CHAPITRE 6 : CONCLUSION PREMI` ERE PARTIE
8.2 Energie d’un film ´ elastique sous contrainte
Fig. 8.3 – Etirement horizontal d’un film ondul´e d´epos´e sur un substrat glissant.
8.2
Energie d’un film ´elastique sous contrainte
On s’int´eresse ici `a l’´energie d’un film statique purement ´elastique (solide hook´ e-en de module ´elastique E) sous contraintes normales horizontales. On consid`ere un film d´epos´e sur un substrat solide plat avec lequel il n’interagit pas (friction nulle, glissement parfait) qui pr´esente lorsqu’il est au repos de petites fluctuations r´eguli`eres de son ´epaisseur selon la direction Ox autour de la valeur moyenne hi. Il n’y a pas de variations de l’´epaisseur selon la direction orthogonale Oy, et le probl`eme peut ˆetre r´eduit `a un probl`eme `a deux dimensions dans le plan xOz. On impose sur toute l’´epaisseur du film une contrainte normale dans la direction Ox dont la valeur moyenne est σ0. Pour rester dans un domaine d’´elasticit´e lin´eaire, on consid´erera que σ0 < E. Sous l’effet de cette contrainte, l’´epaisseur du film prend la valeur moyenne h0, et garde des ondulations selon Ox (voir fig. 8.3) :
h(x) = h0(1 + cos (kx)) (8.1)
Les fluctuations de l’´epaisseur restent faibles, de sorte que l’angle que forme la surface avec l’axe horizontal Ox est θ ' au premier ordre en . Ces variations de l’´epaisseur font apparaˆıtre dans le film, en plus du stress normal horizontal σx, un stress normal vertical σz qui est au moins du premier ordre en . Ces deux contraintes ne d´ependent pas de la coordonn´ee verticale z au premier ordre en . Apparaˆıt aussi une contrainte de cisaillement σxz, qui est aussi du premier ordre en , mais qui d´epend de z au premier ordre en . En prenant en compte la tension de
surface γ du film, on peut ´ecrire une premi`ere ´equation traduisant l’´equilibre des forces int´egr´ee sur l’´epaisseur du film, et projet´ee sur l’axe horizontale Ox :
∂x(hσx) + γ∂xxh∂xh = 0 (8.2)
On rappelle qu’aucune force horizontale n’est appliqu´ee au niveau du substrat car la surface est plane et la friction nulle. On en d´eduit que σx(x) pr´esente lui aussi des petites variations de longueur d’onde λ = 2π/k autour de sa valeur moyenne σ0 :
σx(x) = σ0(1 − cos (kx)) (8.3)
On obtient une deuxi`eme relation entre les diff´erentes contraintes et l’´epaisseur en ´
ecrivant l’´equilibre entre les contraintes ´elastiques et la pression de Laplace `a la surface du film :
σz+ σx(∂xh)2− 2σxz(h)∂xh = γ∂xxh (8.4) On en d´eduit l’expression de la contrainte normale σz(x) au premier ordre :
σz(x) = −γh0k2 cos (kx) (8.5)
La contrainte de cisaillement est ensuite d´eduite de σx(x) et σz(x) par l’interm´ediaire des champs de d´eplacement dxet dz : σxet σz sont reli´es aux champs de d´eformation ex = ∂xdx et ez = ∂zdz par les relations ex = (σx− νσz)/E et ez = (σz− νσx)/E, o`u ν est le coefficient de Poisson du mat´eriau [110]. Pour un ´elastom`ere suppos´e incompressible le module de Poisson est ´egal `a 1/2 en trois dimensions (en deux di-mensions il est ´egal `a 1 et le module ´elastique est multipli´e par 4/3). On en d´eduit le cisaillement exz = ∂zdx+∂xdz, et la contrainte de cisaillement σxz = Eexz/2(1+ν) :
σxz(x, z) = z
2(1 + ν)(γh0k
2− νσ0)k sin (kx) (8.6)
au premier ordre en toujours. Connaissant les contraintes pr´esentes dans le film, on peut obtenir l’´energie ´elastique qui y est stock´ee. La densit´e volumique d’´energie
´
elastique est donn´ee par la relation uel = (σxex+ σzez+ 2σxzexz)/2. On en d´eduit la densit´e surfacique d’´energie ´elastique, exprim´ee au deuxi`eme ordre en , `a laquelle on a retranch´e l’´energie d’un film plat sous la mˆeme contrainte horizontale :
δUel(x) = − 1 2h0 σ2 0 E 1 −2νγh0k 2 σ0 cos (kx) +2 1 − γh0k2 σ0 2! (cos (kx))2 −22ν2h2 0k2 3(1 + ν) 1 − γh0k 2 νσ0 2 (sin (kx))2 ! (8.7)
Le dernier terme de cette expression est du au cisaillement. Il peut ˆetre n´eglig´e dans la limite o`u (h0k)2 3(1 + ν)/2ν2 ∼ 1. En plus de cette ´energie ´elastique, l’´energie du film contient un terme Usurf = γp1 + (∂xh)2li´e `a la tension de surface. L’augmentation de cette ´energie due aux ondulations de la surface du film est
δUsurf(x) = 1 2γh
2
0k22(sin (kx))2 (8.8)
`
a l’ordre le plus bas en . En r´eunissant ces deux termes on obtient la diff´erence δU = δUel+ δUsurf entre l’´energie d’un film initialement ondul´e, et celle d’un film initialement plat, sous contrainte. On peut alors ´ecrire la moyenne de cette ´energie surfacique, `a l’ordre le plus bas encore une fois, et en consid´erant que la condition (h0k)2 1 est v´erifi´ee : < δU >= −h0 4 σ2 0 E − (γh0k 2)2 E − γh0k2 2 (8.9)
Cette ´energie moyenne est n´egative, quel que soit le signe de σ0, pour les fr´equences spatiales k plus petites que
k0 = E 2γh0 s 1 + 2σ0 E 2 − 1 1 2 ' √|σ0| γh0E (8.10)
au premier ordre en σ0/E ; on note qu’`a cet ordre la contribution de la contrainte verticale `a l’´energie disparaˆıt. L’expression de la longueur d’onde correspondante est λ0 ' 2π√γh0E/|σ0|.
Avant de continuer il nous faut justifier que la condition h0k0 1 peut ˆetre v´erifi´ee. D’apr`es l’´equation 8.10, cette in´egalit´e s’´ecrit :
|σ0| E 1 2 v u u t 1 + 2γ h0E 2 − 1 ! (8.11)
Pour des ´epaisseurs de film inf´erieures `a 200nm, et en utilisant les valeurs typiques E ' 105Pa et γ ' 10mN.m−1, le rapport γ/h0E est l’ordre de 1. Donc, la condition h0k0 < 1 est v´erifi´ee si |σ0|/E < 1. Lorsque h0k0 est petit par rapport `a un, on peut n´egliger le cisaillement dans le film `a toutes les longueurs d’onde pour lesquelles l’´energie < dU > est n´egative.
Les films ondul´es aux suffisamment grandes longueurs d’onde ont donc une ´
energie plus basse que les films plats, lorsqu’on leur applique une contrainte normale horizontale, que ce soit une tension (σ0 > 0) ou une compression (σ0 < 0). Cette constatation peut inspirer un raisonnement qui a d´ej`a ´et´e appliqu´e pour les solides m´etalliques [51, 73] : si un film sous tension a la possibilit´e de relaxer vers un ´etat de plus basse ´energie, il le fera en d´eveloppant des ondulations de sa surface. Un film purement hook´een ne peut pas relaxer ses tensions ´elastiques, mais un film visco´elastique le fait par d´efinition. On s’attend donc `a ce que la surface de films visco´elastiques pr´econtraints d´eveloppe des ondulations pendant que le stress relaxe et que l’´energie ´elastique est dissip´ee. Nous ´etudions cette instabilit´e dynamique dans les sections qui suivent.