II. Le dispositif expérimental
2.3 Des mesures brutes aux grandeurs physiques
Nous allons ici préciser comment obtenir la force et le déplacement quasistatiques, le module et la phase de la force oscillante ainsi que ceux du déplacement oscillant à partir des signaux fournis par les capteurs.
2.3.1 Calibration du capteur capacitif
Avant chaque expérience, il est nécessaire de calibrer le capteur capacitif de déplace-ment. Celui-ci fournit un signal S, qui peut être soit une fréquence en hertz (mesure avec le fréquencemètre), soit une tension en volts (mesure avec la pll). Ce signal est relié au déplacement h par la relation affine S = A(h + h0). L’étape de calibration permet d’établir la valeur numérique du coefficient de proportionnalitéA. Pour cela on choisit une distance entre les lames du condensateur proche de celle utilisée lors de l’expérience. On applique ensuite une force sur le plan par l’intermédiaire d’un système bobine-aimant (un aimant est fixé sur le porte-plan et une bobine, alimentée par un courant variable, se trouve face à cet aimant). En l’absence de mouvement de la sphère, un déplacement x du plan corres-pond au même déplacement relatif sphère-plan. Le capteur optique donne une valeur du déplacement x(indépendamment de toute calibration), il est donc possible de faire corres-pondre les variations de fréquence et de tension du capteur capacitif et de sa pll associée, à une variation de distance. Typiquement pour un déplacement quasi-statique de 1 nm on mesure une variation de l’ordre de 20 Hz sur le fréquencemètre et de 10 mV sur la boucle à verrouillage de phase. Cette calibration est refaite pour chaque expérience.
Ce capteur capacitif est un capteur de déplacement relatif : il ne donne accès à la distance entre les deux surfaces qu’à une constante h0 près. L’origine des distances est définie comme étant la position du contact mécanique entre les surfaces. Nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe 3.
2.3.2 Détermination de la raideur du bilame
Pour déterminer la force quasistatique exercée sur le plan, il est nécessaire de connaître la raideur du bilame. Cette raideur est calibrée de la manière suivante : on rajoute diffé-rentes masses sur le bilame et on relève, pour chaque masse, la valeur de la fréquence de résonance du bilame correspondante. Cette fréquence est obtenue en enregistrant à l’aide d’un analyseur de spectre, la réponse du bilame à une excitation en force, excitation réalisée à l’aide du système bobine-aimant.
Sur la figure II.7 est représentée l’évolution de la fréquence de résonance f0 avec la masse ajoutée ma. La relation :
f0 = 1 2π r k m + ma ,
oùm la masse du cantilever permet alors de déduire de ces mesures la raideurkdu bilame. Au cours de cette thèse, nous avons d’abord utilisé des lames de cuivre d’épaisseur 0,6 mm
12.0 11.8 11.6 11.4 11.2 11.0 10.8 10.6 x10-6 10 8 6 4 2 0 x10-3 m (kg)a 1/ (4 π f ) 2 o
Fig. II.7: Évolution de l’inverse du carré de la pulsation de résonance du cantilever en fonction de la surcharge ajoutée. En trait plein, le meilleur ajustement linéaire de ces données. De la pente et de l’ordonnée à l’origine de cette droite on déduit la valeur de la raideur et la masse du système cantilever/porte-plan : k = 7200 ± 90 N/m et m = 75±1 g.
ce qui correspondait à une raideur d’environ 3000 N/m, puis nous sommes ensuite passés à des lames de cuivre plus épaisses (0,8 mm) de raideur 7200 N/m.
2.3.3 Fonction de réponse du contact
Lors d’une étude dynamique, on réalise d’abord une analyse spectrale de manière à choisir une fréquence d’excitation pour laquelle le système est peu bruité (cf graphe II.13). Une fois cette fréquence déterminée, il est nécessaire de connaître la réponse fréquentielle du bilame afin d’évaluer la force dynamique exercée sur le plan à partir de la déflexion x
du ressort sur lequel il est fixé. Nous pouvons, avec une bonne approximation, modéliser le système bilame, plan et porte-plan par un système masse-ressort et un amortissement visqueux (figure II.8).
L’équation du mouvement de la masse m (masse effective du système plan, porte-plan et bilame) se met alors sous la forme :
m¨x + λ ˙x + kx + F (t) = 0,
– x est le déplacement du plan par rapport au bâti
– λest l’amortissement lié à la friction du cantilever sur l’air et à la dissipation interne au bilame,
– représente les forces s’exerçant sur le plan (par exemple les forces exercées par la bobine ou la sphère). F (t) dépend aussi de h, déplacement relatif de la sphère et du plan.
h
x k λ
Sphère
Fig. II.8: Représentation schématique du système bilame, porte-plan et plan.
En régime sinusoïdal, et dans le cas où l’amplitude de l’excitation harmonique est suffisamment petite pour que la réponse du cantilever soit linéaire, on obtient la fonction de transfert du bilame de forme suivante :
e Htr(ω) = kexac(ω) e Fac(ω) = −1 −ω2km +jωλk + 1 = −1 1 − (ωω0)2+ jξ(ωω 0) (II.4) avec ω0 = r k m et ξ = λ √ km.
On peut vérifier que cette modélisation de la fonction de transfert du bilame de force correspond bien, sur la gamme de fréquences étudiées, à celle observée expérimentalement. Pour cela, on observe à l’analyseur de spectre la réponse (en module et en phase) du bilame vis à vis d’une excitation en force à l’aide du système bobine-aimant1. On ajuste ensuite les paramètres (ω0 et ξ) du modèle précédent pour qu’ils coïncident avec le module et la phase de la fonction de transfert expérimentale (figure II.9).
L’ajustement de la fonction de transfert modèle avec la réponse expérimentale diffère de moins de 1% sur la plage 0-140 Hz. Cet ajustement dépend de la masse du système cantilever, plan, porte-plan. Il est donc nécessaire de déterminer à nouveau la fonction de transfert dès que cette masse est susceptible d’avoir changé (nouveau plan, porte plan ...)
1Lors de ces expériences, les lames de la capacité sont séparées au maximum, de manière à ce qu’elles
1 10 100 140 120 100 80 60 40