Ecoulements uniforme:

a- Formule de Griffithis 1981 (tableau VI.2)

Cette formule est développée et calibrée pour des rivières en gravier en écoulement fluvial. Elle suppose que l’effet de la rugosité relative des grains (Rh/d50) est négligée devant un paramètre dit de mobilité (U/ gd₅₀ ) Griffiths (1981), cette supposition est valable pour des grandes valeurs de (d50 >12 mm).

Dans ce travail nous avons testé la marge d’erreur de son utilisation pour des fonds en sable (fin et grossier) et dans des écoulements fluviaux et torrentiels.

L’utilisation de cette formule pour des fonds rigides ou pavés n’est pas justifiée, car le facteur de mobilité n’a pas de sens, c’est plutôt la rugosité relative des grains qui joue le rôle le plus important dans la résistance à l’écoulement ; sur les 54 tests (fonds fixes) étudiés une erreur moyenne supérieure à 36% est observée avec un écart-type σ = 0.056.

Sur les fonds mobiles les erreurs sont très fluctuantes, elles reflètent le cadre statistique de la formule, d’ailleurs, même sur les données utilisées par Griffitths (1981), cette formule n’a expliquée que 40% des résultats.

Sur des fonds en présence des rides, 29 cas ont été simulés, elles se développent en lower regime. Les erreurs sont aux alentours de 20% avec des écart-types de σ = 0.12.

Dans des lit plats en lower regime nous avons remarqué sur les 44 cas simulés une erreur moyenne de l’ordre de 50% avec un écart-type de σ = 0.1. Parmi ces cas nous avons observé que pour 6 cas dont la pente était faible ( J < 10^-4) la formule est dangereuse, des erreurs de l’ordre de 137% sont observées. Si on élimine ces (6) cas de l’ensemble l’erreur se réduit à 37% au lieu de 50%.

En upper regime, pour des nombres de Froude croissant, une tendance de décroissance des erreurs est observée (figure VI-1) sur l’ensemble des 22 cas (10 cas à lit plat et 12 cas avec antidunes). Cette tendance peut trouver une explication dans le travail de Hu et Abrahams (2005) dans lequel le coefficient de résistance dû aux formes est fonction de Fr^-4 et le coefficient de résistance dû à la mobilité est fonction de Fr^-1.5. Donc, pour un nombre de Froude croissant, la mobilité est dominante dans la résistance à l’écoulement.

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0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Fr

MNE (%)

Fig. VI-1 Erreur moyenne normalisée en fonction du nombre de Froude (Formule de Griffiths en upper regime)

Dans le cas des lits plats, tout comme en lower regime, l’erreur moyenne est de 19.83%

avec un écart-type de 0.1. Une nette diminution de l’erreur est observée dans le cas des antidunes. Sur les 12 cas étudiés avec anidunes, l’erreur moyenne était de 3.08% avec un écart-type de 0.035.

Dans la transition vers le upper regime, le paramètre de mobilité prend son importance dans la résistance à l’écoulement devant celui de la rugosité relative des grains, ce dernier varie très rapidement dans cette zone. Les résultats dans cette zone sont encourageants, sur 39 tests qu’on a étudiés, l’erreur moyenne était inférieure à 14% avec une dispersion de même faible, soit un écart-type σ = 0.084.

b- Formule de Strickler (tableau VI.2)

La formule de Strickler est la plus utilisée dans les modèles numériques des écoulements dans les cours d’eau avec ou sans transport solide. Elle est développée initialement pour les fonds rigides, mais on la trouve souvent employée pour des fonds mobiles. Dans le présent travail, on a testé sa marge d’erreurs sur 54 cas sur fond fixe, et sur 146 cas sur fond mobile dans différentes configurations des fonds.

La formule de Strickler estime la profondeur d’eau sur des fonds fixes ou rigide avec une erreur moyenne de 13% et un écart-type de 0.04. Par contre sur des fonds mobiles les erreurs sont variables de 26% en Lower regime à 6.12% en upper régime. L’effet des formes est clair

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dans cet écart. L’utilisation de la formule de Strickler pour des fonds mobiles est moins dangereuse, car, sur tous les cas étudiés l’erreur n’a pas dépassé les 48%. Elle reste toujours moins précise dans le cas des fonds mobiles surtout dans les lits avec rides et dunes.

Toutefois, sur les 54 cas à fonds rigides étudiés l’erreur n’a pas dépassé 24.4%. Une erreur moyenne de 13% avec un ecart-type de 0.043 justifie son avantage pour les fonds rigides.

c- Formule de Brownlie (tableau VI.2)

Cette formule est proposée pour des fonds mobiles sableux, elle a été testée dans quelques travaux : Brownlie (1983), van Rijn (1984c), Wu and Wang (1999)

Tableau VI.4 Vérification de la formule de Brownlie (1983)

Pourcentage des profondeurs d’eau expliquées leurs les marges d’erreur

Auteurs source des données Nombre

des données

±10% ±20% ±30%

rivières de l’USA 240 60.0 88.0 98.0

canaux de Pakistan 139 82.0 95.0 99.0

Van Rijn (1984c)

Guy et al. 1966 147 60.0 89.0 97.0

canaux de laboratoires 375 65.6 85.3 95.2

terrain 436 59.1 83.7 94.5

Wu and Wang 1999

Totales 811 62.1 84.5 94.8

Present travail canaux de laboratoires Wang 1999 an Hu an Abrahams 2005

146 -- 100 --

Dans le présent travail, nous avons étudié sa validité, non seulement dans chaque régime, mais pour chaque type de forme.

Sur l’ensemble des 146 tests étudiés, on observe les meilleures précisions en présence des formes (rides, dunes, antidunes) par rapport aux fonds plats. Sur les 41 tests avec rides et dunes, l’erreur moyenne est de l’ordre 9% avec un écart-type de 0.086, de même pour les antidunes cette erreur moyenne est de 11.17%. Par contre, pour les lits plats dans les deux régimes : lower et upper, l’erreur moyenne est de 29.8%, avec un écart type de 0.14. Cet écart se justifie par le remplacement de la rugosité équivalent du fond Kr par une rugosité équivalente des dunes dans le développement de la formule, ce qui favorise l’effet des formes par rapport à celui des grains solides du lit.

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Dans la zone de transition, une erreur moyenne de 12% avec un écart-type de 0.12 est estimée sur les 39 tests étudiés ; et comme la formule n’identifie pas le régime transitoire, 10 cas ont été classés en lower-regime avec une erreur moyenne de 8.57% et un écart-type de 0.068. Le reste, soit 29 cas sont classés en upper-regime avec une erreur moyenne de 13.22%

et un écart-type de 0.14 (Tableau VI.3).

Sur les fonds fixes, la formule de Brownlie n’a pas d’intérêt, mais elle a donné tout de même des bons résultats. Sur les 54 cas étudiés, nous avons observé une erreur de 15.24%

avec un écart-type de 0.037 et une valeur maximale de 26.74%.

d- Formule de Karim (tableau VI.2)

Les meilleurs résultats de cette formule sont remarqués dans le cas des dunes. Sur les 12 tests effectués, une erreur moyenne de 6% (avec un écart-type de 0.1) est observée. Des erreurs plus grandes sont remarquées dans les autres types de configurations. Cet écart est dû à la difficulté de détermination des tailles des formes.

Karim (1995) a déduit une courbe moyenne des tailles des formes en fonction de la vitesse de frottement rapporté à la vitesse de chute des particules (U*/Vc) à partir des données de Guy et al. (1966) et quelques données de la rivière de Missouri. Un nombre réduit de données et une nette dispersion par rapport à cette courbe moyenne sont observés. Pour les rides, la courbe surestime la taille des formes, ce qui explique, éventuellement, l’erreur moyenne qu’on a trouvé dans cette zone (24%). Par contre, la courbe représente mieux les tailles des dunes, ce qui explique la bonne précision remarquée dans ces cas. Une amélioration de la précision de cette courbe peut augmenter la précision de la formule

L’erreur relativement importante (37.26%) remarquée sur les antidunes est justifiée par la négligence de l’effet de leurs tailles dans la résistance à l’écoulement. La transition pose un grand handicap pour les formules qui utilisent explicitement les tailles de forme comme celle de Karim (1995) ou van Rijn (1984c). Cependant, la formule de Karim (1995) a expliqué les 39 cas étudiés avec une erreur moyenne de 17.66% et un écart-type de 0.128. Une erreur plus faible (égale à 8.23% avec écart-type σ = 0.044) est enregistrée sur les 54 cas étudiés sur fond fixe.

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Tableau VI.5 Vérification de la formule de Karim (1995)

Pourcentages des données expliquées

Auteurs Données Nombre

de données

NE <

±10%

NE <

±20%

NE < ±30%

expérimentales 375 57.3 84.3 95.5

terrain 436 41.7 64.9 80.0

Wu et Wang 1999

Totales 811 49.0 73.9 87.2

Present travail données Expérimentales de Wang and White (1999) et Hu and

Abrahams (2005)

146 36.3 61.6 82.9

e- Formule de Wu et Wang (tableau VI.2)

Tout comme les formules de Brownlie (1983) et Karim (1995), la formule de Wu et Wang (1999) est plus précise pour des fonds avec des rides et dunes. Sur les 41 cas simulés, l’erreur moyenne est de 11.81% avec un écart-type de 0.08. L’analyse globale des erreurs dans les différentes configurations montre un dépassement du seuil de 50% pour des valeurs du paramètre T supérieur à 25(figure VI-2), tel que (T = tb’/tc50 ), tb’ la contrainte de frottement relative aux sédiments du lit et tc50 est la contrainte de frottement de mise en mouvement des sédiments ayant d50 du fond comme diamètre. Cette tendance est expliquée par la dispersion dans la courbe (A/(g^{1 /2}F^1/3)=f(T)) étudiée par Wu et Wang (1999). Dans cette plage de valeurs du paramètre T cette formule peut être dangereuse avec des erreurs de l’ordre de 100%.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

T_b^'/T_c50

MNE (%)

Fig. VI-2 Erreur moyenne normalisée en fonction de (Tb'/Tc50) [Wu et Wang (1999)]

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L’erreur de 50% remarquée dans les 10 cas simulés sur fond plat en upper régime est due à ce que tous ces cas se développent pour des T > 30. Pour les fonds avec les antidunes, 7/12 tests se développent pour T compris entre 11 et 16. Pour les autres cas (5/12), T est supérieur à 50 où la formule n’est pas valide.

En conclusion, la formule de Wu et Wang (1999) donne de bons résultats pour les lits avec rides ou dunes, elle est moins précise pour les fonds plat en lower regime et dans la transition. Par contre, elle est douteuse pour T supérieur à 25. Quelques conditions de développement des anitidunes ne sont pas couvertes par la formule pour T > 50.

f- Formule de Yu et Lim 2003 (tableau VI.2)

Cette formule a une précision meilleure avec une erreur moyenne de moins de 10% dans 12 tests sur des fonds avec des dunes. La formule couvre l’ensemble des cas du lower régime (fond plat, fond avec rides et dunes) avec une précision acceptable dont l’erreur moyenne est de 19.13% et un écart-type de 0.122 sur 85 cas simulés. L’erreur relativement grande (39%) observée pour les tests dans la zone de transition se justifie par l’intégration de cette zone dans le lower régime. La résistance à l’écoulement ne prend pas en compte dans ce cas la différence entre les dunes et sa transition vers un fond plat en upper régime.

L’ensemble des cas étudiés sur des fonds plat en upper régime (10 tests) sont classés dans le lower-transitional régime ce qui explique l’erreur de 81.55% sur ces tests à cause de cette mauvaise classification. La même remarque est enregistrée pour les tests sur fond avec antidunes. 6/12 cas sont classés selon cette formule dans le régime correspondant (upper régime). Sur ces cas l’erreur moyenne était de 15.58% avec un écart-type 0.06. Le reste des cas 6/12 sont classés en Lower-transitional régime et l’erreur est de l’ordre de 40% (tableau VI.3).

En conclusion, on peut dire que l’intégration de la transition dans le lower régime est douteuse, car la résistance à l’écoulement due aux formes est différente dans les deux zones du fait de leurs tailles et leurs configurations. L’erreur dans la classification des écoulements dans l’un des deux régimes proposés implique des erreurs dans la prédiction des variables de l’écoulement

g- Formule de Recking et al. 2008 (tableau VI.2)

Par rapport aux précédents lois. Cette formule est différente dans la prise en compte des configurations des fonds. Elle définit deux types de rugosité, une pour la couche du fond et

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l’autre pour la couche dite de charriage. Elle a été proposée pour des fonds mobiles en gravier avec de fortes pentes. Dans ce travail, nous avons testé également sa validité pour des fonds sableux dans différentes situations de pente.

Sur 146 tests étudiés sur fond mobile, la formule a donné de bons résultats. On a enregistré une erreur moyenne de 18.14% avec un écart-type de 0.14. Cette erreur varie de 4.22% sur les fonds plats en upper régime à 38.42% sur des fonds avec rides. Les erreurs, un peu élevées, observées pour les dunes et les rides sont dues éventuellement à l’effet des tailles des formes qui sont mal représentées par la rugosité de la couche du fond. Pour les fonds plats (en lower et upper régime) et ceux avec antidunes, la formule est la meilleurs dans les 66 tests étudiés par rapport aux autre formules, c’est dû au fait que la résistance créée par les sédiments du lit et ceux en charriage est plus importante à celle des formes. Hu et Abrahams (2005) estiment que sur des fonds mobiles plats en écoulement torrentiel c’est cette résistance qui domine, de même pour les fonds fixes.

La formule est plus intéressante dans la zone de transition où les tailles des formes sont très variables et non contrôlable. L’étude de leurs effets sur la résistance à l’écoulement peut se faire dans une couche de charriage comme elle été définie par Recking et al. (2008). Dans les 49 tests simulés en transition la formule a donné une erreur moyenne de 19.28% avec un écart-type de 0.0916.

La bonne précision de la formule sur les 54 cas d’écoulement avec transport de sédiments sur fonds fixes montrent l’avantage de cette formule dans la prise en compte de l’effet du charriage sur la résistance à l’écoulement. Une erreur inférieure de 4% avec un écart-type de 0.033 est observée sur ces 54 tests. Ce constat est encourageant et mérite d’être étudié sur une large gamme de données de même genre

En conclusion, la formule de Recking et al. (2008) est favorablement testée sur 200 cas à fonds sableux mobiles et fixes, et sur de faibles pentes. Les résultats sont très bons dans les fonds fixes et mobiles plats et même en transition. Les erreurs remarquées pour les cas des dunes sont justifiées par le fait que la formule est proposée initialement pour des fonds en gravier à forte pente où cet effet est faible. Nos résultats prouvent qu’une généralisation de la formule pour d’autres situations (fonds en sable, et pentes faibles) n’est pas dangereuse, mais plutôt encourageante et demande d’autres vérifications.

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VI.2.2.2 Ecoulement non uniforme

a- Expérience de Balayn (2001)

Dans la présente simulation, on teste l’effet de la variation ponctuelle de la rugosité du fond sur l’estimation de la ligne d’eau. Pour cela, on a choisi une des expériences de Balayn (2001) effectuées au laboratoire de mécanique de fluide de l’institut national des sciences appliquées (INSA) à Lyon. Les expériences sontt menées sur un canal expérimental à pente nulle de 9 m de long et de 0.25 m de largeur. Une couche de sédiments de 2 cm d’épaisseur est déposée sur une distance de 1.5 m au milieu du canal (Fig.VI.3). Il s’agit d’un sable roulé provenant des gravières de la Rhône (silice de Type G3) avec un d50 de 1.0 mm et une étendue granulométrique (d84/d16)^1/2 de 1.30.

1 m

0.25 m 0.25 m

0.02 m Sediments d50 = 1.0 mm σ = 1.3

x = 5 m x = 6 m

Fig.VI-3 Dépôt de sédiments su le fond du canal dans l’expérience de Balayn (2001)

Le reste du fond du canal est maintenu sans sédiment. Les expériences sont menées avec un débit liquide constant de 8.89 l/s pendant 65 minutes.

Dans la simulation numérique nous gardons une valeur constante de Strickler K = 90 m^1/3/s sur la partie sans sédiment et nous faisons changer le coefficient de frottement selon les sept formules choisies dans la partie avec sédiment (x= 4.75 à 6.25 m). La valeur de Strickler maintenue constante est tirée après calage de la ligne d’eau mesurée et calculée sur un canal sans sédiment.

Les lignes d’eau calculées pour chaque formule de dissipation d’énergie dans les mêmes conditions d’écoulement sont comparées avec la ligne d’eau mesurée après 30 min d’écoulement.

b- Analyse des résultats

Toutes formules utilisées reproduisent bien l’allure de la ligne d’eau réelle avec des erreurs faibles, mais, variables d’une formule à l’autre.

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Les lignes d’eau calculées par la formule de Strickler et Yu and Lim (2003) présentent les écarts les plus importants par rapport à celle mesurée.

Un transport solide par charriage est observé dans une couche de 3 à 4 mm d’épaisseur, sur un intervalle de temps de 30 minutes, aucune forme n’est observée sur le fond Balayn (2001). Ce constat explique les résultats relativement bons des deux formules de Recking et al. (2008) et de Griffiths (1981). Ces dernières prennent en compte, respectivement l’effet du charriage et la mobilité des sédiments pour représenter la mobilité du fond. Par contre, le reste des formules à fond mobile se basent sur la nature et les tailles des différentes configurations du fond, cela explique pourquoi elles surestiment la profondeur d’eau (figures VI-4, VI-5).

Fig. VI-4 Le fond et les lignes d’eau mesurée et calculée (Strickler) après 30 minutes d’écoulement dans l’expérience de Balyan (2001)

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Fig. VI-5 Comparaison entre les lignes d’eau calculées par différentes formules de perte de charge dans l’expérience de Balyan (2001)

Ce test a donné une idée sur l'ntérêt de l’utilisation des formules de perte de charge qui tiennent compte de la variation ponctuelle de la rugosité du fond dans le calcul de la ligne d’eau par rapport à l’approche qui maintienne la rugosité constante dans l’espace. Des études plus exhaustives sur des tronçons de canaux ou de cours d’eau plus longs peuvent éclaircir davantage ce constat.

VI.3 Cas de terrain : Ecoulement non uniforme et non permanent

a- description de la la simulation

L’application réelle choisie concerne la crue de 1987 sur le tronçon de la rivière Inn qui traverse le village de Samedan en Suisse par un canal artificiel (Fig.VI.6). Au cours de cette crue, le débit maximum était de 286 m3 / s et l'eau a presque inondé le village [Correia (1992)].

La nature artificielle du canal montre bien l'effet de la dissipation d’énergie dans un écoulement non uniforme et non permanent en ignorant l’effet des parois et/ou de la géométrie du cours d’eau. Cette simulation nous permet d’observer l’effet de transport solide sur le développement des configurations du fond et par conséquent, leurs effets sur la résistance à l’écoulement. Cependant, nous supposons que la capacité de transport des sédiments est atteinte et elle est très faible pour affecter le comportement hydrodynamique de l’écoulement. on a simulé le même tronçon étudié par Correia (1992) dans la validation de

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