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Etude critique du transport solide et ses conséquences sur les cours d’eau naturels

M. Hasbaia

To cite this version:

M. Hasbaia. Etude critique du transport solide et ses conséquences sur les cours d’eau naturels.

Sciences de l’environnement. Thèse de doctorat, spécialité hydraulique, Université des sciences et de la technologie, Oran, 2011. Français. �tel-02594484�

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République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d’Oran

MOHAMED BOUDIAF

FACULTE D’ARCHITECTURE ET DE GENIE CIVIL DEPARTEMENT D’HYDRAULIQUE

THESE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE DOCTORAT ES-SCIENCES SPECIALITE : HYDRAULIQUE

PRESENTEE PAR : Mr HASBAIA Mahmoud

SUJET DE LA THESE

ETUDE CRITIQUE DU TRANSPORT SOLIDE ET SES CONSEQUENCES SUR

LES COURS D’EAU NATURELS

SOUTENUE LE ………..DEVANT LE JURY COMPOSE DE :

M. Nemdili Ali (Professeur, Université USTO d’Oran) PRESIDENT M. Benayada Lahouari (MCA, Université USTO d’Oran) RAPORTEUR Mr Houichi Larbi (MCA, Université de Batna) EXAMINATEUR Mr Ouerdachi Lahbassi (MCA, Université d’Annaba EXAMINATEUR Mr André Paquier (Dr HDR, Cemagref-Lyon, France) INVITE

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13 Janvier 2011

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DEDICACE

Je dédie ce travail à la mémoire de ma mère Kamir, à tous les membres de ma famille et en particulier à ma femme Roza

Et mes deux fils Med El Habib et Wassim Dhiaeddine

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Remerciements

Au terme de ce travail, j’adresse mes gratitudes à Mr Lahouari BENAYAD, mon directeur de thèse, d’avoir accepté de diriger cette thèse. Je tiens à lui présenter mes remerciements pour tous ses efforts, sa disponibilité, ses encouragements, et ses directives.

Dans le cadre de cette thèse, j’ai effectué un stage d’une année (Juin 2007 au Juin 2008) au Cemagref de Lyon au sein de l’unité de recherche d’Hydrologie et Hydraulique. Je profite cette occasion pour adresser mes chaleureux remerciements à tous les membres de cette unité HHY : responsable, personnels et thésards. Je remercie particulièrement avec beaucoup de reconnaissances M. André PAQUIER d’avoir accepté de m’accueillir au Cemagref, pour ses conseils, ses directives et encouragements, sa disponibilité, sans oublier sa participation dans le cheminement de cette thèse. Je remercie également M. Michel L., Mme Isabelle B., Mme Christine P., Kamal El kadi A., Thierry F., Hélène F.F., Anne E., Benoit C. , Jérôme L., Magali J., Mathieu, Guillaume D., Anne-Laure et tous les autres membres de HHY pour leur aide, leur sympathie et leur bonne humeur. Je n’oublie pas la personne avec qui j’ai partagé plus que le bureau, un grand merci à M. Charly Peyer pour son aide, sa sympathie et sa gentillesse.

Je tiens aussi, à exprimer mes vifs remerciements à M. OUERDACHI Lahbassi, de l’université d’Annaba et à M. HOUICHI Larbi de l’université de Batna d’avoir accepté d’examiner cette thèse. Je remercie également, M. Nemdli Ali, Professeur à l’université USTO d’Oran de m’avoir fait l’honneur de présider mon jury de thèse.

Je remercie également toutes les personnes qui ont contribué de près ou de loin dans la finalisation de ce travail, je cite Mrs Khaider Bouabdallah et Kadri Said, Isaad Azzouz de l’université de M’sila, Mme Abda de l’ANRH d’Alger, Mr Hattabe Ali (CTH-M’sla), Mr Zoughleche Mustapha (DHW-M’sila).

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Notations

A : section mouillée ;

Ac : section de la couche de charriage ;

Aes : couche d’écoulement du mélange (eau-sédiments en suspension) ; Af : section de la couche du fond exposée à l’érosion;

Am : section de la couche de mélange B : largeur supérieure du tirant d’eau ; b : largeur du lit du cours d’eau ;

C : concentration des sédiments en suspension ; Cc : concentration des sédiments charriés

C* : concentration moyenne des sédiments en suspension à l’équilibre ; Cl : concentration des sédiments en suspension des apports latéraux ; Cd : coefficient de traînée ;

Cr : nombre de courant

Cu : coefficient d’uniformité de Hasen ;

Dx : coefficient de la diffusion de la concentration des sédiments en suspension ; d : diamètre moyen des sédiment ;

ds : diamètre d’une particule solide ;

dx : diamètre de sédiment dont x% est plus fin;

( ) ( )

[

1/3

* d ρ ρ g/ ρυ²

d = s s

]

: diamètre adimensionnel des sédiments ; Fr : nombre de Froude

g : accélération de pesanteur ; h : profondeur d’eau ;

Ix : la pente géométrique du cours d’eau ; J : la pente énergétique ;

K : coefficient de Strickler

Kl : coefficient de la loi de chargement ; Kf, 1, 2, 3: coefficients de forme ;

Lc : longueur adaptative de chargement ; n : coefficient de manning ;

U : vitesse moyenne d’écoulement ;

Q : débit total du mélange (eau + sédiments) ;

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Qc : débit solide des sédiments charriés ;

*

Qc : débit solide des sédiments charriés à l’équilibre ;

*

Qs : débit solide des sédiments en suspension à l’équilibre ; Qe : débit d’eau ;

Qs : débit solide des sédiments en suspension ;

q : débit unitaire latéral (eau+sédiments en suspension);

qc : débit unitaire des sédiments charriés ; qs : débit unitaire des sédiments en suspension;

ql : débit unitaire latéral ;

P : porosité d’un mélange sédimentaire ; Pf : porosité de la couche du fond ; Pc : porosité de la couche de charriage ; Rh : rayon hydraulique

Re : nombre de Reynolds ;

Re*=U*ds/ν : le nombre de Reynolds de frottement ;

S : terme source d’échange entre les sédiments en suspension et le matériau du lit ; s=(ρs-ρ)/ρ : densité des sédiment ;

t : la variable temps ;

U : vitesse moyenne d’écoulement ; U* : vitesse frottement ;

Ucr : vitesse moyenne critique de début de mouvement ; Vc : vitesse de chute terminale des sédiments ;

x : direction longitudinale du cours d’eau ; Z : cote de la surface libre ;

Zf : cote du fond ;

α : coefficient d’adaptation des sédiments γ : poids spécifique de l’eau ;

γs : poids spécifique des sédiments ; μ : viscosité dynamique de l’eau ; ν : viscosité cinématique de l’eau ;

ρ : masse volumique du mélange eau +sédiments en suspension;

ρs : masse volumique des sédiments ;

δg : écart-type de la courbe granulométrique ;

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τ : contrainte de cisaillement;

τ0 : contrainte de cisaillement sur le fond ;

0)cr : contrainte de cisaillement critique de début de mouvement ;

( )

[

s s

cr ρ ρ gd

]

τ

τ* =( 0) / − : Contrainte de cisaillement adimensionnel ;

Indice

k : classe granulométrique

K : nombre des classes granulométriques ;

Terme :

Lower regime : est un régime d’écoulement lent correspondant à des fonds plats ou avec des rides ou dunes

Upper regime : est un régime d’écoulement rapide correspondant à des fonds plats ou avec antidunes

EM : Ecart moyen de la variation absolue du fond Zf =(Zf réelle – Zf calculée)

ERM : Ecart moyen de la variation relative du fond Zf =(Zf réelle – Zf calculée)/ (Zf réelle – Zf initiale)

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Résumé

Ce travail présente une étude critique de la modélisation des cours d’eau naturel à fond mobile. Un modèle 1D est développé en se basant sur les équations 1D de Saint-Venant résolu par un schéma aux différences finies de Preissmann. Le modèle a été vérifié sur un ensemble de tests élémentaires, en comparant ses résultats aux mesures en laboratoires ou à des références. Le modèle a été également utilisé dans l’étude de la propagation des crues pour estimer l’atténuation de leurs pics. Les crues de trois rivières et un oued algérien ont été simulées. Les résultats obtenus sont jugés satisfaisants. Les atténuations des pics des crues ont été estimées avec une erreur moyenne de l’ordre de 30%.

Une amélioration du terme de frottement, dans le code commercial Rubarbe développé au Cemagref de Lyon (France), est aussi présentée. Cette amélioration consiste à lui implémenter sept formules de frottement qui tiennent compte des différentes configurations des fonds des cours d’eau. Rubarbe ainsi modifié, est utilisé pour étudier l’effet du frottement et du transport solide dans les modèles 1D, en utilisant des expériences en laboratoires et un cas de terrain. Cette étude montre que la considération des formes de fond peut améliorer les prévisions du frottement et du transport solide, et, par conséquent, les résultats des modèles 1D.

Un tronçon de 6000 m de long de l’oued Bousaâda (situé à 250 km d’Alger) est simulé pour une période de 20 ans entre 1984 et 2004. Cette simulation est répétée avec plusieurs couples de formules (loi de frottement, loi de transport solide). La géométrie obtenue est variable selon le couple de formules utilisées. La comparaison avec la géométrie finale réelle montre qu’ainsi les modèles 1D peuvent être calés pour simuler des évolutions morphologiques de longue durée.

Mots-clés : 1D, modélisation numérique, Rubarbe, cours d’eau, transport solide, frottement, hydraulique à surface libre.

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Abstract

This work presents a critical study of the mobile bed modelling. A one dimensional numerical model for simulating flows in natural channels is developed. This model solves the conservative 1D form of shallow water equations, called the de Saint-Venant system. The differential system, expressed in terms of discharge (Q) and water depth (h), is closed with an empirical relationship giving the friction factor. Preissmann’s finite difference scheme, which is widely used in fluvial hydraulics, is employed to solve the flow governing equations. The model is verified by many tests; its results are compared to flume measurements, or to references. Moreover, the model is applied to simulate the propagation of floods from three rivers and one Algerian wadi. The results are acceptable; the mean error in estimating the attenuation of flood peaks is about 30%.

The improvement of the friction term in Rubarbe, is also presented, this improvement aims to implement seven friction formulas in the code, which allows considering the bed configuration regimes. The modified Rubarbe is used to study the effect of the friction and the sediment transport terms in 1D model. This latter study shows that taking into account the bed configuration regime improves the predictions of the friction and the sediment discharge, and therefore, the results provided using 1D models.

A section of wadi Bousaâda (at 250 km southern from Algiers) is simulated by Rubarbe for the period from 1984 to 2004. Several runs using various couples of flow resistance and sediment transport capacity formulas are carried out for this reach 6000 m long. The resulting geometry is variable according to the couple of formulas. The comparison to the actual final geometry shows the ability of 1D models to be calibrated to simulate a real and long event.

Keywords: 1D, numerical modelling, Rubarbe, natural stream, sediment transport, friction, free surface hydraulics.

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Sommaire

Introduction générale : ... 01

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide I.1 Transport de sédiments dans les cours d'eau : ... 03

I.1.1 Propriétés physiques des sédiments : ... 03

I.1.2 Propriétés hydrauliques des sédiments : ... 05

I.2 Seuil de transport solide :... 10

I.2.1 Introduction :... 10

I.3 Débit solide (capacité de transport) : ... 16

I.3.1 Débit solide par charriage : ... 16

I.3.2 Débit solide des sédiments en suspension : ... 18

I.3.3 Débit solide total (charriage et suspension) :... 19

Chapitre II Dissipation d’énergie dans les cours d’eau II.1 Introduction et définitions : ... 25

II.2 Différentes approches d’évaluation de la résistance d’écoulement dans les cours d’eau : ... 27

II.3 Formules de dissipation d’énergie utilisées :... 34

II.3.1 Formule de Strickler : ... 34

II.3.2 Formule de Wiliam R. Brownlie (1983) :... 34

II.3.3 Formule de G.A.Griffithis (1981) : ... 36

II.3.4 Formule de Karim (1995) :... 37

II.3.5 Formule de (Wu W., et Wang 1999) : ... 40

II.3.6 Etude de Guoliang YU et Siow-Yong Lim (2003) :... 42

II.3.7 Formule (Recking et al. 2008) :... 44

Chapitre III Etat de l’art des modèles 1D de transport solide dans les cours d’eau naturels III.1 Introduction : ... 48

III.2 Typologie des modèles numériques de transport solide : ... 48

III.2.1 Selon leurs dimensions :... 48

a- Modèles 1D : ... 48

b- Modèles 2D :... 49

c- Modèles 3D : ... 49

III.2.2 Selon l’équilibre dynamique : ... 50

a/ Modèles avec transport solide à l’équilibre :... 50

b/ Modèles avec transport solide non équilibré :... 50

III.2.3 Selon la méthode de solution (couplée et découplée) : ... 51

a- Solution couplée :... 51 viii

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b- Solution découplée :... 51

III.3 Formulation mathématique des écoulements dans les cours d’eau naturels : ... 51

III.3.1 Equations gouvernant les modèles 1D : ... 53

III.3.1.1 Equation de conservation d la masse liquide (sans sédiments) :... 53

III.3.1.2 Equation de conservation de la masse solide : ... 54

III.3.1.3 Equation de conservation de la quantité de mouvement :... 55

III.3.2 Synthèse : ... 58

III.4 Quelques modèles1D de transport solide dans les cours d’eau :... 59

III.4.1 Modèle de Rahuel (1988) :... 59

III.4.2 Modèle de Wang (1989) :... 61

III.3.3 Modèle de Holly et Rahuel (1990) :... 62

III.4.4 Modèle de Correia (1990) : ... 63

III.4.5 Modèle de Ben Slama et al. (1994) :... 64

III.4.6 Modèle de Trieu et al. (1994) :... 65

III.4.7 Modèle de Belleudy et Sthüttrumpf (1994) : ... 66

III.4.8 Modèle de Papanicolaou et al. (2004) :... 67

Chapitre IV Description des codes 1D utilisés : RubarBE et Hasbaia et Benayada (2010) VI.1 Description du modèle RubarBE : ... 70

IV.1.1 Equations du modèle :... 70

IV.1.2 Modèle hydraulique : ... 71

IV.1.3 Modèle de transport solide :... 72

IV.1.3.1 Conservation de la masse solide : ... 72

IV.1.3.2 Loi de chargement :... 73

IV.1.3.3 Distance de chargement dans le modèle RubarBE : ... 74

IV.2 Présentation du modèle Hasbaia et Benayada (2010) :... 75

IV.2.1 Equations du modèle :... 75

IV.2.2 Schéma numérique de Preissmann :... 80

IV.2.3 Description de la méthode des solutions alternées des solutions alternées: .. 81

Chapitre V Validation du modèle V.1 Introduction : ... 84

V.2 Résultats du modèle sur différents cas test :... 84

V.2.1 Canal à pente constante (TEST 1) :... 84

V.2.2 Canal avec rupture de pente (TEST 2) : ... 84

V.2.3 Canal avec variation de largeur (TEST 3 et 4) :... 85

V.2.3 Canal avec seuil de fond (TEST 5 et 6) : ……….86

V.3 Application du modèle à des cas de terrain:... 88

V.3.1 Description des cas d’étude:... 88

V.3.1.1 Etude de cas Algérien:... 90

V.3.1.2 Etude d’autres cas:... 90

a- Test 1 Crues rapides à doubles pics sur un long tronçon de rivière:... 90

b- Test 2 Crue lente sur un long tronçon de rivière:... 90 ix

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c- Test 3 Crue lente sur un canal artificiel: ... 91

V.3.2 Discussion et interprétation des résultats : ... 91

V.4 Conclusions: ... 96

Chapitre VI Examen de l’influence des lois de perte de charge VI.1 Introduction :... 97

VI.2 Les expériences au laboratoire:... 97

VI.2.1 Limites des données:... 97

VI.2.2 Analyse et discussions des résultats:... 101

VI.2.2.1 Ecoulements uniforme: ... 101

a- Formule de Griffithis 1981 (tableau VI.2): ... 101

b- Formule de Strickler (tableau VI.):... 102

c- Formule de Brownlie (tableau VI.2): ... 103

d- Formule de Karim (tableau VI.2): ... 104

e- Formule de Wu et Wang (tableau VI.2): ... 105

f- Formule de Yu et Lim 2003 (tableau VI.2):... 106

g- Formule de Recking et al. 2008 (tableau VI.2):... 106

VI.2.2.2 Ecoulements non uniforme: ... 108

a- Expérience de Balayn (2001):... 108

b- Analyse des résultats (Figs VI.4 et 5): ... 108

VI.3 Cas de terrain : Ecoulement non uniforme et non permanent:... 110

a- description de la simulation: ... 110

b- Discussion des résultats: ... 111

VI.4 Conclusion: ... 113

Chapitre VII Examen de l’influence des lois de transport solide VII.1 Introduction : ... 114

VII.2 Présentation des expériences utilisées: ... 115

VII.3 Analyse et discussion des résultats:... 116

VII.3.1 Fond mobile:... 116

VII.3.1.1 Formule de Meyer Peter et Müller (1948):... 116

VII.3.1.1 Formule d’Engelund et Hansen (1967): ... 117

VII.3.2 Fond rigide avec transport solide:... 118

VII.3.2.1 Formule de Meyer Peter et Müller (1948):... 119

VII.3.2.2 Formule d’Engelund et Hansen (1967): ... 120

VII.4 Conclusion: ... 120

Chapitre VIII Etude du cas de l’Oued Bousaâda VIII.1 Introduction : ... 121

VIII.2 Caractéristiques du bassin versant de Bousaâda: ... 121

VIII.3 La pluviométrie : ... 123

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VIII.4 Reconstitution de la courbe de tarage de la station hydrométrique de Bousaada: .. 124

VIII.5 Relation pluie débit: ... 128

VIII.6 Relation débit liquide - débit solide: ... 130

VIII.7 Détermination de la forme des hydrogrammes des crues: ... 130

VIII.8 Caractéristiques du tronçon de l’oued Bousaâda étudié:... 131

VIII.9 Paramètres de calcul:... 131

VIII.9.1 Formules de transport solide: ... 131

VIII.9.2 Formules de perte de charge:... 131

VII.10 Analyse des résultats et discussion:... 131

VIII.10.1 Simulations avec la formule de charriage de Meyer Peter et Müller (1948):132 VIII.10.2 Simulations avec la formule d’Engelund et Hansen (1967)... 134

VIII.11 Discussions et conclusions: ... 136

Conclusions générales et perspectives :... 138

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Liste des tableaux

Chapitre I

Tableau I. 1 Formules pour le coefficient de traînée. ... 07 Tableau I. 2 Formules de début de mouvement des sédiments basées sur la vitesse d’écoulement ... 12 Tableau I. 3 Formules du début de mouvement des sédiments basées sur la tension de cisaillement au fond ... 13 Tableau I. 4 Formules du début de mouvement pour des granulométries non uniformes 15 Tableau I. 5 Valeurs des coefficients de la formule d’Acker-White en fonction D* ...21 Tableau I. 6 Résumé des aspects fondamentaux des formules de prévisions du transport solide ... 23

Chapitre II

Tableau II. 1 Relations de prédiction des écoulements dans les cours d’eau naturels (López et al., 2007)... 29 Tableau II. 2 Profils de vitesse, et les lois de la vitesse moyenne, et du coefficient de frottement pour des canaux en écoulement uniforme (Graf, 1993, p. 59) ... 31 Tableau II. 3 Différentes expressions de ks Kabir (1992), Millard (1999), van Rijn (1984c), et Yen (2002)... 32 Tableau II. 4 Constantes k1, k2, k3 de la formule de Colebrook, d’après Yen (2002), et Graf (1993, p. 57) ... 33 Tableau II. 5 Relations proposées par (Recking et al. 2008)... 45 Tableau II. 6 Coefficient a et b pour la transition entre le régime 1 et le régime 2 d’après Recking (2008)... 46 Tableau II. 7 Coefficient a et b pour la transition entre le régime 2 et le régime 3 d’après Recking (2008)... 46

Chapitre III

Tableau III. 1 Récapitulatif des modèles 1D traitant les écoulements les écoulements avec transport solide dans les cours d’eau... 69

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Chapitre IV

Tableau IV.1 Paramètre de l’expression (IV.8) pour différentes formules de perte de charge

dans les cours d’eau... 77

Chapitre V Tableau V. 1 Caractéristiques des cours d’eau simulés ... 89

Tableau V. 2 Paramètres de calcul... 90

Tableau V. 3 Atténuations et retards des débits maximums des crues ... 93

Chapitre VI Table VI. 1 Limite des paramètres des expériences... 98

Table VI. 2 Comparaison entre les profondeurs d’eau calculées et mesurées ... 99

Table VI. 3 Comparaison entre les régimes correspondants aux formes observées ... 100

Tableau VI. 4 Vérification de la formule de Brownlie (1983) ... 103

Tableau VI.5 Vérification de la formule de Karim (1995) 105 Tableau VI.6 Variation de la profondeur d’eau pendant la crue de 1987 (rivière Inn) ... 112

Chapitre VII Tableau VII.1 Limites des paramètres des expériences... 115

Tableau VII.2 Comparaison entre les profondeurs d’eau mesurées et calculées par différentes lois de frottement... 116

Tableau VII.3 Comparaison entre les capacités de transport mesurée et calculée par la formule de Mayer Peter et Müller (1948) ... 116

Tableau VII.4 Classement des expériences selon la plus faible erreur du calcul de la profondeur d’eau ... 117

Tableau VII.5 Comparaison entre les capacités de transport mesurée et calculée par la formule d’Engelund et Hansen (1948) ... 118

Tableau VII.6 Comparaison entre les profondeurs d’eau mesurées et calculées par différentes lois de frottement... 119

Tableau VII.7 Comparaison entre les capacités de transport mesurée et calculée par la formule de Mayer Peter et Müller (1948) ... 119

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Tableau VII.8 Comparaison entre les capacités de transport mesurée et calculée par la formule d’Engelund et Hansen (1967) ... 120

Chapitre VIII

Tableau VIII.1 Débits moyens journaliers de l’oued Bousaâda... 125 Tableau VIII.2 Exemple des enregistrements des données hydrométriques instantanées 126 Tableau VIII.3 Calage du coefficient de Strickler pour la crue observée le 22 sep 1975 127 Tableau VIII.4 Débits maximums instantanés estimés à partir des pluies maximales journalières entre 1984 et 2004 ... 129 Tableau VIII.5 Ecarts moyens de la variation du fond mesurés et calculés par la formule de Meyer Peter et Müller (1948)... 132 Tableau VIII.6 Ecarts moyens de la variation du fond mesurés et calculés par la formule d’Engelund et Hansen (1967)... 134

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Liste des figures

Chapitre I

Fig. I-1 Début de mouvement des particules solides du fond... 10

Fig. I-2 Diagramme des forces appliquées sur une particule posée sur un lit en pente... 11

Fig. I-3 Diagramme de Shields (1936) ... 14

Fig. I.4 Diagramme de Shields modifié d’après Yalin (1972)... 15

Fig. I.5 Fonction f(U* /Vc) donnée par Laursen (1958) ... 20

Chapitre II Fig. II.1 Schéma de la répartition de la contrainte de frottement dans un écoulement à surface libre (Graf , 1995,p. 42)... 25

Chapitre III Fig. III-1 Définition du volume de contrôle ... 53

Fig. III-2 Section transversale type d’un cours d’eau ... 57

Fig. III-3 Définition de la couche de mélange d’après Rahuel (1988)... 60

Fig. III-4 Composition du fond d’après Correia (1992)... 64

Fig. III-5 Répartition de la section en travers Ben Slama et al. (1994)... 64

Fig. III-6 Schéma de transport solide d’après Trieu et al. (1994) ... 66

Fig. III-7 Définition du domaine de calcul dans le modèle Papanicolaou et al. (2004).... 68

Chapitre V Fig. V-1 Vérification de la hauteur d’eau sur un canal avec rupture de pente (Test 2) ... 85

Fig. V-2 Canal avec élargissement progressif en écoulement permanent (Test 3)... 86

Fig. V-3 Canal avec largeurs variables en écoulement permanent (Test 4) ... 86

Fig. V-5 Canal avec un seuil au fond en écoulement permanent fluvial (Test 5)... 87

Fig. V-5 Canal avec un seuil au fond en écoulement permanent fluvial/torrentiel (Test 6).... 87

Fig. V-6 Situation de l’oued de Bousaâda ... 89

Fig. V-7 Hydrogrammes de la crue de (17/12/81) à la rivière Jacul... 92

Fig. V-8 Hydrogrammes de la crue de (22/5/81) à la rivière Jacul... 92

Fig. V-9 Hydrogrammes de la crue de Février 1978 à la rivière la Save... 93

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Fig. V-10 Hydrogrammes de la crue centennale de l’oued Bousaâda ... 94 Fig.V-11 Hydrogrammes de la crue quinquennale de l’oued Boussaâda ... 94 Fig. V-12 Profondeurs d’eau aux abscisses x=0 m, 100 m et 1000 m pendant la crue de 1987 sur la rivière... 95

Chapitre VI

Fig. VI-1 Erreur moyenne normalisée en fonction du nombre de Froude (Formule de Griffiths en upper regime)... 102 Fig. VI-2 Erreur moyenne normalisée en fonction de (Tb'/Tc50), Wu et Wang (1999) . 105 Fig. VI-3 Dépôt de sédiments sur le fond du canal dans l’expérience de Balayn (2001) . 108 Fig. VI-4 Le fond et les lignes d’eau mesurée et calculée (Strickler) après 30 min dans l’expérience de Balyan (2001) ... 109 Fig. VI-5 Comparaison entre les lignes d’eau calculées par différentes formules de perte de charge dans l’expérience de Balyan (2001) ... 110 Fig. VI-6 Vue en plan du tronçon simulé de la rivière Inn (Photo de Google Earth) ... 111 Fig. VI-7 Hydrogramme de la crue de 1987 (rivière Inn) ... 111 Fig. VI-8 Profondeurs d’eau en fonction de temps à l’abscisse x= 500 m du tronçon simulé (rivière Inn) ... 113

Chapitre VIII

Fig. VIII-1 Différents sous-bassins, oueds et stations hydrométriques du bassin versant du Hodna ... 122 Fig. VIII-2 Situation du sous-bassin de l’oued Bousaâda dans le Bassin du Hodna ... 122 Fig. VIII-3 Courbe de double cumul (Ain Elmeleh Ain Kherman) ... 123 Fig. VIII-4 Modèle régressif de la pluie maximale journalière Ain Elmeleh =f(Ain Kherman)...124 Fig. VIII-5 Modèle régressif de la pluie mensuelle Ain Elmeleh =f(Ain Kherman) ... 124 Fig. VIII-6 Profil en long du tronçon de l’oued Bousaâda avec localisation de la station hydrométrique ... 126 Fig. VIII-7 Hydrographe des hauteurs d’eau et hydrogramme de la crue de 22 sep 1975.127 Fig. VIII-8 Corrélation entre les débits maximums observés dans le mois et les précipitations maximales journalières enregistrées dans le même mois (période 1988-2004)... 129 Fig. VIII-9 Relation entre les débits liquides et solides (oued Bousaada) ... 130

xvi

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(19)

xvii Fig. VIII-10 Profils en long calculés par la formule de Meyer Peter et Müller (1948) et comparés au profil réel ... 132 Fig. VIII-11 Profils en travers de la section (x = -2644 m) calculés par la formule de Meyer Peter et Müller (1948) et comparés au profil réel ... 133 Fig. VIII-12 Profils en travers de la section (x = -2050 m) calculés par la formule de Meyer Peter et Müller (1948) et comparés au profil réel ... 133 Fig. VIII-13 Profils en long calculés par la formule d’Engelund et Hansen (1967) et comparés au profil réel ... 135 Fig. VIII-14 Profils en travers de la section (x = -2644 m) calculés par la formule de Engelund-Hansen (1967) et comparés au profil réel... 135 Fig. VIII-15 Profils en travers de la section (x = -2050 m) calculés en utilisant la formule de Engelund-Hansen (1967) et comparés au profil réel... 136

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(20)

Introduction Générale

L’être humain était depuis son existence lié aux sources de l’eau dans la nature, ce qui explique la concentration de l’activité humaine à proximité les rivières et les cours d’eau. La compréhension du comportement de l’eau dans les cours d’eau était, et elle est encore une préoccupation majeure de l’homme pour à la fois, exploiter la ressource en eau et se protéger des dangers qui peuvent être engendrés. Les problèmes causés par les crues, les inondations et le transport solide sont indissociables de la morphologie et l’hydrodynamique des cours d’eau, ce qui montre l’importance de ce sujet.

Dans les cours d’eau en Algérie, l’eau coule souvent avec des fortes concentrations en sédiments à cause : du climat semi-aride caractérisé par une pluviométrie irrégulière, de l’état du sol le plus souvent sec et fissuré et du couvert végétal qui se dégrade d’un état moyen au Nord vers un terrain sans aucun couvert au Sud. Ces conditions expliquent les fortes concentrations en sédiments dans les cours d’eau, elles peuvent atteindre les 100 g/l. La dégradation spécifique des sols est de même importance, elle est à titre d’exemple de l’ordre de 2300 T/an/km² pour l'oued Isser à Lakhdari (à 100 km au sud d’Alger). L’envasement des barrages est malheureusement le résultat de ce taux spectaculaire de transport solide; ainsi, durant la période 1940-1980, la capacité des retenues algériennes a chuté de 52%.

L’étude des évolutions des cours d’eau du point de vue physique et mathématique est délicate car l’écoulement et le transport des sédiments sont toujours en état non-permanent, non-uniforme et hors équilibre. Ce caractère transitoire est encore plus marqué dans le cas de cours d'eau intermittents comme les oueds algériens.

L’évolution d’un cours d’eau suite aux événements naturels (crues) ou interventions humaines comme la construction des barrages ou autres aménagements, est le résultat d’interactions entre l’écoulement et le lit. Le cours d’eau a besoin d’un temps très long pour atteindre son état d’équilibre. La simulation ou prévision de l’état futur de ce phénomène réalisée par un modèle physique est donc à la fois difficile et très coûteuse. Une modélisation numérique est plus adaptée à ce genre d’étude. La littérature compte un nombre important de modèles numériques de tous types (1D, 2D, 3D). Dans un objectif de prédire la morphologie des cours d’eau à long terme, on s’est intéressé dans cette thèse aux modèles 1D des cours d’eau à fond mobile d’un point de vue critique et développement.

1

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(21)

2 Une première partie de cette thèse est consacrée à la bibliographie, elle débute par une description générale de tous les paramètres et lois nécessaires pour ce genre de modèles, à savoir : les caractéristiques physiques et hydrauliques des sédiments, les lois de mise en mouvement des sédiments, les différentes lois de transport solide et les lois de dissipation d’énergie spécifique au cours d’eau naturels. Dans une deuxième section de cette partie, on a détaillé les différents aspects de modélisation (1D) des cours d’eau à fond mobile à savoir: la typologie des modèles, les équations, les concepts, …. Cette section est clôturée par une description de quelques modèles 1D.

Dans la deuxième partie de la thèse un modèle 1D est développé. Il est basé sur les équations 1D de Saint-Venant résolues par un schéma aux différences finies de Preissmann.

Dans cette même partie de développement, nous apportons une amélioration au code commercial Rubarbe développé au Cemagref de Lyon (France). Cette amélioration consiste à modifier le terme relatif au frottement dans le code pour tenir compte du frottement dû aux différentes configurations des lits des cours d’eau. Le code Rubarbe ainsi modifié est utilisé par la suite dans une étude critique de l’effet des lois de frottement et de transport solide dans les modèles 1D.

En dernière partie du présent travail, un cas type des oueds algérien est étudié ; il s’agit d’un tronçon de 6000 m de l’oued Boussaâda dans le bassin du chott Hodna à la wilaya de M’sila (à 250 km au sud d’Alger). La simulation de ce tronçon de l’oued couvre une longue période de 1984 jusqu’au 2004, les débits significatifs de toute cette période sont introduits dans le code pour prédire la nouvelle géométrie de l’oued de 2004. Cette simulation est répétée en utilisant plusieurs formules de dissipation d’énergie et de transport solide dans un objectif de voir l’effet simultané des lois de frottement et de transport solide.

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(22)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

Chapitre I

Propriétés des sédiments et lois de transport solide

I.1 Transport de sédiments dans les cours d'eau I.1.1 Propriétés physiques des sédiments

Du fait que les sédiments ne possèdent pas des formes ordinaires, ils sont étudiés par l’introduction d’un diamètre équivalent qui se définit comme suit:

ƒ Le diamètre d’une sphère ayant le même volume que la particule ;

ƒ La longueur minimale d’un crible carré à travers lequel la particule peut passer ;

ƒ Le diamètre d’un sédiment sphérique ayant la même vitesse terminale de chute dans l’eau à 24 °C

En plus du diamètre, la forme de la particule est prise en considération par l’introduction d’un coefficient de forme qui se définit comme suit :

ab

kf = c (I-1)

Tel que,

a : la dimension la plus grande du sédiment ; b : la dimension la plus petite du sédiment ; c : la dimension intermédiaire du sédiment ;

Ce coefficient est toujours inférieur à 1, il est généralement de l’ordre de 0.7 pour les graviers.

Pour étudier un mélange de particules solides on définit les paramètres suivants :

La répartition granulométrique

Elle sert à déterminer la répartition en poids des tailles des particules dans un mélange de sédiments. Le poids de chaque classe de grains est déterminé à partir des résultats de tamisage pour des diamètres supérieurs à 100 μm et par l’essai de sédimentométrie pour des diamètres inférieurs. Par ailleurs, on peut tracer une courbe granulométrique du mélange qui lie chaque diamètre dy au poids y des particules de cette taille ou de taille inférieure, ce poids est indiqué en pourcentage au poids total de la matière sèche du mélange étudié.

Pour définir un diamètre représentatif d'un mélange, on choisit souvent d50, mais on peut utiliser également d90, d65, d50 pour calculer la rugosité du fond et parfois d50 et d35 pour l'étude des contraintes de cisaillement sur le fond.

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 3

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(23)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

Pour le calcul du diamètre moyen on utilise souvent parmi plusieurs définitions, la définition suivante :

= i i

myen pd

d (I-2) di: diamètre de chaque classe granulométrique ;

Pi: le pourcentage en poids du matériau qui traverse le tamis de diamètre di

En général, un seul diamètre ne peut pas représenter parfaitement un mélange, d'où l’introduction des coefficients qui identifient l’uniformité de la granulométrie :

Le coefficient d'uniformité est généralement donné par la formule suivante

25 75

d

= d

ϕ (I-3)

Ou plus universellement, par le coefficient d’uniformité de Hasen donné comme :

10 60

d

Cu= d (I-4)

Nous utilisons également l'écart type de la courbe granulométrique δg ou le coefficient de gradation Gr pour décrire l’uniformité de la granulométrie,

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ +

=

50 84 16

5 50

.

0 d

d d

Gr d (I-5)

2 / 1

16 84⎟⎟

⎜⎜ ⎞

=⎛ d d

δg (I-6)

La masse volumique des particules solides ρs est définie comme étant le rapport de la masse des particules Ws sur leur volume Vs.

s s

s V

=W

ρ (I-7) ρs : est de l'ordre de 2.65 g/cm3;

Pour prendre en considération la porosité, on définit la masse volumique apparente ρa

comme étant le rapport de la masse des particules solides Ws au volume apparent Vap

ap s

ap V

= W

ρ (I-8) La porosité est le rapport entre le volume des vides Vv et le volume total du mélange Vt

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 4

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(24)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

s t

v t

v

V V

V V

p V

= +

0 = (I-9) Par contre l’indice des vides se définit comme suit :

s v

V

e=V (I-10) Han et al. (1981) ont proposé une formule empirique pour estimer la porosité initiale pour un dépôt de sédiments uniformes :

⎪⎩

⎪⎨

≥ +

⎟ <

⎜ ⎞

− +

=

mm d

e

mm e d

d d p

d d

d 1

17 . 0 3 . 0

4 1 525 . 0 1

0 0)/ ( 095 . 0

3

0 (I-11)

Où, d est le diamètre des sédiments en mm, d0 est le diamètre de référence pris égal à 1 mm, e est l’épaisseur de la couche d’eau attachée aux particules solides (0.0004 mm environ)

Pour un dépôt de sédiments non uniformes, une formule empirique proposée par Komura (1963) et revalidée par Wu and Wang (2006) sur des larges gammes de données de laboratoire, elle s’écrit sous la forme suivante:

(

50

)

0.21

0 0.1

0864 . 245 0 .

0 d

P = + (I-12)

Avec d50 en mm.

I.1.2 Propriétés hydrauliques des sédiments

La vitesse de chute des sédiments dans l’eau calme est un paramètre très important dans l’étude de la dynamique fluviale. C’est la vitesse de chute terminale en eau distillée calme sans aucune influence de la paroi ou d’autres particules.

Lorsqu’une particule sphérique tombe dans l’eau calme, sa vitesse se stabilise après une certaine transition; elle est donc sous l’action d’une résultante de forces nulle; ces dernières sont le poids de la particule, la poussée d’Archimède et la force de traînée associée au mouvement.

Une particule solide dans son parcours de chute est soumise à deux forces verticales : son poids sous l’eau qui résulte du poids et la poussée d’Archimède, et la force de traînée

Le poids

3

) 1

( gkd

Ws = ρs−ρ (I-13)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 5

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(25)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

La force de traînée

2

2 2

2 c

d T

d V k C

F = ρ (I-14)

Tel que k1 et k2 sont des coefficients de forme, Cd coefficient de traînée, d est le diamètre du sédiment. Dans la phase terminale de chute la force de traînée et le poids sous l’eau sont égaux, ce qui donne :

2 / 1

2

1 2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎛ −

= gd

C k

V k S

d

c ρ

ρ

ρ (I-15)

Dans le cas d’un régime laminaire (Re = Vcd/υ)< 1, Stockes a exprimé la force de trainée d’une particule sphérique par une solution des équations de Navier-Stockes sans le terme d’inertie, le coefficient de traînée résultant est donné par :

Re

= 64

Cd Équivalent à

μ ρ ρ

18 )

( gd2

Vc s

= (I-16)

En régime turbulent (Re >1) la vitesse de chute s’écrit :

d

c gd s C

V 1

) 1 3 (

4 −

= (I-17)

Où,

La forme irrégulière des particules solides est associée à des valeurs plus grandes du coefficient de traînée par rapport aux sédiments sphériques. Pour les sables et les graviers, le coefficient de traînée est exprimé par la relation suivante (Chanson 2004, P. 160)

5 . 24 +1

= dV Cd

ρ c

μ (I.18)

La combinaison des deux équations (I .17) et (I.18) donne l’expression suivante )

1 ( 5 . 24 1 3

4 −

⎟⎟

⎜⎜

⎛ +

= s

d V V gd

c c

ρ

μ

(I.19)

Rubey (1933) propose la formule suivante pour les sédiments naturels : gd

F

Vc s ⎟⎟

⎜⎜ ⎞

⎛ −

= 1

ρ

ρ (I.19a)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 6

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(26)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

Tel que F=0.79 pour les sédiments de diamètres supérieurs à 1 mm, pour des petits diamètres F est donné par la formule suivante (in Wu 2008, P. 61)

( ) ( )

2 / 1 3

2 / 1 3

2

1 / 36 1

/ 36 3

2 ⎥

⎢ ⎤

− −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ + −

= ρ ρ ρ ρ

υ

s

s gd

F gd (I-20)

Le coefficient de traînée dépend de la nature de l’écoulement autour de la particule. Par conséquent, il peut prendre plusieurs expressions. Nous en récapitulons quelques unes dans le tableau suivant :

Tableau I .1 Formules pour le coefficient de traînée

Auteurs Année Condition Formule Schiller et al. 1933 Re < 800

) Re 150 . 1 1 Re(

24 0.687

+

=

Cd (I-20)

Rubey 1933 …

1 . Re 2 24+

=

Cd (I-21)

Dallavalle 1943 …

4 . Re 0 24+

=

Cd (I-22)

Toborin et al. 1959 …

) Re 0026 . 0 Re 197 . 0 1 Re(

24 0.63 1.38

+ +

=

Cd (I-23)

Olson 1961 1 < Re < 100 1/2 (I-24)

16Re 1 3 Re

24 ⎟

⎜ ⎞

⎝⎛ + +

= Cd

(I-25) Zang 1961

2 . Re 1 34 +

= Cd Engelund et 1967 Re < 104

naturels

Hansen sédiments 1.5

Re 24+

=

Cd (I-26)

Zanke 1977 (I-27)

1 . Re 1 24+

= Cd

(I-28) Raudkivi 1990

2 . Re 1 32 +

= Cd

(I-29) Julien 1995

5 . Re 1 24+

= Cd Cheng 1997 Re < 104

aturels

(I-30)

sédiments n

2 / 3 3 / 2

Re 1 32

⎟⎟

⎜⎜

⎛ ⎟ +

⎜ ⎞

= ⎛ Cd

Brown et 2003 Re < 2 105

Lawler sédiments

sphériques

Re) / 8710 ( 1

407 . ) 0

Re 150 . 0 1 Re(

24 0.68

+ + +

=

Cd (I-31)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 7

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(27)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

Pour des R*>105 le t de traînée est presque constant, Camenen and Larson (20

pour des particules sphériques et 1< B < 1.3 pour des sédiments naturels.

Dan

coefficien 07) proposent CD =B R* >105

Avec B = 0.39

s ce cas la vitesse de chute s’écrit :

(

s

)

gd Vc B 1

3

4 −

= (I-32)

Pour étudier le mélange eau sédiments on définit également les paramètres suivants : La concentration volumique :

1 0

) dim (

dim p

ents

eau mélange du

volume

ents

des volume

Cv = −

= + (I-33)

La concentration massique :

v m v

C s

C ents

eau mélange du

masse

ents

des masse

C ( dim ) 1 ( 1)

dim

= +

= + (I-34)

t quand l’eau est en écoulement, ces concentrations seront:

E

Concentration volumique transportée

e s

s

vt Q Q

C Q

= + (I-35)

Concentration massique transportée

e e s s

s mt s

Q Q

C Q

ρ ρ

ρ

= + (I-36)

a présence des sédiments en suspension dans l’eau nécessite la correction de la vitesse de

(I-37) la vitesse de chute corrigée

K1 est donné par des formules empiriques, Wu (2008, P. 66) résume certaines formules de ce L

chute des sédiments par rapport à celle dans l’eau claire, d’où l’introduction d’un coefficient de correction K1 tel que :

c

c KV

V' = 1

'

Vc

type :

( ) (

0.33

)

1 = 1−2.15C 1−0.75C

K Olivier (1961) (I-38)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 8

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(28)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

(

C

)

n

K1 = 1− n varie de 2.9 à 4.9 Richardson and Zaki (1954) (I-39)

Crowe (1987) [in Camenen and Larson (2007)] propose d’exprimer n en fonction de ν

* Vd/

R = c par la formule suivante :

4 / 3

* 4 / 3

*

175 . 0 1

175 . 0 352 .

2 R

n R

+

= + (I-40)

n

d K C

⎟⎟

⎜⎜

= 1 2

1 n =3 pour d = 0 .01 mm Sha (1965) (I-41)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 9

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(29)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

I.2. Seuil de transport solide I.2.1 Introduction

La condition de mise en mouvement d'une particule solide posée sur le fond est évaluée sur la base des considérations d'équilibre entre les forces qui lui sont appliquées, mais à ce seuil correspondent trop souvent des valeurs très dispersées des paramètres qui le définissent.

En augmentant la vitesse de l’eau sur un lit de granulat, tant que rien ne bouge, on ne peut rien dire, mais dès que la vitesse dépasse une certaine valeur critique (Ucr), on voit que les grains composant le fond commencent à se déplacer en donnant naissance à un débit solide.

Le transport solide par conséquent, est un phénomène à seuil.

U < Ucr U > Ucr

Fig. I-1 Début de mouvement des particules solides du fond

Supposons une surface Ω du fond de longueur L, et tous les grains détachés parcourant des sauts de longueur moyenne égale à L.

Si N est le nombre de détachement des particules pendant la durée T, le débit solide Gs sera égal à

T GS = NP

Tel que, P est le poids d’un grain.

L’expérience montre que pendant T et pour une autre partie du fond Ω on obtiendra un nombre N de détachements différent, ce qui explique que N est une variable aléatoire n’ayant qu’un sens statistique.

Examinons les conditions de détachement d'une particule soumise aux forces suivantes :

ƒ Son poids W = K3( ρs - ρ) g d3 (I-42) K3 : coefficient de forme de grain ;

d : diamètre de la particule solide ;

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 10

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(30)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

U

Fig. I-2 Diagramme des forces appliquées sur une particule posée sur un lit en pente

ƒ Aux forces hydrodynamiques

ƒ Traînée Fx = Cx K1 d² ρUf²/2 (I-43)

ƒ Portance Fy = Cy K2 d² ρUf²/2 (I-44) Tel que, Uf : Vitesse de fluide au fond du canal ;

Cy,x : Coefficients de traînée et de portance;

K1,2 :Coefficients de forme qui font approcher les projections de la particule sur le plan x = 0 et le plan y = 0 à un cercle de diamètre d ;

La mise en mouvement d'une particule est conditionnée par la résultante des forces exercées sur cette même particule

∑ ∑

=

=

y x n

t

F F F

tgϕ F (I-45) Où, Ft , Fn sont les forces parallèles et normales à la surface du fond dans notre cas

y x

F W

F tg W

+

= +

) sin(

) sin(

α

ϕ α (I-46)

L’introduction de (I-42),( I-43), et (I-44) dans (I-45)donne :

ϕ α α

ϕ ρ

ρ C K C K tg

tg K gd U

y x

s cr f

2 1

3

2 2 ( ( )cos( ) sin( ))

) 1 / (

) (

+

= −

− (I-47)

Cette dernière relation a orienté les premières recherches à formuler le début de mouvement des sédiments par la vitesse d’écoulement près du fond. Dans cette catégorie de

w Fr Fx

α y

X

φ α

Fn

Ft

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 11

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(31)

Chapitre I Propriétés des sédiments et lois de transport solide

formules, nous citons comme exemple les travaux de Mavis (1948), Barekyan (1963) et Carstens (1966). La difficulté de mesurer (avec précision) la vitesse d’écoulement près du fond dans les cours d’eau naturels limite l’utilisation à grande échelle de ce type de formules. Toute fois, dans d’autres travaux ce seuil a été caractérisé par une vitesse moyenne d’écoulement critique. Dans cette catégorie de formules, nous citons comme exemple les formules suivantes :

Tableau I.2 Formules de début de mouvement des sédiments basées sur la vitesse d’écoulement

Auteurs Formules Conditions

d’application Jarocki 1963

7 ) ln(

4 . 1

s s

cr d

gd h

U = [m/s] >60

ds

h (I-48)

Neill 1967

( )

2 . 2 0

5 . 1 2

⎟⎠

⎜ ⎞

= ⎛

h

d gd

s

Ucr s

[cm/s] 5 < ds >50 mm 0.1 < h>20 m

(I-49)

J.E.Costa 1983 0.20 0.455

s

cr d

U = [m/s]

4 .

27 0

.

0 s

cr d

U = [m/s]

ds > 50 mm ds > 500 mm

(I-50)

Yang, 1973

[ ]

⎩⎨

⎧ + −

= 2.05

06 . 0 ) / log(

/ 5 . 2 66 .

0 U*d υ

V U

c cr

70 /

70 / 2

. 1

*

*

<

<

υ υ d

U

d

U (I-51)

Zhang (1961) 1/7

34 .

1 ⎟

⎜ ⎞

⎟⎟⎛

⎜⎜ ⎞

= ⎛ −

d gd h

Ucr s

ρ ρ

ρ (I-52)

Parallèlement à ça, le critère de mise en mouvement des particules solides peut de même se définir par une tension critique de cisaillement au fond. Dans cette catégorie de travaux nous récapitulons quelques formules dans le tableau I-3.

Shields (1936) a montré que la loi de mise en mouvement peut s’exprimer par un diagramme écrit en τ* = f(Re*), ce dernier est représenté dans la figure I.3, tel que :

(

γ γscr

)

ds τ τ

= (−0)

* : la tension adimensionnelle de frottement ν s

d U*

Re* = : le nombre de Reynolds de frottement

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 12

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Figure

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