Effets des contraintes r´ esiduelles

elastique du film sont inf´erieures ou ´egales `a la dissipation interfaciale est justifi´ee. En fait, on peut facilement montrer par un calcul en loi d’´echelle qu’entre les temps τ<sub>i</sub>et τ<sub>r</sub> l’augmentation de l’´energie ´elastique du film est du mˆeme ordre de grandeur que la dissipation due `a la friction.

D’apr`es le mod`ele que nous avons pr´esent´e ici, la visco´elasticit´e des films de polym`eres peut expliquer deux faits exp´erimentaux importants rapport´es dans [24, 91] :

(a) La largeur du bourrelet augmente proportionnellement `a la distance d´emouill´ee car l’´elasticit´e empˆeche la hauteur du bourrelet de d´epasser H₀ entre les temps τ_i et τ_r.

(b) La vitesse initiale de d´emouillage `a partir des bords droits est plusieurs ordres de grandeur au dessus de la vitesse d’ouverture des trous. Cela est dˆu au fait que la vitesse d’un front rectiligne est initialement grande (V_i = |S|/√

2ζη_ih₀ = pη/η_iV est ind´ependante de la viscosit´e aux temps longs η), et qu’elle diminue progressivement jusqu’au temps τ_r. La vitesse initiale d’ouverture d’un trou est elle aussi ´elev´ee, mais elle chute brutalement au temps τ_i pour atteindre une valeur faible, inversement proportionnelle `a η. Le temps τ_i se situant en g´en´eral avant le d´ebut des observations, la vitesse initiale d’ouverture d’un trou paraˆıt bien plus faible que la vitesse d’avanc´ee d’un front.

D’un autre cˆot´e, la loi de d´ecroissance en t^−1/2 que l’on pr´edit ici est bien plus lente que la loi en t⁻¹ observ´ee exp´erimentalement. Une cause possible est la pr´esence de contraintes r´esiduelles. Nous allons voir dans la sous-section qui suit que leur pr´esence acc´el`ere effectivement la d´ecroissance de la vitesse de d´emouillage, mais pas de fa¸con suffisante pour rendre compte des observations exp´erimentales.

10.3.2 Effets des contraintes r´esiduelles

On s’attend `a ce que des contraintes r´esiduelles modifient la dynamique du d´emouillage jusqu’au temps caract´eristique de relaxation τ_r. Ainsi, si ces contraintes entraˆınent une augmentation de la vitesse initiale du d´emouillage, comme c’est

le cas pour des contraintes d’´etirement (σ₀ > 0) en g´eom´etrie cylindrique, la d´ecroissance de la vitesse de d´emouillage doit se trouver acc´el´er´ee.

Consid´erons un film dans lequel des contraintes horizontales σ₀ positives et ho-mog`enes sont stock´ees jusqu’au d´ebut du d´emouillage. Ces contraintes fournissent, au cours du d´emouillage, une puissance motrice Π(σ<sub>0</sub>) = R hσ∂xv<sub>x</sub>dx. Au temps t = 0<sup>+</sup>, cette puissance s’´ecrit Π(σ<sub>0</sub>) = h<sub>0</sub>σ<sub>0</sub>V<sub>i</sub>(σ<sub>0</sub>) o`u V_i(σ₀) est la vitesse initiale du d´emouillage. En plus de cet apport de puissance, la pr´esence de contraintes r´esiduelles modifie l’´evolution de la hauteur H(t) du bourrelet. L’´equation (10.24) est toujours valable, mais les conditions initiales sont modifi´ees. Aux temps tr`es courts, le deuxi`eme terme des deux membres de l’´equation (10.24) dominent. Ainsi la variation de −η_iH/H au d´^˙ emarrage est ´egale `a la variation du stress −|S|/h<sub>0</sub>−σ<sub>0</sub>, ce qui donne un taux de croissance initial de H(t) ´egal `a |S|/η_i + σ₀h₀/η_i. On peut maintenant obtenir la vitesse initiale de d´emouillage V_i(σ₀) grˆace au bilan ´

energ´etique (10.18) auquel on ajoute la puissance motrice Π(σ₀) :

Vi(σ0) = Vi  1 + ^σ0h0 |S|  (10.27)

o`u V<sub>i</sub> est la vitesse initiale du d´emouillage d’un film sans contraintes r´esiduelles, donn´ee par l’expression (10.22). Comme nous l’attendions, la pr´esence de contraintes r´esiduelles positives acc´el`ere la phase initiale du d´emouillage. Ces contraintes sont finalement ´equivalentes `a une force capillaire additionnelle σ<sub>0</sub>h<sub>0</sub> par unit´e de ligne. On peut remarquer que la vitesse de d´emouillage et le taux de croissance de la hau-teur du bourrelet sont modifi´ees de la mˆeme fa¸con par la pr´esence des contraintes σ<sub>0</sub>, ce qui implique que la largeur du bourrelet W (t) ' h<sub>0</sub>L(t)/(H(t) − h<sub>0</sub>) n’est pas modifi´ee. Cette largeur est donc toujours approximativement ´egale `a ∆_i aux temps courts par rapport `a τ<sub>i</sub>. On peut relier cela au fait que ∆<sub>i</sub> ne d´epend pas des forces capillaires |S|, contrairement `a V_i qui en d´epend lin´eairement.

Autour du temps τ_i, l’´elasticit´e impose un ralentissement de la croissance de la hauteur du bourrelet autour du taux |S|/η, ce qui permet `a nouveau de consid´erer que H(t) reste approximativement constante, H(t) ' h₀ + |S|(1 + h₀σ₀/|S|)/E,

entre les temps τ_i et τ_r. Pendant cet intervalle de temps qui d´efinit le r´egime ´

elastique, les contraintes r´esiduelles relaxent peu. Le bilan ´energ´etique (10.18) avec la contribution additionnelle Π(σ₀) des contraintes r´esiduelles donne alors une d´ecroissance de la vitesse proportionnelle `a t<sup>−1/2</sup>. Le d´emouillage en pr´esence de contraintes r´esiduelles est ainsi parfaitement ´equivalent au d´emouillage d’un film sans contraintes, avec le param`etre d’´etalement ´equivalent |S| + h₀σ₀, jusqu’au temps τ_r. La loi d’´echelle associ´ee `a la d´ecroissance de la vitesse n’est donc pas mo-difi´ee. La d´ecroissance de la vitesse est simplement un peu plus rapide autour du temps τ<sub>r</sub>, de fa¸con `a ce qu’elle rejoigne la vitesse V ³. Au del`a de τ_r, le d´emouillage redevient newtonien, avec une vitesse de d´emouillage quasi-constante, et un bour-relet de largeur W ' ∆ quasi-constante elle aussi. Ces pr´edictions sont en accord avec les r´esultats obtenus num´eriquement (voir fig. 10.13).

Nous avons montr´e ici que la pr´esence de contraintes r´esiduelles positives acc´ e-l`ere le d´emouillage. Leur pr´esence permettrait donc d’expliquer la diminution des vitesses de d´emouillage observ´ee avec le vieillissement des films, dans la mesure o`u ce vieillissement permet la relaxation des contraintes r´esiduelles. Elle n’ex-plique pas pour autant la forte d´ecroissance de la vitesse de d´emouillage observ´ee exp´erimentalement, puisque nous avons montr´e que la d´ecroissance de la vitesse de d´emouillage reste proportionnelle `a t<sup>−1/2</sup> en pr´esence de contraintes. Nous avons pu remarquer au cours de cette ´etude que la d´ecroissance en t<sup>−1/2</sup> de la vitesse de d´emouillage est intimement li´ee `a la loi de friction lin´eaire f = ζv_x utilis´ee. Nous

3Aux temps t > τi l’expression approximative de la hauteur est H(t) = h0 + |S|(1 + h0σ0/|S|+t/τr)/E (pour |S|+h0σ0< h0G, sinon (H(τ0)/h0)(ln (H(τ0)/h0)−σ0/E) = |S|/(h0E)). Comme les contraintes r´esiduelles sont nulles au bord du film et relaxent loin du bord (σ(x  W ) = σ0exp (−_τ^t

r)), la puissance fournie par les contraintes r´esiduelles est h0σ0exp (−_τ^t

r)V (t). L’´equation (10.18) avec la contribution des contraintes r´esiduelles donne ainsi la vitesse :

V (t) ' √^V 2 (1 +  +_τ^t r)(1 + e⁻τr^t ) q t τ_r +¹₂(_τ^t r)2+ (2 +  +_τ^t r)(1 − e⁻τr^t )

aux temps plus longs que τi ( = h0σ0/|S|). Notons que si les forces capillaires sont n´egligeables (  1), les contraintes r´esiduelles `a elles seules peuvent initier le d´emouillage, et donnent une d´ecroissance de la vitesse en exp (−t/τr).

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