Les cas tests simulés montrent que le modèle produit des résultats acceptables avec des erreurs inférieures à 4%. Dans le cas du; test 6, le modèle ne peut pas simuler les ressauts hydrauliques, le passage du torrentiel au fluvial est mal simulé par le modèle. Toutefois, dans le cas inverse (le passage du fluvial au torrentiel), le modèle donne également de bons résultats. L’ensemble des cas étudiés montrent que le modèle est très sensible aux variations rapides des paramètres, il peut donner des mauvais résultats si ces variations sont très importantes. Par ailleurs, un écart des résultats est observé en fonction de φ, entre φ = 0.5 et φ
= 0.65, cet écart peut atteindre le seuil 5% . Dans quelques cas, au-delà de φ > 0.65, des oscillations numériques sont remarquées ; nous avons pu les éliminer en jouant sur le pas de temps.
Pour les cas de terrain, le modèle calcule bien l’atténuation des pics des crues. À travers toutes les crues simulées, l’erreur moyenne des résultats obtenus est de l’ordre de 30%. Cette erreur est acceptable à cause des erreurs relatives aux mesures de terrain et la taille des tronçons et des crues étudiés.
A travers la simulation des crues centennale et quinquennale de l’oued Bousaâda, les résultats ont montré la marge d’erreur de l’estimation des débits des crues par l’approche hydrologique basée sur les précipitations. Nous avons remarqué également une sensibilité des résultats aux formules de dissipation d’énergie ; l’implémentation des formules de Chezy et de Strickler, donne une différence des atténuations des débits des crues de l’ordre de 10%
pour le même cours d’eau (oued Boussaâda). Ce constat nécessite une étude (dans le chapitre suivant) plus exhaustive pour estimer l’ordre de cette sensibilité. Le calage de ces formules à des oueds en Algérie est jugé nécessaire. La nature fluviale des oueds algériens, met en évidence la nécessité d’avoir au moins deux stations hydrométriques dans le même oued pour imposer les conditions aux limites amont et aval ; une troisième station ou plus serviraient à la validation des résultats.
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Chapitre VI Examen de l’influence des lois de perte de charge
Chapitre VI
Examen de l’influence des lois de perte de charge
VI.1 Introduction
Dans le chapitre III, après avoir exposé les différentes approches de détermination de la dissipation d’énergie dans les cours d’eau ; on a sélectionné sept formules de perte de charge.
Ces dernières ont été utilisées pour faire l’objet de comparaison et de test de leurs effets sur la qualité des résultats des modèles numériques (spécialement un modèle 1D) des écoulements dans les cours d’eau.
Les différents modèles (1D et 2D) numériques des écoulements à surface libre sont basés sur les équations de Saint-Venant. Dans ces dernières, le terme de perte de charge est le terme dominant, il est aux alentours de 10-3 en comparaison avec les autres termes qui sont de l’ordre de 10-5 (Cunge et al. 1980). Les études de l’effet des lois de perte dans ce genre de modèles sont rares, nous citons le travail de Huang (2007) comme référence ; dans ce chapitre, on contribuera à l’examen de l’effet de la perte de charge dans les modèles numériques.
Pour ce fait, on a sélectionné un jeu de données expérimentales balayant tous les cas pratiques des écoulements uniformes sur fonds mobiles avec ou sans formes. Dans chaque expérience, la forme du fond est bien identifiée. L’ensemble des cas étudiés couvrent tous les cas pratiques possibles : fond plat, avec rides, avec dunes et avec antidunes. Pour le cas d’un écoulement non uniforme on a étudié une expérience de laboratoire effectuée par Balayn (2001), et pour l’écoulement non permanent nous avons étudié une crue réelle de la rivière Inn traversant un canal artificiel passant par le village Samedan en Suisse Correia (1992) VI.2 Les expériences au laboratoire
VI .2.1 Limites des données
Deux séries d'expériences publiées par Wang et White (1990) sont utilisées. La première série (64 expériences) a été réalisée au laboratoire de recherche de l'université de Tsinghu, Beijing, en Chine. Le canal utilisé est à pente variable avec recirculation de 60 m de long et de 1,2 m de large (tableau VI.1). La seconde série (44 expériences) a été réalisée au laboratoire de Hydraulics Research, Wallingford-Angleterre en 1989, les expériences ont été réalisées avec un canal à pente avec recirculation de 24 m de long et 0,917 m de large (tableau VI.1).
Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 97
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Chapitre VI Examen de l’influence des lois de perte de charge
Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 98 Parmi ces 108 expériences, 6 expérimentations ont été observées sur un fond plat en Lower régime, 29 sur un lit avec des rides, 12 sur un lit avec des dunes, 39 sur un lit en transition, 10 sur un lit plat en upper régime et 10 expériences sur un fond avec antidunes.
Deux autres séries d'expériences réalisée par Hu et Abrahams (2005) ont été également utilisées. La première série est constituée d’un ensemble de 54 expériences, ces dernières ont été menées sur un canal à pente variable de 5.2 m de long et 0,25 m de large avec un lit fixe.
Les 38 expériences constituant la deuxième série sont menées dans le même canal (avec une largeur de 0.4 m), mais sur des lits mobiles (tableau VI.1). Dans la première série d'expériences, une mince couche de sédiments (de la même taille des grains) est collée sur le fond du canal. Des sédiments de taille identique à celle collée sur le fond sont placés dans la partie supérieure du canal à partir d'une trémie de vibrations. Le taux de transport des sédiments est généralement inférieur à la capacité de transport.
Ces deux dernières séries d’expériences sont utilisées dans cette étude pour montrer évaluer l'effet de charriage sur la résistance à l'écoulement sur des lits plats rigides ou pavés.
Dans toutes les expériences, l’écoulement est fluvial (Fr < 1) et turbulent (Re >2440) [Hu et Abrahams (2005)].
Table VI.1 Limites des paramètres des expériences
Nd Lit B
[m]
h *10-2 [m]
Q*10-3 [m3/s]
d50
[mm]
S *10-3 Re Fr
54 Fixe 0.25 0.84-1.45 0.272-1.47 0.74-1.16 55-166 19297-45849
1.82-3.24 Hu et
Abraham,
(2005) 38 mobile 0.4 0.32-0.81 1.27-3.08 0.74-1.16 51, 114 2548.1-12072.5
1.10-2.04
64 mobile 1.2 0.10-0.365 24-410 0.76 0.01-3.054 80666,66-1366333,33
0,065-1,327 Wang et
White
(1999) 44 mobile 0.917 0.08-0.143 22.5-135 0.076 0.111-10.73
98146,13-588876,77
0,189-1,646
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Chapitre VI Examen de l’influence des lois de perte de charge
Table VI2 Comparaison entre les profondeurs d’eau calculées et mesurées
Formule de Strickler Brownlie (1983) Griffithis (1981) Karim (1995) Wu et Wang (1999)
Yu et Lim (2003)
Recking et al.
(2008)
Nd M (%) σ M(%) σ M(%) σ M(%) σ M(%) σ M(%) σ M(%) σ
fond plat 44 22.37 0.109 29.78 0,085 50.93 0,370 18.45 0,204 26.98 0,106 22.92 0,126 8.31 0,079 Rides 29 32.99 0.0789 9.71 0,074 20.32 0,120 24.03 0,089 14.41 0,076 17.40 0,112 3842 0,074 Lower
regime
Dunes 12 21.94 0.0422 6.95 0,112 20.52 0,221 6.20 0,105 5.52 0,066 9.99 0,055 25.77 0,085 regime transitoire 39 13.37 0.0913 12.03 0,125 13.54 0,084 17.66 0,128 21.47 0,196 39.03 0,249 19.28 0,096
fond plat 10 8.38 0.0530 29.83 0,285 19.83 0,109 29.16 0,137 52.75 0,237 81.55 0,210 4.22 0,089 Upper
regime antidunes 12 4.23 0.0160 11.17 0,089 3.08 0,035 37.26 0,194 20.49 0,087 27.64 0,175 5.41 0,036 fond
mobile
total 146 20.74 0.127 17.65 0.150 26.30 0.280 19.11 0.140 22.49 0.175 29.50 0.241 18.14 0.144 fond rigide 54 12.96 0.0431 16.24 0,0379 36.39 0,0566 8.23 0,0444 26.58 0,0919 23.61 0,0586 3.86 0,0332
(Nd) nombre d’expériences, (M) l’erreur moyenne normalisée en pourcentage, et (σ) l’écart-type de M.
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Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 100
Table VI3 Comparaison entre les régimes correspondants aux formes observées et calculés
Formes observées fond plat en lower regime Rides Dune régime transitoire fond plat en upper regime
Antidunes
Nd 44 29 12 39 10 12
Régime LR UR LR UR LR UR LR UR LR UR LR UR
Nr 44 0 29 0 12 0 10 29 0 10 0 12 M(%) 29.78 -- 9.71 -- 6.95 -- 8.56 13.22 -- 29.83 -- 11.11
Brownlie (1983)
σ 0.085 -- 0.074 -- 0.11 -- 0.068 0.14 -- .285 -- 0.088 Régime LR TR UR LR TR UR LR TR UR LR TR UR LR TR UR LR TR UR Nr 44 0 0 29 0 0 12 0 0 4 28 7 0 3 7 0 3 9 M(%) 18.44 -- -- 24.03 -- -- 6.20 -- -- 18.41 20 7.61 39.41 24.77 -- 51.75 32.43
Karim (1995)
σ 0.20 -- -- 0.089 -- -- 0.105 -- -- 0.056 0.14 0.033 0.24 0.01 -- 0.02 0.20 Régime SFB RDF GWO SFB RDF GWO SFB RDF GWO SFB RDF GWO SFB RDF GWO SFB RDF GWO
Nr 5 39 0 0 29 0 0 12 0 0 18 21 0 1 9 0 0 12
M(%) 17.7 28.44 -- -- 14.41 -- -- 5.52 -- -- 9.18 32.01 -- 26.66 55.65 -- -- 20.5
Wu et Wang (1999)
σ 0.109 0.100 -- -- 0.076 -- -- 0.066 -- -- 0.074 0.213 -- -- 0.23 -- -- 0.087 Régime LTR UR LTR UR LTR UR LTR UR LTR UR LTR UR
Nr 6 38 29 0 12 0 39 0 10 -- 6 6
M(%) 17.7 23.75 17.4 -- 10 -- 39.03 -- 81.55 -- 33.71 15
Yu et Lim (2003)
σ 0.1 0.12 0.112 -- 0.055 -- 0.249 -- 0.21 -- 0.17 0.06 Régime D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 Nr 2 13 29 0 0 29 0 0 12 0 0 39 0 0 10 0 0 12 M(%) 15 5.6 9 -- -- 38.4 -- -- 25.7 -- -- 25.7 -- -- 4.22 -- -- 5.41
Recking et al.
(2008)
σ 0 0.048 0.087 -- -- 0.074 -- -- 0.085 -- -- 0.085 -- -- 0.088 -- -- 0.036 (Nd) nombre des expériences observées, (Nr) nombre d’expériences détectées par chaque formule, (LR) Lower Regime, (UR) upper regime, (TR) Régime transitoire, ( LTR) Lower Transitional Regime,
(SFB) Fond plat stationnaire, (RDF) rides et dunes, (GWO) disparition graduelle des formes, (D1) sans charriage, (D2) charriage moyen, (D3) charriage intenssif
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VI.2.2 Analyse et discussions des résultats
VI.2.2.1 Ecoulements uniforme
a- Formule de Griffithis 1981 (tableau VI.2)
Cette formule est développée et calibrée pour des rivières en gravier en écoulement fluvial. Elle suppose que l’effet de la rugosité relative des grains (Rh/d50) est négligée devant un paramètre dit de mobilité (U/ gd50 ) Griffiths (1981), cette supposition est valable pour des grandes valeurs de (d50 >12 mm).
Dans ce travail nous avons testé la marge d’erreur de son utilisation pour des fonds en sable (fin et grossier) et dans des écoulements fluviaux et torrentiels.
L’utilisation de cette formule pour des fonds rigides ou pavés n’est pas justifiée, car le facteur de mobilité n’a pas de sens, c’est plutôt la rugosité relative des grains qui joue le rôle le plus important dans la résistance à l’écoulement ; sur les 54 tests (fonds fixes) étudiés une erreur moyenne supérieure à 36% est observée avec un écart-type σ = 0.056.
Sur les fonds mobiles les erreurs sont très fluctuantes, elles reflètent le cadre statistique de la formule, d’ailleurs, même sur les données utilisées par Griffitths (1981), cette formule n’a expliquée que 40% des résultats.
Sur des fonds en présence des rides, 29 cas ont été simulés, elles se développent en lower regime. Les erreurs sont aux alentours de 20% avec des écart-types de σ = 0.12.
Dans des lit plats en lower regime nous avons remarqué sur les 44 cas simulés une erreur moyenne de l’ordre de 50% avec un écart-type de σ = 0.1. Parmi ces cas nous avons observé que pour 6 cas dont la pente était faible ( J < 10-4) la formule est dangereuse, des erreurs de l’ordre de 137% sont observées. Si on élimine ces (6) cas de l’ensemble l’erreur se réduit à 37% au lieu de 50%.
En upper regime, pour des nombres de Froude croissant, une tendance de décroissance des erreurs est observée (figure VI-1) sur l’ensemble des 22 cas (10 cas à lit plat et 12 cas avec antidunes). Cette tendance peut trouver une explication dans le travail de Hu et Abrahams (2005) dans lequel le coefficient de résistance dû aux formes est fonction de Fr-4 et le coefficient de résistance dû à la mobilité est fonction de Fr-1.5. Donc, pour un nombre de Froude croissant, la mobilité est dominante dans la résistance à l’écoulement.
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0 5 10 15 20 25 30 35 40
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Fr
MNE (%)
Fig. VI-1 Erreur moyenne normalisée en fonction du nombre de Froude (Formule de Griffiths en upper regime)
Dans le cas des lits plats, tout comme en lower regime, l’erreur moyenne est de 19.83%
avec un écart-type de 0.1. Une nette diminution de l’erreur est observée dans le cas des antidunes. Sur les 12 cas étudiés avec anidunes, l’erreur moyenne était de 3.08% avec un écart-type de 0.035.
Dans la transition vers le upper regime, le paramètre de mobilité prend son importance dans la résistance à l’écoulement devant celui de la rugosité relative des grains, ce dernier varie très rapidement dans cette zone. Les résultats dans cette zone sont encourageants, sur 39 tests qu’on a étudiés, l’erreur moyenne était inférieure à 14% avec une dispersion de même faible, soit un écart-type σ = 0.084.
b- Formule de Strickler (tableau VI.2)
La formule de Strickler est la plus utilisée dans les modèles numériques des écoulements dans les cours d’eau avec ou sans transport solide. Elle est développée initialement pour les fonds rigides, mais on la trouve souvent employée pour des fonds mobiles. Dans le présent travail, on a testé sa marge d’erreurs sur 54 cas sur fond fixe, et sur 146 cas sur fond mobile dans différentes configurations des fonds.
La formule de Strickler estime la profondeur d’eau sur des fonds fixes ou rigide avec une erreur moyenne de 13% et un écart-type de 0.04. Par contre sur des fonds mobiles les erreurs sont variables de 26% en Lower regime à 6.12% en upper régime. L’effet des formes est clair
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dans cet écart. L’utilisation de la formule de Strickler pour des fonds mobiles est moins dangereuse, car, sur tous les cas étudiés l’erreur n’a pas dépassé les 48%. Elle reste toujours moins précise dans le cas des fonds mobiles surtout dans les lits avec rides et dunes.
Toutefois, sur les 54 cas à fonds rigides étudiés l’erreur n’a pas dépassé 24.4%. Une erreur moyenne de 13% avec un ecart-type de 0.043 justifie son avantage pour les fonds rigides.
c- Formule de Brownlie (tableau VI.2)
Cette formule est proposée pour des fonds mobiles sableux, elle a été testée dans quelques travaux : Brownlie (1983), van Rijn (1984c), Wu and Wang (1999)
Tableau VI.4 Vérification de la formule de Brownlie (1983)
Pourcentage des profondeurs d’eau expliquées leurs les marges d’erreur
Auteurs source des données Nombre
des données
±10% ±20% ±30%
rivières de l’USA 240 60.0 88.0 98.0
canaux de Pakistan 139 82.0 95.0 99.0
Van Rijn (1984c)
Guy et al. 1966 147 60.0 89.0 97.0
canaux de laboratoires 375 65.6 85.3 95.2
terrain 436 59.1 83.7 94.5
Wu and Wang 1999
Totales 811 62.1 84.5 94.8
Present travail canaux de laboratoires Wang 1999 an Hu an Abrahams 2005
146 -- 100 --
Dans le présent travail, nous avons étudié sa validité, non seulement dans chaque régime, mais pour chaque type de forme.
Sur l’ensemble des 146 tests étudiés, on observe les meilleures précisions en présence des formes (rides, dunes, antidunes) par rapport aux fonds plats. Sur les 41 tests avec rides et dunes, l’erreur moyenne est de l’ordre 9% avec un écart-type de 0.086, de même pour les antidunes cette erreur moyenne est de 11.17%. Par contre, pour les lits plats dans les deux régimes : lower et upper, l’erreur moyenne est de 29.8%, avec un écart type de 0.14. Cet écart se justifie par le remplacement de la rugosité équivalent du fond Kr par une rugosité équivalente des dunes dans le développement de la formule, ce qui favorise l’effet des formes par rapport à celui des grains solides du lit.
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Dans la zone de transition, une erreur moyenne de 12% avec un écart-type de 0.12 est estimée sur les 39 tests étudiés ; et comme la formule n’identifie pas le régime transitoire, 10 cas ont été classés en lower-regime avec une erreur moyenne de 8.57% et un écart-type de 0.068. Le reste, soit 29 cas sont classés en upper-regime avec une erreur moyenne de 13.22%
et un écart-type de 0.14 (Tableau VI.3).
Sur les fonds fixes, la formule de Brownlie n’a pas d’intérêt, mais elle a donné tout de même des bons résultats. Sur les 54 cas étudiés, nous avons observé une erreur de 15.24%
avec un écart-type de 0.037 et une valeur maximale de 26.74%.
d- Formule de Karim (tableau VI.2)
Les meilleurs résultats de cette formule sont remarqués dans le cas des dunes. Sur les 12 tests effectués, une erreur moyenne de 6% (avec un écart-type de 0.1) est observée. Des erreurs plus grandes sont remarquées dans les autres types de configurations. Cet écart est dû à la difficulté de détermination des tailles des formes.
Karim (1995) a déduit une courbe moyenne des tailles des formes en fonction de la vitesse de frottement rapporté à la vitesse de chute des particules (U*/Vc) à partir des données de Guy et al. (1966) et quelques données de la rivière de Missouri. Un nombre réduit de données et une nette dispersion par rapport à cette courbe moyenne sont observés. Pour les rides, la courbe surestime la taille des formes, ce qui explique, éventuellement, l’erreur moyenne qu’on a trouvé dans cette zone (24%). Par contre, la courbe représente mieux les tailles des dunes, ce qui explique la bonne précision remarquée dans ces cas. Une amélioration de la précision de cette courbe peut augmenter la précision de la formule
L’erreur relativement importante (37.26%) remarquée sur les antidunes est justifiée par la négligence de l’effet de leurs tailles dans la résistance à l’écoulement. La transition pose un grand handicap pour les formules qui utilisent explicitement les tailles de forme comme celle de Karim (1995) ou van Rijn (1984c). Cependant, la formule de Karim (1995) a expliqué les 39 cas étudiés avec une erreur moyenne de 17.66% et un écart-type de 0.128. Une erreur plus faible (égale à 8.23% avec écart-type σ = 0.044) est enregistrée sur les 54 cas étudiés sur fond fixe.
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Tableau VI.5 Vérification de la formule de Karim (1995)
Pourcentages des données expliquées
Auteurs Données Nombre
de données
NE <
±10%
NE <
±20%
NE < ±30%
expérimentales 375 57.3 84.3 95.5
terrain 436 41.7 64.9 80.0
Wu et Wang 1999
Totales 811 49.0 73.9 87.2
Present travail données Expérimentales de Wang and White (1999) et Hu and
Abrahams (2005)
146 36.3 61.6 82.9
e- Formule de Wu et Wang (tableau VI.2)
Tout comme les formules de Brownlie (1983) et Karim (1995), la formule de Wu et Wang (1999) est plus précise pour des fonds avec des rides et dunes. Sur les 41 cas simulés, l’erreur moyenne est de 11.81% avec un écart-type de 0.08. L’analyse globale des erreurs dans les différentes configurations montre un dépassement du seuil de 50% pour des valeurs du paramètre T supérieur à 25(figure VI-2), tel que (T = tb’/tc50 ), tb’ la contrainte de frottement relative aux sédiments du lit et tc50 est la contrainte de frottement de mise en mouvement des sédiments ayant d50 du fond comme diamètre. Cette tendance est expliquée par la dispersion dans la courbe (A/(g1 /2F1/3)=f(T)) étudiée par Wu et Wang (1999). Dans cette plage de valeurs du paramètre T cette formule peut être dangereuse avec des erreurs de l’ordre de 100%.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tb'/Tc50
MNE (%)
Fig. VI-2 Erreur moyenne normalisée en fonction de (Tb'/Tc50) [Wu et Wang (1999)]
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Chapitre VI Examen de l’influence des lois de perte de charge
L’erreur de 50% remarquée dans les 10 cas simulés sur fond plat en upper régime est due à ce que tous ces cas se développent pour des T > 30. Pour les fonds avec les antidunes, 7/12 tests se développent pour T compris entre 11 et 16. Pour les autres cas (5/12), T est supérieur à 50 où la formule n’est pas valide.
En conclusion, la formule de Wu et Wang (1999) donne de bons résultats pour les lits avec rides ou dunes, elle est moins précise pour les fonds plat en lower regime et dans la transition. Par contre, elle est douteuse pour T supérieur à 25. Quelques conditions de développement des anitidunes ne sont pas couvertes par la formule pour T > 50.
f- Formule de Yu et Lim 2003 (tableau VI.2)
Cette formule a une précision meilleure avec une erreur moyenne de moins de 10% dans 12 tests sur des fonds avec des dunes. La formule couvre l’ensemble des cas du lower régime (fond plat, fond avec rides et dunes) avec une précision acceptable dont l’erreur moyenne est de 19.13% et un écart-type de 0.122 sur 85 cas simulés. L’erreur relativement grande (39%) observée pour les tests dans la zone de transition se justifie par l’intégration de cette zone dans le lower régime. La résistance à l’écoulement ne prend pas en compte dans ce cas la différence entre les dunes et sa transition vers un fond plat en upper régime.
L’ensemble des cas étudiés sur des fonds plat en upper régime (10 tests) sont classés dans le lower-transitional régime ce qui explique l’erreur de 81.55% sur ces tests à cause de cette mauvaise classification. La même remarque est enregistrée pour les tests sur fond avec antidunes. 6/12 cas sont classés selon cette formule dans le régime correspondant (upper régime). Sur ces cas l’erreur moyenne était de 15.58% avec un écart-type 0.06. Le reste des cas 6/12 sont classés en Lower-transitional régime et l’erreur est de l’ordre de 40% (tableau VI.3).
En conclusion, on peut dire que l’intégration de la transition dans le lower régime est douteuse, car la résistance à l’écoulement due aux formes est différente dans les deux zones du fait de leurs tailles et leurs configurations. L’erreur dans la classification des écoulements dans l’un des deux régimes proposés implique des erreurs dans la prédiction des variables de l’écoulement
g- Formule de Recking et al. 2008 (tableau VI.2)
Par rapport aux précédents lois. Cette formule est différente dans la prise en compte des
Par rapport aux précédents lois. Cette formule est différente dans la prise en compte des