2.2.1 De l’analogie acoustique vers une approche analytique de la propagation de sources
Le concept de l’analogie acoustique a été introduit par Lighthill [17] dans les années 1950. Le principe consiste à séparer les aspects aérodynamiques à l’origine de la génération de sources, de la propagation acoustique, en réarrangeant les équations de Navier-Stokes gouvernant la dynamique des fluides. L’équation obtenue par Lighthill s’écrit comme l’équation de propagation des ondes acoustiques dans un milieu ambiant, au repos, avec pour second membre une source acoustique équivalente d’origine aérodynamique.
L’équation de Lighthill peut être résolue numériquement, mais cette approche se trouve être beaucoup trop coûteuse, excepté dans le cas de quelques applications académiques [18]. Ce concept s’applique plus naturellement comme un modèle analytique de propagation des sources aérodynamiques équivalentes du problème, sources préalablement déterminées analytiquement ou numériquement. C’est pourquoi nous avons choisi de classer ces modèles dans les approches analytiques.
Selon Lighthill, le champ acoustique en un point d’observation est obtenu par convolution d’une fonction de Green avec le terme source. Une fonction de Green représente la réponse acoustique à une source impulsionnelle et vérifie les conditions aux limites du problème. Bien que la formulation proposée par Lighthill soit générale, il ne s’est intéressé qu’au cas de sources rayonnant en champ libre.
L’équation de Ffowcs Williams et Hawkings (FWH) [2] (détaillée en II.3.4) généralise le résultat de Lighthill en considérant la présence de surfaces solides au sein de l’écoulement. Cette approche considère des parois fixes ou mobiles et l’observateur peut être en mouvement relatif par rapport à la source. L’analogie de FWH est couramment utilisée dans les problèmes de machines tournantes car elle permet de discerner trois sources fondamentales responsables du bruit : le bruit d’épaisseur, le bruit de charge et le bruit de cisaillement. Cependant, à l’instar de la formulation de Lighthill, l’approche de FWH utilise également une fonction de Green en champ libre, elle est donc réservée aux problèmes de rayonnement en champ libre. L’approche originale a été développée en vue d’accéder au champ acoustique à partir des sources extraites sur les aubes. Elle est qualifiée de formulation en “surface solide” par opposition à la formulation dite à “surface poreuse”. Cette dernière catégorie de méthodes, développée plus récemment, permet d’obtenir le rayonnement en champ lointain de sources acoustiques contenues dans un volume à partir du champ acoustique extrait sur une surface fermée englobant ces sources [19]. Cette approche permet ainsi de réduire le problème d’une dimension par rapport aux analogies classiques.
Pour le cas particulier du rayonnement en conduit du bruit de soufflante, Goldstein [3] a appliqué l’analogie acoustique de FWH en introduisant la présence du conduit annulaire au moyen d’une fonction de Green spécifique du problème (cf.II.3.4). Ce concept a permis d’inclure les effets convectifs de l’écoulement axial ainsi que l’influence du conduit agissant comme un guide d’ondes. Par ailleurs, Goldstein a montré que le bruit lié au mécanisme d’interaction pouvait être réduit au terme de bruit de charge sur la surface des aubes, ce qui revient à ne considérer que les sources dipolaires. Ainsi, seule la connaissance des fluctuations de pression pariétales sur les aubes suffit à déterminer le champ acoustique dans le conduit. Par abus de langage, cette formulation est souvent confondue dans la littérature avec l’analogie de FWH.
L’une des restrictions majeures de la formulation de Goldstein réside dans l’hypothèse d’écoulement uniforme. L’utilisation d’une fonction de Green caractérisant des écoulements plus réalistes a fait l’objet de nombreuses recherches. Parmi ces études nous pouvons citer celle de Vilenski et Rienstra [20] qui a permis d’aboutir à une expression analytique d’une fonction de Green prenant en compte les effets de couche limite. Par ailleurs, Posson et Peake [21] ont caractérisé l’effet d’un écoulement moyen tournant dans l’étage de la soufflante. Cependant, de telles formulations sont relativement complexes et difficiles à mettre en place en pratique, c’est pourquoi l’hypothèse usuelle d’écoulement moyen uniforme est généralement favorisée.
Nous verrons dans la suite de ce chapitre que le concept d’analogie acoustique, et plus particulièrement l’analogie de Goldstein, est couramment appliqué pour la prévision de la pro- pagation en conduit des sources acoustiques liées au mécanisme d’interaction, que celles-ci soient de nature tonale ou à large bande.
2.2.2 Modèles d’interaction d’une perturbation avec un profil
Nous venons de voir que la modélisation de la propagation de sources consiste majori- tairement à appliquer une analogie acoustique. Moyennant certaines hypothèses, les sources dipolaires peuvent également être modélisées au moyen d’approches analytiques considérant l’impact d’une perturbation harmonique ou turbulente avec un profil ou une rangée d’aubes.
Les formulations visant à calculer le bruit de profil traitent généralement le problème en deux étapes. La première consiste à déterminer la source acoustique résultant de l’impact de la perturbation avec le profil en termes de fluctuations de pression sur l’aube. Ensuite, ces fluctuations sont reliées à la notion de dipôles acoustiques par le biais d’une analogie pour déterminer le rayonnement sonore.
L’utilisation de ces approches est courante pour la prévision du bruit à large bande issu de l’interaction d’une perturbation turbulente avec un profil. En effet, la prévision de sources tur- bulentes nécessite de disposer d’une méthode capable de générer le champ de vitesse turbulente incident, rendant les études numériques fondées sur des calculs aérodynamiques instationnaires beaucoup plus coûteuses et donnant ainsi l’avantage aux modèles analytiques. Concernant la prévision des sources périodiques, l’usage de simulations numériques est rendu accessible grâce à la parallélisation intensive des codes et à l’essor des moyens de calcul à haute performance. L’approche analytique est donc réservée à l’usage académique en vue d’obtenir des solutions de référence ou pour fournir des estimations à moindre coût. Par conséquent, les différents mo- dèles analytiques de réponse acoustique d’un profil soumis à une perturbation incidente sont davantage détaillés dans les méthodes de prévision analytiques du bruit à large bande enI.4.1.