal d’erreur th´eorique 3.45 pour une cavit´e de finesse 3000. La figure 3.17 repr´esente une courbe exp´erimentale obtenue sur une cavit´e de tr`es basse finesse avec un faisceau laser continu. Le signal PDH est en violet sur cette courbe. Le signal bleu correspond `a la transmission de la cavit´e. On constate bien que le signal PDH s’annule au maximum de la r´esonance.

Figure 3.16: Signal d’erreur PDH th´eorique pour une cavit´e de finesse 3000.

Pour un faisceau laser puls´e, chaque raie du spectre va r´esonner dans la cavit´e et produire une portion du signal PDH. Le signal total est la somme de tous les signaux PDH issus de chacune des raies.

Lors de cette th`ese, nous avons analytiquement et exp´erimentalement mis au point une autre m´ethode permettant de g´en´erer un signal d’erreur. Celle-ci utilise

Chapitre 3. Cavit´es Fabry-Perot en mode puls´e

Figure 3.17: En violet : signal PDH exp´erimental; en bleu : signal en transmission de la cavit´e.

les diff´erences entre les r´eflectivit´es des revˆetements lorsque le faisceau incident est polaris´e lin´eairement, et que son angle d’incidence ne correspond pas `a l’angle d’incidence nominal du revˆetement. Ce r´esultat a ´et´e publi´e dans la Ref. [141] et apparaitra dans la th`ese de Xing LIU, premier auteur de cet article.