Nous avons cherch´e `a d´eterminer si l’´evolution, en partant de topologies al´eatoires, favorisait l’´emergence de structures modulaires. Pour cela, nous avons utilis´e l’agorithme de Newman et Girvan (2004) (NG, voir section 6.2.4). Cependant, cette m´ethode est d´efinie pour des graphes non orient´es. La mani`ere dont sont reconstruits les modules ne garantit pas que deux nœuds au sein d’un mˆeme module puissent s’atteindre mutuel-lement, lorsque les connexions sont orient´es. Nous avons donc red´efini la m´ethode de recherche de clusters en tenant compte de la direction des arcs. Ce travail a fait l’objet d’une publication (Meunier et Paugam-Moisy, 2006).
10.4.1 Algorithme NG ´etendu aux graphes orient´es
M´ethode Noeud Module Nouveau module a) b) Arc ajoute Arc existant c) B A B A A=B
Fig. 10.5 – Algorithme de reconstruction des modules, dans la m´ethode ´etendue.
La premi`ere phase de l’algorithme est identique `a l’algorithme NG, si ce n’est que la centralit´e d’interm´ediarit´e est calcul´ee pour les arcs et non pour les liens. Cette extension
est triviale, et d´ej`a mentionn´ee par Girvan et Newman (2002). En revanche, la seconde phase, qui correspond `a la construction des modules, est diff´erente. Dans l’algorithme original, d`es qu’un lien reliant des nœuds dans des modules diff´erents est lu, les deux modules sont fusionn´es pour n’en former qu’un seul. Pour l’algorithme ´etendu, nous stockons les arcs entre les modules, sans automatiquement fusionner les modules.
En consid´erant un arc entre un nœud appartenant au module A et un nœud apparte-nant au module B, trois cas sont diff´erenci´es :
– Cas a) sur la figure 10.5 : si l’arc relie deux nœuds appartenant d´ej`a au mˆeme mo-dule (A = B), la composition des momo-dules n’est pas modifi´ee.
– Cas b) sur la figure 10.5 : si le module B n’est pas reli´e au module A par un arc, ou si, de mani`ere plus g´en´erale, il est impossible d’aller du module B au module A par un chemin d’arcs entre modules, un arc est ajout´e du module A vers le module B, mais la composition des modules n’est pas modifi´ee.
– Cas c) sur la figure 10.5 : s’il est possible d’aller du module B vers le module A par un chemin d’arcs entre modules, alors les deux modules sont fusionn´es pour n’en former qu’un seul.
Avec cette nouvelle d´efinition de la fusion de modules, tous les nœuds au sein d’un mo-dule peuvent s’atteindre mutuellement par un chemin orient´e. Cette m´ethode permet de construire de mani`ere incr´ementale les composantes fortement connexes les plus denses. Le calcul de la modularit´e (voir section 6.2.4) reste inchang´e.
Complexit´e algorithmique
Consid´erons un r´eseau de N nœuds et M liens (ou arcs). La complexit´e algorithmique de la m´ethode NG est en grande partie due `a la premi`ere phase, c.`a.d `a la suppression des liens ayant la plus grande centralit´e d’interm´ediarit´e. La complexit´e, mˆeme avec
l’al-gorithme am´elior´e de Brandes (2001), est en O(N M2) pour la suppression de l’ensemble
des liens du r´eseau dans l’ordre des centralit´es d’interm´ediarit´e d´ecroissantes. La phase de reconstruction correspond quant `a elle `a une compl´exit´e en O(M ). Avec la m´ethode ´etendue, la recherche en profondeur `a chaque lecture d’un arc est en O(N + M ), donc la complexit´e de la phase de reconstruction est en O(M (M + N )), ce qui reste n´egligeable devant la complexit´e de la premi`ere phase.
10.4.2 Exemple d’application de l’algorithme NG ´etendu
La figure 10.6 montre un exemple du r´esultat de l’application de la m´ethpde NG avec la m´ethode classique et avec la m´ethode ´etendue. Le r´eseau concern´e contient initialement 426 liens (correspondant `a < k >= 2). Pour plus de clart´e, l’ordre d’ajout des liens au cours de la construction des modules est indiqu´e dans le sens inverse : en effet, la suppression des 426 liens (sur la figure de gauche) montre la mˆeme situation correspondant `a l’ajout de 0 liens (sur la figure de droite).
0 500 1000 1500 2000 0 50 100 150 200 250 300 350 400
Centralite d’intermediarite maximale
Nb Liens supprimes Suppression des liens
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Modularite Nb Liens ajoutes Construction des modules
Methode NG
Methode Etendue
Fig. 10.6 – Variations de la valeur maximale de la centralit´e d’interm´ediarit´e de liens
au cours de la suppression de liens (`a gauche). Variations de valeur de modularit´e au cours de la construction des modules avec la m´ethode NG et avec la m´ethode ´etendue aux graphes orient´es (`a droite).
La valeur de centralit´e maximale au cours du processus de suppression de liens (figure de gauche) est atteinte apr`es la suppression de 27 liens (indiqu´ee par la barre verticale bleue). Avec l’algorithme classique de Newman et Girvan (2004), la valeur maximale de modularit´e est atteinte lors de l’ajout du 128 liens, alors qu’avec la m´ethode ´etendue, la valeur maximale est atteinte beaucoup plus tard. En effet, on reconstruit les modules plus lentement, puisque la condition “chemin d’arcs” est plus contraignante. D’autre part, dans le cas de ce r´eseau, la courbe de modularit´e de la m´ethode ´etendue a un pic beaucoup plus prononc´e que pour la m´ethode NG, et ce pic est atteint pour l’ajout 39O liens. Cette valeur est proche de la valeur de centralit´e maximale, qui correspond `a l’ajout de 426 − 27 = 399 liens (barre bleue sur la figure de droite).
10.4.3 R´esultats avec l’algorithme NG ´etendu
Les r´esultats suivants sont issus des mˆemes simulations que celles ´etudi´ees pr´ecedemment dans ce chapitre. Elles correspondent `a des executions de l’AE, pour les degr´es moyens < k > allant de 1 `a 5.
Fig.10.7 – Modularit´e maximale avec l’algorithme de Newman et Girvan (2004) classique
La figure 10.7 montre les valeurs de modularit´e maximale obtenues en moyenne pour tous les r´eseaux d’une g´en´eration, avec la m´ethode NG `a gauche et avec la m´ethode ´etendue `a droite (voir section 10.4.1). Pour la m´ethode NG, il n’existe de diff´erence si-gnificative pour aucune valeur de < k >. Pour la m´ethode ´etendue, en revanche, on a une diff´erence significative entre la g´en´eration initiale et la g´en´eration ´evolu´ee pour la va-leur < k >= 5. Cependant, la vava-leur moyenne de modularit´e sur l’ensemble des r´eseaux ´evolu´es est relativement faible, de l’ordre 0,05.
La m´ethode ´etendue nous paraˆıt beaucoup plus pertinente pour d´ecouvrir des mo-dules plus fonctionnels dans les graphes orient´es. En effet, dans un graphe orient´e, on
imagine difficilement comment, dans un module o`u les nœuds ne peuvent pas s’attendre
mutuellement (comme c’est le cas en appliquant directement la m´ethode NG `a un graphe orient´e), ils pourraient travailler entre eux.