stator
Afin de supprimer la contribution hydrodynamique des fluctuations de vitesse mise en évi- dence en III.3.2.2 et en III.3.2.3, une méthode de filtrage est proposée et appliquée ci-après. Cette méthode est basée sur le fait que les modes hydrodynamiques et acoustiques se propagent à des vitesses de phase très différentes, qui peuvent être calculées sous réserve d’hypothèses classiquement adoptées. Ainsi, l’hypothèse de Taylor de turbulence “gelée” est couramment employée pour considérer que les perturbations hydrodynamiques sont uniquement convectées
par l’écoulement moyen. Dans ces conditions, le nombre d’onde hydrodynamique, Khydro, est lié à la vitesse de convection, Uc, et à la fréquence par :
Khydro= 2πf
Uc (III.27)
Pour les applications turbomachines, la vitesse de convection est généralement considérée à peu près égale à la vitesse moyenne absolue de l’écoulement. Les perturbations acoustiques sont elles supposées se propager vers l’aval à la vitesse du son, c0, tout en étant convectées par
l’écoulement moyen. Ainsi, la vitesse de phase d’une onde acoustique plane s’écrit :
Uacou= c0+ Uc (III.28)
Dans un premier temps, il est proposé d’estimer la vitesse de convection dans le canal secondaire à partir de la phase des interspectres calculés le long de lignes purement axiales, bien que les modes hydrodynamiques soient théoriquement convectés selon les lignes de courant. Cette hypothèse est justifiée par le fait que l’écoulement en aval du stator est quasi-axial. À cette fin, les données CFD sont extraites en aval du stator dans un volume s’étendant depuis le bord de fuite des petits bras jusqu’à la distance axiale maximale pour laquelle le maillage est capable de convecter correctement les fluctuations de vitesse hydrodynamiques. De cette manière, la distance axiale du domaine d’extraction correspond approximativement à une corde d’une aube standard du stator, ce qui est tout juste suffisant pour capturer une période spatiale complète des ondes hydrodynamiques. En effet, la longueur d’onde hydrodynamique, λhydro=
Uc
f , est la plus contraignante à 1BPF où elle vaut pratiquement la distance supportée par le maillage illustrée en rouge sur la figureIII.21. Finalement, les données CFD sont déduites d’une
Figure III.21 – Domaine d’extraction des données CFD pour le filtrage des modes hydro-
interpolation linéaire réalisée sur 16 plans suivant une discrétisation axiale régulière plus lâche que celle imposée par le maillage CFD. En notant que le premier plan d’extraction correspond à celui le plus proche du stator, le plan 150 instrumenté par les deux microphones correspond au cinquième plan d’extraction.
La manière employée pour accéder à la vitesse de convection est alors la suivante. Tout d’abord, les interspectres des champs de perturbation sont calculés. En particulier, l’interspectre associé à la vitesse axiale entre les deux positions axiales x1 et x2, Rux1ux2, est déterminé par :
Rux1ux2(x1|x2, f) = ux(x1, f)u∗x(x2, f) (III.29)
Puis, le nombre d’onde hydrodynamique est déduit de la phase de l’interspectre, φ, par : Khydro= (x φ
2− x1) (III.30)
L’équation III.30 met alors en évidence que le nombre d’onde hydrodynamique est déterminé par la pente de la phase qui est fonction de la position axiale. Enfin, la vitesse de convection est directement déduite du nombre d’onde hydrodynamique par l’équationIII.27, traduisant la convention usuelle de Taylor : Uc= 2πf
Khydro.
Compte tenu des variations non négligeables de la vitesse moyenne en aval du stator, la pente de la phase traduite par l’équationIII.30est estimée localement le long des lignes axiales à l’aide d’une régression linéaire sur cinq points consécutifs. Deux résultats typiques de cette procédure sont illustrés sur la figureIII.22. En particulier, les figures III.22(a)-(c)-(e) exposent un cas où la méthode s’applique parfaitement : les régressions linéaires de la phase passent par l’ensemble des points et la vitesse de convection oscille entre 110 et 120 m/s, soit environ 0.9 fois la vitesse axiale moyenne oscillant entre 120 et 130 m/s dans la manche secondaire comme montré par la figure III.3. A l’opposé, les figures III.22(b)-(d)-(f) mettent en évidence un résultat aberrant lié aux erreurs numériques du calcul CFD et aux approximations de la méthode.
La figure III.23 présente les champs de vitesse de convection obtenus sur une section annu- laire complète correspondant au plan 150. L’amplitude de la vitesse de convection associée au champ de vitesse axiale est très proche de celle du champ de vitesse axiale moyen, représentées respectivement sur les figures III.23(b) et III.23(a). En effet, ces deux champs révèlent une amplitude maximale de 140 m/s localisée entre les sillages des aubes, dont on peut en partie identifier les traces sur la vitesse de convection. De plus, ils présentent tous deux une amplitude minimale de 80 m/s située sur les parois du carter et une amplitude moyenne de 120 m/s. Ces
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 −π/4
0 π/4
Indice du plan d’extraction
Phase (rad)
Sens de l’écoulement
(a) Point de calcul fiable - Phase (rad) de l’inter- spectre (bleu) et sa régression linéaire (rouge).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
−π/4 0 π/4
Indice du plan d’extraction
Phase (rad)
Sens de l’écoulement
(b) Point de calcul aberrant - Phase (rad) de l’in- terspectre (bleu) et sa régression linéaire (rouge).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Indice du plan d’extraction
K c
(m
−
1 )
2 m−1
(c) Point de calcul fiable - Nombre d’onde de
convection m−1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Indice du plan d’extraction
K c
(m
−
1 )
20 m−1
(d) Point de calcul aberrant - Nombre d’onde de
convection m−1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Indice du plan d’extraction
Vitesse (m/s) Vitesse axiale moyenne
Vitesse de convection 10 m/s
(e) Point de calcul fiable - Vitesse de convection (bleu) et vitesse absolue moyenne (rouge) (m/s).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Indice du plan d’extraction
Vitesse (m/s) Vitesse axiale moyenne
Vitesse de convection 1000 m/s
(f) Point de calcul aberrant - Vitesse de convection (bleu) et vitesse absolue moyenne (rouge) (m/s).
Figure III.22 – Illustration de la procédure de calcul de la vitesse de convection locale à
partir de l’estimation des interspectres de la vitesse axiale.
valeurs sont caractéristiques de la vitesse de phase des modes hydrodynamiques, ce qui confirme une nouvelle fois que les fluctuations de vitesse axiale extraites de la CFD sont majoritaire- ment d’origine hydrodynamique. Au contraire, les fluctuations de pression sont attendues être majoritairement acoustiques en raison du bon accord entre les prévisions de FWH et la décom- position modale (voir la figure III.18). Dans de telles conditions, la vitesse de convection des modes acoustiques se propageant vers l’aval doit avoisiner la valeur théorique de c0+ Uc≃ 460
m/sd’après l’équationIII.28. Or, la vitesse de convection associée aux fluctuations de pression est caractérisée sur la figure III.23(c) par des valeurs très supérieures à la vitesse théorique de convection des ondes planes dans la quasi totalité de la section annulaire, comme dans le cas illustré par la figureIII.22(f). Ce phénomène peut s’expliquer par la complexité de la structure
Axe 12h Aube 13
Axe 6h Aube 33 θ = 0
(a) Amplitude (m/s) de la vitesse axiale moyenne. Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0 (b) Amplitude (m/s) de la vi- tesse de convection associée au champ de vitesse axiale à 1BPF.
Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0 (c) Amplitude (m/s) de la vitesse de convection associée au champ de pression à 1BPF.
Figure III.23 – Analyse de la vitesse axiale moyenne et des vitesses de convection des
champs de perturbation dans le plan 150 (vue aval).
modale du champ acoustique rendant difficile l’isolement du nombre d’onde axial associé au mode plan. En particulier, les modes proches de la coupure, visibles sur le spectre en nombre d’onde de la figure III.19(a), sont caractérisés par une longueur d’onde acoustique très grande devant celle du mode plan et donc par une vitesse de phase largement supérieures à la vitesse théorique de 460 m/s. La vitesse de convection associée à la pression n’étant pas directement exploitable, le processus de filtrage est uniquement appliqué au champ de vitesse axiale.
La composante hydrodynamique du champ de vitesse axiale, uxhydro, peut alors être calculée à la position axiale x0, en réalisant une transformée de Fourier spatiale sur la longueur d’onde
hydrodynamique, λhydro= 2π
Khydro, comme suit : uxhydro(x0, f) =
Khydro 2π
Z x0+Khydroπ
x0−Khydroπ
ux(x,f)eiKhydroxdx (III.31) Cette intégration est définie rigoureusement sur une distance axiale égale à longueur d’onde du mode hydrodynamique. Une fenêtre de Hanning a donc été appliquée afin de limiter les effets de troncature qui pourraient se produire à basse fréquence en raison de la restriction du domaine à la zone supportée par le maillage.
Finalement, les fluctuations de vitesse axiale filtrées, uxf ilt, à la position axiale x0, s’ob-
tiennent ainsi :
uxf ilt(x0, f) = ux(x0, f) − uxhydro(x0, f)e
−iKhydrox0
(III.32) Les amplitudes de la vitesse axiale harmonique avant et après le processus de filtrage sont comparées sur la figure III.24 dans le plan 150, pour les trois premières raies. Les champs non
filtrés ont permis de réaliser les premières estimations de puissance acoustique présentées sur la figureIII.18. Il est clairement visible que les spots de sur-vitesse, qui étaient localisés dans le sillage des aubes du stator, ont presque tous été éliminés grâce au filtrage. De plus, l’amplitude des fluctuations de vitesse axiale est maintenant en accord avec l’ordre de grandeur attendu pour une vitesse acoustique, soit approximativement 0,5 m/s sur le fondamental.
Axe 12h Aube 13
Axe 6h Aube 33 θ = 0
(a) Champ brut à 1BPF
Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0 (b) Champ brut à 2BPF Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0 (c) Champ brut à 3BPF Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0 (d) Champ filtré à 1BPF Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0
(e) Champ filtré à 2BPF
Axe 12h Aube 13 Axe 6h Aube 33 θ = 0 (f) Champ filtré à 3BPF
Figure III.24 – Effet du filtrage sur l’amplitude (m/s) des harmoniques de vitesse axiale
dans le plan 150, pour les trois premières raies.