Modèle de Holly et Rahuel (1990) : - Quelques modèles1D de transport solide dans les cours d’ea

III.4 Quelques modèles1D de transport solide dans les cours d’eau :

III.3.3 Modèle de Holly et Rahuel (1990) :

Les auteurs proposent dans ce travail un nouveau cadre de modélisation numérique unidimensionnelle (1D) de transport solide dans les cours d’eau à fond mobile. Cette approche repose sur :

• l’adoption des hypothèses de Saint-Venant ;

• le traitement séparatif des différents modes de transport solide ;

• la prise en compte des lois de chargement ;

• l’introduction d’un terme (dit source) qui traduit l’échange entre le matériau du lit et la colonne d’eau ;

• une résolution simultanée de toutes les équations gouvernantes pleinement couplées en minimisant les erreurs numériques et les divergences associées aux techniques traditionnelles de solutions non couplées.

Pour ce fait les auteurs proposent un modèle composé de plusieurs équations, qui se résument en :

Equation de conservation de la masse liquide : (III-7)

Equation de conservation de la quantité de mouvement (II-17)

Equation de transport solide en suspension pour K classe granulométrique III-10 Loi de chargement pour K classes granulométriques (III-2 ou 3)

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Chapitre III Etat de l’art des modèles 1D de transport solide dans les cours d’eau naturels

Equation de conservation des sédiments totael (charriage et en suspension) pour K classes granulométriquse (III-12)

Equation de conservation de la couche du fond du cours d’eau (couche de mélange) pour K classes granulométriques (III-20)

La contribution majeure de cette étude était la résolution couplée de toutes ces équations III.4.4 Modèle de Correia (1990)

Ce modèle est couplé dont les variables sont : le débit d’eau Q(x,t), la profondeur d’eau h(x,t) et la cote du fond Zf (x,t). Dans la mise en équation, Correia (1992) adopte les hypothèses suivantes :

• la section de l’écoulement est très grande devant la section de charriage (Ac<<A) ;

• la porosité du fond est considérée constante ;

• la variation temporelle de la section de charriage dans l’équation de conservation de la masse liquide est négligée ;

• l a quantité de mouvement des sédiments charriés est négligée ;

• le charriage et la suspension sont vus d’une manière globale ;

Par ailleurs, le modèle est composé des équations suivantes : l’équation de continuité (III-7) et l’équation dynamique (III-1(III-7) ; en ce qui concerne la conservation des la masse solide il prend la suspension et le charriage d’une manière globale (III-9) en négligeant le terme diffusive de la suspension. Dans toutes les équations la variation de la section mouillée A et exprimée par la variation de la profondeur d’eau et de la cote du fond

Pour le traitement de l’étendue granulométrique, Correia (1992) propose une approche différente des autres modèles. Il suppose que le lit est composé de 13 couches dont l’épaisseur est constante et est égale à 2d90 ; chaque couche a sa propre distribution granulométrique.

La couche en contact avec l’eau s’appelle couche active, sa distribution granulométrique est influencée par les éventuels érosions ou/et dépôt suivant un modèle statistique proposée initialement par Gessler (1970).

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Chapitre III Etat de l’art des modèles 1D de transport solide dans les cours d’eau naturels

1 ---2 10 2d90

2d90

2d9

2d90

Fig. III-4 Composition du fond d’après Correia (1992)

III.4.5 Modèle de Ben Slama et al. (1994) : Dans ce modèle les auteurs supposent que :

• l’écoulement est fluvial, le nombre de Froude est limité à 0.7;

• la pente du cours d’eau est faible;

• le matériau du fond est non cohésif en granulométrie étendue ;

• l’échelle de temps varie de quelques heures à quelques années ;

• Le phénomène du charriage est strictement limité à la zone active du lit mineur (hors berges) ;

La couche de mélange sert à contrôler par sa composition, la quantité et la répartition granulométrique du charriage. L’érosion sélective de cette couche et aussi à l’origine de l’évolution des fonds vers le phénomène de pavage.

La section érodable est représentée par des strates décrites par leurs épaisseurs et leur composition.

berge

berg

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Fond

Strate 1 Strate 2 Strate 3 Fond

Fig. III-5 Répartition de la section en travers Ben Slama et al. (1994)

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Chapitre III Etat de l’art des modèles 1D de transport solide dans les cours d’eau naturels

Si K est le nombre des classes granulométriques, les équations du modèle sont au nombre K+3 selon que l’on fait l’hypothèse d’un transpoet saturé ou non, il s’agit des équations de bilan sur les deux phases solide liquide:

Conservation de masse liquide (III-7) Quantité de mouvament (III-17)

Conservation de la massesolide écrite sur l’ensemble de la section érodable (III-11)

Bilan de conservation de la masse pour chaque classe k granulométrique dans la couche de mélange (III-20)

Loi de chargement (III-2 ou 3)

Ce système différentiel est fermé par la relation de Manning-Strickler pour évaluer la dissipation d’énergie, et une relation de transport solide.

III.4.6 Modèle de Trieu et al. (1994)

Pour prévoir l’évolution du fond de l’aménagement de Belly (Rhône) dans le but de déduire les consignes d’exploitation et d’entretient, Trieu et al. (1994) ont formulé un modèle 1D qui tient compte des deux modes de transport solide par charriage et en suspension.

Ils prennent comme inconnues la cote de la surface libre Zf(x,t), le débit liquide Q(x,t) et la concentration de la matière en suspension C(x,t).

Le système d’équations considéré est composé donc de

Les deux équations de la phase liquide (III-7) et (III-17). Le coefficient de perte de charge est calculé par la formule de Manning-Strickler

Equation de conservation de la masse solide dans la couche de surface (III-10 Equation de conservation de la couche de fond (III-11)

L’échange entre les deux couches : du fond et celle de la suspension est exprimé par un terme source S donné par Armanini et Di Silvio (1988)sous la forme :

) 1 ( _*

s Q

L Q

S = − (III.22)

L* : longueur caractéristique de l’échange Surface/fond ;

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Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 66 uilibre ;

Qs : débit solide en suspension réel;

décomposition de la section d’écoulement est expliquée dans la figure ci-dessous (Fig.

I-6)

III.

te à l’évolution des rivières au cours d’épisode de régime hydraulique rapidement var

lasses de sédiments homogènes et grâce à l’utilisation du concept de la ouche de mélange.

nuité de la phase solide dans la couche du fond (III-11), pour ntinuité des sédiments de chaque classe granulométrique u exprime le transport en suspension des sédiments

Qs: débit solide en suspension à l’éq

La II

Fond Tirant d’eau

Interface Surface/Fond Qs

Q h

a S

Fig. III-6 Schéma de transport solide d’après Trieu et al. (1994)

b Af

4.7 Modèle de Belleudy et Sthüttrumpf (1994)

Les auteurs ont supposé plusieurs spécifications pour que la simulation numérique s’adap

ié.

Le tri granulométrique et le phénomène de pavage sont étudiés en divisant la courbe granulométrique en c

Le système d’équations comprend :

Les deux équations de la phase liquide (III-7) et (III-17).

Une équation traduisant la conti chaque classe granulométrique Une équation bilan qui exprime la co dans la couche de mélange (III-20):

Une équation de convection/diffusion q i pour chaque classe granulométrique k :

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Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 67 ne loi de chargement qui lie le débit solide charrié effectif Qck au débit solide d’équilibre

Les équations de la phase solide est complété par un terme source S exprimant l’échange , mélange et suspension

èle est proposé dans un objectif de modéliser l’hydrodynamique et le transport

n’est pas disponible, le cours d’eau montagneux peut être simulé avec une section prismatique ;

sité de lit, de la fréquence des bouffées turbulentes, de la probabilité d’occurrence

’événements turbulents épisodiques forts, et de la mobilité des sédiments dans le secteur de t

Q relatif pour chaque classe granulométrique k (III-2) ou (III-3). ck

des sédiments entre les différentes couches : fond III.4.8 Modèle de Papanicolaou et al. (2004)

Ce mod

solide dans les cours d’eau montagneux (à forte pente). Il repose sur les hypothèses suivantes :

- l’écoulement est supposé unidimensionnel et gouverné par les équations de Saint-Venant

- dans le cas où la section transversale - le frottement du fond est dominant ;

Pour la phase liquide, le modèle est composé des équations (III.7) et (III.17) résolues par un schéma à capture de chocs TVD de MacCormack (diminution de la variation totale de dissipation). Par contre pour la phase solide, ce modèle divise le domaine en cellules homogènes (figure III-7), dans chaque cellule et à la fin de chaque pas de temps, les résultats de calcul des paramètres liquides sont utilisés pour : le calcul de la contraintes de cisaillement, le calcule de l’évolution du lit et de la distribution des tailles de grains. En outre, l’entraînement des sédiments est basé sur des formules de l’état de l’art qui tient compte de la poro

d li

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Chapitre III Etat de l’art des modèles 1D de transport solide dans les cours d’eau naturels

(a) croquis du domaine dans le modèle (b) description de la cellule de calcul et définition de la couche active

Fig. III-7 Définition du domaine de calcul dans le modèle Papanicolaou et al. (2004)

Nous récapitulons les caractéristiques d’autres modèles dans le tableau ci-dessous.

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Tableau III.1 Récapitulatif des modèles 1D traitant les écoulements avec transport solide dans les cours d’eau Modèles Couplage schéma numérique Loi de

chargement

Dissipation d’énergie

Transport solide

Rahuel (1988) couplé DF

Schéma de Preissmann

oui Strickler Meyer Peter Muller

Wang (1989) Découplé DF

Schéma de Preissmann

oui Strickler Meyer Peter Muller

Holly et Rahuel (1991) couplé DF

Schéma de Preissmann

oui Choix variable Van Rijn

Corriea (1992) couplé DF

Schéma de Preissmann généralisé

oui Choix variable Choix variable

Ben Slama et al. (1994) découplé DF

Schéma de Preissmann

oui Manning Strickler

Meyer Peter Muller, Engelund H ; van Rijn Trieu et al. (1994) découplé DF

Schéma de Preissmann

oui Manning-Strickler

Van Rijn, Ackers -White, Engelund-Hansen Belleudy et Schuttrûmf

(1994)

couplé DF oui --- Meyer Peter -Muller ;

Engelund ; van Rijn

Saeidi (1997) Couplé DF --- Choix multiples Choix multiple

Guo and Jin,

1999 découplé --- oui Manning Loi de puissance

Hamrick (2001) découplé --- oui --- Chariage ; suspension

Cao et al.,

2002 couplé --- oui Darcy Weisbach Loi de puissance

Papanicolaou et al.

(2004)

découplé DF

Schéma TVD-MacCormack

--- Choix multiples Schoklitch (1962)

Elkadi et Paquier (2006)

Découplé VF oui Strickler Choix multiples

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés

Chapitre IV

Description des codes 1D utilisés : RubarBE et Hasbaia et Benayada (2010)

IV.1 Description du modèle RubarBE

Ce code de calcul est décrit en détail par Balayn (2001) et El kadi (2006). Ici, nous reprenons uniquement les éléments clés de la modélisation résumés dans (El Kadi et al. 2008, et El Kadi et Paquier, 2009).

Le code de calcul s’appuie sur le logiciel hydrodynamique mono-dimensionnel Rubar3 Paquier (1995), conçu pour l'étude de la propagation des ondes de rupture de barrage. La première version de ce logiciel a été développée par le Cemagref à partir des travaux de Vila (1984, 1986) sur la modélisation mono-dimensionnelle des problèmes de choc (avalanches, ondes de rupture de barrage, glissements de terrain dans une retenue, etc.). Paquier (1995) a modifié cette version et l'a adaptée à la modélisation des écoulements dans les rivières à fond fixe. Les modifications les plus importantes ont porté sur le traitement du second membre des équations hydrodynamiques, l’objectif étant d'affiner son calcul dans les cas où il devient important. Enfin, Balayn (2001) a intégré un module de transport solide et d’évolution morphologique de la topographie du lit. Cette nouvelle version de Rubar3 a été baptisée RubarBE – pour Rubar3 with Bed Evolution.

Le code de calcul RubarBE permet de simuler les écoulements et le transport solide total ou par charriage dans les rivières aménagées et peu sinueuses avec passage en régime torrentiel ou variation brutale des conditions hydrauliques.

Dans le cadre de cette thèse, nous apportons quelques modifications à RubarBE. Elles concernent en particulier le calcul de la perte de charge en tenant compte des différentes configurations du fond. Cette amélioration nous permettra d’étudier dans le chapitre suivant, l’effet de ce paramètre sur la qualité des résultats des modèles 1D.

IV.1.1 Equations du modèle

Nous décrivons dans ce paragraphe les équations du modèle Rubarbe. Pour la phase liquide, le modèle mathématique repose sur les principes de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Il s’agit du système de Saint-Venant, communément utilisé en hydraulique et qui a fait ses preuves. Pour la phase solide, le modèle mathématique s’appuie

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés

sur les principes de conservation de la masse, et sur une loi de chargement qui exprime le retard de l'évolution du débit solide par rapport aux variations des conditions hydrauliques.

IV.1.2 Modèle hydraulique

Dans le domaine de l'hydraulique à surface libre, les équations de Saint-Venant sont unanimement acceptées. Ces équations mono-dimensionnelles peuvent être dérivées des équations tridimensionnelles de Navier-Stokes. Elles reposent sur les hypothèses suivantes :

- l’eau, bien que chargée en sédiments, est un fluide newtonien (tenseur des cisaillements internes proportionnel à la déformation locale du fluide) incompressible (masse volumique constante). Ceci est une approximation valide tant que la concentration en sédiments dans l’eau n’excède pas 8% en volume (Graf et Altinakar, 1996);

- l’écoulement est turbulent, ce qui induit une homogénéisation du champ de vitesse.

Cette hypothèse est souvent vérifiée dans les rivières;

- la pente de la ligne d'énergie reste faible. Cette hypothèse peut être contraignante dans le cas de rupture de barrage;

- le champ de pression est hydrostatique.

Les équations de Saint-Venant exprimées en fonction de la section mouillée A et du débit liquide Q sont les suivantes :

Conservation de la masse liquide

Conservation de la quantité de mouvement

Ppr représente la pression hydrostatique (pression verticale). traduit la pression latérale due à la variation longitudinale de la largeur :

Bpr

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés

Dans le modèle RubarBE, la débitance D_eb et le coefficient de Boussinesq β_q (lié au profil des vitesses dans la section d’écoulement) sont calculés à l’aide des formulations qui tiennent compte de la présence d’un lit moyen dont la rugosité est différente de celle du lit mineur.

Dans le cas d’un lit homogène (i.e. rugosité uniforme), le coefficient β_q est égal à l’unité, la débitance D_eb est donnée par la formule de Manning-Strickler :

(IV.4)

Notons que le débit latéral (infiltration ou prises diffuses) est généralement faible devant le débit principalQ. Il n’a pas d’influence notable sur la conservation de la quantité de mouvement. Nous l’avons donc négligé dans l’équation (IV.2).

IV.1.3 Modèle de transport solide

Le transport solide est une grandeur pertinente pour l’étude de l’évolution morphologique du cours d’eau (§ I.3). Ainsi, nous considérons ici la continuité des sédiments à travers le débit solide charrié ou total.

RubarBE introduit une loi de chargement afin de rendre compte du retard spatial du transport effectif (ou réel) par rapport au transport à l’équilibre lorsqu’un écart de l’un par rapport à l’autre se produit.

IV.1.3.1 Conservation de la masse solide

La conservation de la masse solide traduit l’évolution du fond sous l’effet du transport solide.

Elle est exprimée par l’équation d’Exner :

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés

( )

f s

f q

x Q t

p A =

∂ +∂

∂

− ∂

1 (IV.5)

IV.1.3.2 Loi de chargement

Avant d’exposer cette loi, il est important de rappeler les deux notions suivantes :

- la capacité de transport solide Q^*_s (ou transport solide saturé) qui exprime la quantité de sédiments que la rivière est capable de mobiliser.

- le transport solide effectif Q_s qui exprime la quantité de sédiments que l’écoulement transporte réellement.

La plupart des auteurs relient le transport solide aux conditions hydrodynamiques locales (hypothèse de transport solide saturé). Dans ce contexte, le débit solide est égal à sa valeur d’équilibre , cette dernière étant déterminée par une des nombreuses formules empiriques proposées dans la littérature.

Toutefois, cette hypothèse n’est pas toujours vérifiée. En effet, les mécanismes d'érosion et de dépôt présentent une certaine inertie spatio-temporelle (Armanini et di Silvio, 1988).

Ainsi, en cas de modification des conditions hydrauliques, le débit solide n'atteint pas instantanément la capacité de transport solide. C’est le cas par exemple à l’aval d’un barrage.

Les sédiments sont retenus à l’amont. L’eau déversée est claire et non saturée. Elle creusera donc le lit au pied du barrage pour combler le déficit en matériau jusqu’à ce qu’elle retrouve une pente de fond plus faible ou une couche de sédiments grossiers (donc une capacité de transport quasi-nulle).

D’autre part, les nombreuses lois permettant de calculer la capacité de transport solide ont été établies pour des régimes d'écoulement permanents et uniformes. Ces conditions sont rarement rencontrées dans la nature. En conséquence, le débit solide peut s’écarter de la capacité de transport solide .

La loi de chargement a pour objet de compléter les formules de capacité de transport solide. Elle permet de déterminer le débit solide lorsque celui-ci n’atteint pas sa valeur d’équilibre . Plusieurs formulations sont proposées dans la littérature mais aucune ne fait l’unanimité (§ III.2.2).

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés

Dans la plupart des cours d’eau, le mouvement du fond est considéré comme lent par rapport à celui de la phase liquide. L’inertie temporelle du débit solide peut donc être négligée devant l’inertie spatiale. Ainsi, le modèle RubarBE considère une loi de chargement qui exprime uniquement le retard spatial de l'évolution de la charge solide par rapport aux variations des conditions hydrauliques. Il s’agit de la formulation de Daubert et Lebreton (1967), établie selon une démarche probabiliste analogue à celle d'Einstein (1950). Elle est adaptée au transport par charriage en régime quasi permanent et uniforme :

c s cap s s

L Q Q

Q −

∂ =

∂ (IV.6)

Pour fermer le modèle, il est nécessaire de calculer la capacité de transport solide . Pour cela, il faut choisir une des nombreuses lois que l’on peut trouver dans la littérature et dont quelques-unes ont été exposées dans la première partie au paragraphe (§III.2.2.b).

Cependant, il est à préciser que le choix de la « meilleure » loi de capacité de transport solide pour un cas de figure donné revêt une importance capitale. Un mauvais choix de formule peut en effet induire une estimation erronée du débit solide .

IV.1.3.3 La distance de chargement dans le modèle RubarBE

De nombreux chercheurs ont proposé des approches ou des formules pour déterminer la distance de chargement . La plupart d’entre elles s’appuient sur des données mesurées en laboratoire et presque jamais sur le terrain.

Pour le charriage, Daubert et Lebreton (1967) suggèrent que la distance de chargement soit fonction de l'écart entre la contrainte hydrodynamique et la contrainte critique de mise en mouvement. Ils estiment également que la distance de chargement ne peut être inférieure à 100 fois le diamètre moyen des sédiments. D’après Phillips et Sutherland (1985), la distance de chargement est une fonction du temps. Ce résultat a été obtenu d’après des

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