Description de la méthode des solutions alternées des solutions alternées:

IV.2 Présentation du modèle Hasbaia et Benayada (2010) :

IV.2.3 Description de la méthode des solutions alternées des solutions alternées:

Le système différentiel (IV-8 et 9) peut s’écrire après discrétisation par le schéma de Preissmann (IV-11) pour chaque intervalle de temps Δt, dans chaque point du maillage spatial (i=1 amont à i = N aval), sous la forme suivante :

[ ]

₁

{ }

₂

[ ]

₁

{ } { }

₁ ₁

1 A X B X G

i = = + (IV-13)

Xi est le vecteur des inconnus au point i, [Ai] et [Bi] sont les matrices constantes après discrétisation du système différentiel au point i, Gi : est le vecteur des restes de discrétisation au point i.

[ ]

₂

{ }

₃

[ ]

₂

{ } { }

₂ ₂

2 A X B X G

i = = + (IV-14)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 81

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés Substituant (V16) dans (V17) on aura :

{ }

X₃ =

[ ][ ]

α₂ α₁

{ }

X₁ +

[ ]

α₁

{ } { }

β₁ + β₂ (IV-21) Par répétition de la précédente relation pour chaque point, la limite avale se relie avec la limite amont par la relation suivante :

{ } [ ][ ] [ ] { }

En utilisant (IV-22) et les trois conditions aux limites, on détermine les valeurs

{

^et

}

{ }

X₁

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 82

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Chapitre IV Description des codes 1D utilisés

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau naturels 83 Connaissant la condition à la limite

{ }

X₁ , les autres inconnues

{ }

X₂ ,

{ }

X₃ , … peuvent être déterminées par les équations (IV-16), (IV-17), (IV-18).

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Chapitre V Validation du modèle

Chapitre V Validation du modèle

V.1 Introduction

Ce chapitre est consacré à la validation des résultats du modèle de Hasbaia et Benayada (2010) (présenté au chapitre précédent) à travers des cas tests et des cas de terrain.

L’ensemble des cas tests sont sélectionnés pour vérifier le modèle dans les différents cas pratiques possibles : écoulement uniforme, écoulement fluvial en régime permanent, écoulement fortement varié restant fluvial sans débordement, écoulement fluvial/torrentiel.

Les résultats du modèle sont confrontés soit à des solutions analytiques, soit à des références calculées par d’autres modèles.

Pour les cas de terrain, le modèle a été appliqué dans la simulation de la propagation des crues sur des cours d’eau réels (trois rivières et un oued algérien), l’atténuation des pics des crues simulées est comparée aux mesures réelles.

V.2 Résultats du modèle sur différent cas test V.2.1 Canal à pente constante (TEST 1)

Dans ce cas test, nous considérons un canal rectangulaire de 1 mètre de large, de 2000 m de longueur avec une pente de 0.3%. Pour un débit de 0.1 m3/s, un coefficient de Strickler supposé égal à 20, un pas d’espace de 100 mètres, débit imposé en amont et hauteur d’eau fixe en aval, après stabilisation le code donne une hauteur d’eau h= 0.2862 m. Cette dernière valeur correspond à celle calculée par la formule de Strickler pour un régime uniforme (J=I).

V.2.2 Canal avec rupture de pente (TEST 2)

Ce test consiste à considérer une rupture de pente à mi-longueur dans un canal du même type que le test précédent. Pour cela, on considère une pente amont égale à 0.2% et une pente avale de 0.4%. Le débit est pris égal à 0.1 m avec un pas d’espace de 25 m et pas de temps de temps correspondant à un nombre de Courant égal à 0.5.

Pour la condition amont, on impose le débit, en aval, on fixe une profondeur d’eau calculée par la formule de Strickler. Après stabilisation, on obtient les résultats montrés dans la figure V-1. La référence est tirée de Paquier (1995), elle a été établie par le logiciel FLUVIA du Cemagref en utilisant un pas de temps de 10 m.

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 84

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Chapitre V Validation du modèle

0.25 0.27 0.29 0.31 0.33 0.35

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Abscisse (m)

Hauteur d'eau h (m)

h Référence h calculée

Fig. V-1 Vérification de la hauteur d’eau sur un canal avec rupture de pente (Test 2)

Les résultats du modèle dans la partie avale sont très proche de la référence, une erreur de l’ordre de 1.5% est observée sur la ligne d’eau dans la partie amont, cette erreur peut être expliquée par la propagation vers l’amont de la perturbation de la ligne d’eau générée juste à la rupture de la pente.

V.2.3 Canal avec Variation de largeur (TEST 3 et 4)

Sur un canal de 2000 mètres de longueur, on effectue les deux tests 3 et 4, le test 3 correspond à un élargissement continu depuis une largeur de 0.1 mètre à l’amont jusqu’à 1 mètre à l’aval. Dans le test 4, on garde une largeur constante de 0.1 mètre jusqu’à l’abscisse 900 mètres, puis une largeur constante de 1 mètres de l’abscisse de 1000 mètres jusqu’à l’aval. Le raccordement soudain en largeur est supposé linéaire. La pente est constante (0.3%) avec un débit de 0.1 m³/s.

Pour le test 3, le pas d’espace est pris égal à 100 mètres et le pas de temps correspond à un nombre de Courant Cr = 0.5. Le modèle donne des résultats (montrés dans la figure V-2) presque identiques avec la référence calculé par le logiciel FLUVIA en régime permanent.

Les résultats du modèle dans le test 4 (montrés dans la figure V-3) présentent une erreur inférieure à 10% dans la partie amont et le raccordement, ceci indique que le pas d’espace utilisé (100 mères) est trop important pour obtenir une bonne précision. Toutefois, le modèle

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 85

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Chapitre V Validation du modèle

donne de bons résultats dans la partie aval à cause de la hauteur d’eau fixe imposée à la limite aval.

0 1 2 3 4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Abscisse (m)

Hauter d'eau h(m)

h calculée Référence

Fig. V-2 Canal avec élargissement progressif en écoulement permanent (Test 3)

0 2 4 6 8

0 500 1000 1500 2000

Abscisse (m )

Hauteur d'eau h (m)

h calculée Référence

Fig. V-3 Canal avec largeurs variables en écoulement permanent (Test 4)

V.2.4 Canal avec seuil de fond (Test 5 et 7)

Ces tests issus de Galland et al. (1991), servent à tester le modèle sur un canal avec un seuil au fond, les deux tests correspondent à une même géométrie constituée d’un canal rectangulaire, de 2 m de largeur, de 20.5 m de longueur, de pente nulle sauf entre l’abscisse 8 et 12 m, où se trouve une forme parabolique d’équation : Zf = 0.2-0.05(x-10)²

Pour le premier test, le frottement est supposé nul, ce qui permet d’avoir une solution analytique de référence. Cette solution est obtenue en résolvant en chaque point l’équation du troisième degré en h obtenu par l’égalité des charges hydrauliques :

Q²/2B²gh² + h + Zf = Q²/2B²gh0² + h0 + Zf 0

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 86

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Chapitre V Validation du modèle

Où Q est le débit permanent et l’indice 0 se réfère à une abscisse donnée (dans ce cas la valeur amont)

Pour le test 5, avec un débit de 8.853 m³/s le régime est fluvial, e une hauteur d’eau fixée à 2 mètres à l’aval, le modèle donne une ligne d’eau identique en amont et en aval du canal (figure V-4), dans la zone au dessus du seuil, on observe une faible erreur (inférieure à 4%)

0 1 2

0 5 10 15 20

Abscisse (m)

Cote (m)

Cote du fond Ligne d'eau calculée Solution analytique

Fig. V-4 Canal avec un seuil au fond en écoulement permanent fluvial (Test 5)

Pour le test 6, on introduit un frottement représenté par un Strickler de 40, avec un débit de 1 m³/s avec une hauteur d’eau fixée à 0.6 m en l’aval, le régime est fluvial à l’amont du seul et torrentiel juste à l’aval du seuil. Par conséquent, un ressaut hydraulique doit s’établir entre le seuil et la limite aval.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20

Abscisse (m)

Cote (m)

Cote du fond Ligne d'eau calculée Référence Fig. V-5 Canal avec un seuil au fond en écoulement permanent fluvial/torrentiel (Test 6)

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 87

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Chapitre V Validation du modèle

Les résultats du modèle dans ce cas présentent une erreur considérable (figure V-5), car le schéma de Preissmann n’est pas adapté à ce genre de situation, il est très défavorable pour la zone de transition du régime torrentiel au régime fluvial (Meselhe and Holly 1997).

V.3 Application du modèle à des cas de terrain

Dans les applications de terrain, le modèle est utilisé pour simuler les crues de trois rivières et un oued algérien. Les crues se propagent le long des cours d’eau avec une atténuation (débit maximum de la crue à l’aval – débit maximum de la même crue à l’amont) et un retard (le temps nécessaire pour que l’onde de crue arrive à l’aval) des débits maximums à cause du frottement et du stockage. Elles sont des cas types des écoulements transitoires gouvernés par les équations de Saint-Venant. A travers l’application du modèle, nous pouvons déterminer les débits et les hauteurs d’eau dans chaque point d’un éventuel maillage du cours d’eau, et pendant chaque intervalle de temps durant la période de la crue.

Ces résultats sont d’un intérêt majeur pour dimensionner et protéger les ouvrages riverains (ponts, déversoirs, retenues…), ainsi que pour protéger les villes traversées par des oueds contre les inondations. Ils permettent de localiser les zones menacées par le débordement, et d’avoir une estimation correcte du pic de la crue au cours de son passage dans le tronçon étudié.

V.3.1 Description des cas d’étude

Les oueds en Algérie ne sont pas très bien contrôlés par les stations hydrométriques : en général, on ne dispose que d’une seule station dans le même oued. Dans les études d’ingénierie on utilise le plus souvent les crues fréquentielles basées sur les études statistiques des séries de précipitations relativement bien enregistrées. Notre modèle est appliqué à un cas type des oueds algériens. Il s’agit de l’oued Boussaâda situé à 250 km au sud d’Alger (Figure V-6).

Pour vérifier la qualité des résultats de notre modèle, nous avons élargi notre étude à d’autres rivières de piémont pour lesquelles des références sur la propagation sont disponibles dans les références bibliographiques. Les caractéristiques des cours d’eau traités ici sont résumées dans le tableau V.1 et les paramètres de calcul dans le tableau V.2. Le choix de la formule de dissipation est effectué pour assurer une stabilité numérique optimale et la valeur des paramètres utilisés suit les informations des références bibliographiques.

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 88

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Chapitre V Validation du modèle

Fig. V-6 Situation de l’oued de Bousaâda

Tableau V.1 Caractéristiques des cours d’eau simulés

Tronçon de Longueur (m)

Largeur (m)

Pente -

Caractéristique du matériau du

fond

Rio Jacul 29600 50 à 80 0.001215 K = 37

La Save 28500 20 0.00075 K = 20

Oued Bousaaada 2200 27.46 0.01155 K =40

Inn 1000 20 0.0043 dm = 23 mm

K coefficient de Strickler, dm diamètre médian des sédiments du fond

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 89

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Tableau V.2 Paramètres de calcul

Tronçon de Crue de Δt

(s)

Δx (m)

θ φ Nombre de

courant Temps de simulation

(heure)

Formule de dissipation d’énergie

Crue du 17/12/81 7200 500 1 0.5 18.4 - 136.36 48 Strickler Rio Jacul Crue du 22/5/81 3600 500 1 0.5 27.23 - 136.34 28 Strickler

La Save Crue de Février

1978 43200 500 1 0.5 205.77 - 935.4 128 Strickler

Crue centennale 3600 200 1 0.5 7.67 - 114.26 31 Strickler Oued

Boussaâda Crue quinquennale 3600 200 1 0.5 5.64 - 108.23 26 Chezy

Inn Crue de 1987 3600 100 1 0.5 20.27 - 361.76 72 Griffiths

Strickler (k1=kr^-2g/dm-1/3 , k2 = -1/3 , k3= 1), Chezy (k1=g/C² , k2 =0 , k3= 1) C est le coefficient de Chezy, Griffiths (k1=0.026 , k2 = -0.34 , k3= 0.66 )

V.3.1.1 Etude d’un cas Algérien

Dans ce cas nous simulons les crues centennale et quinquennale de l’oued Boussaâda. Ce dernier draine un bassin versant d’une superficie de 1020 km², sur une longueur de talweg principal de 69.0 km, et avec une pente moyenne de 8.70‰. Dans sa partie aval à l’exutoire du bassin, l’oued Bousaâda traverse la ville sur un bief d’une longueur de 2200 m avec des profondeurs géométriques variant entre 3 et 5 m, et une largeur moyenne de 27.5 m (service d’hydraulique de M’sila).

V.3.1.2 Etude d’autres cas

a- Test 1 Crues rapides à doubles pics sur un long tronçon de rivière

Nous avons choisi les crues du 17/12/81 et du 22/5/81 pour la rivière Jacul (Brésil) étudiée également par Baptista (1990). Ce sont des crues rapides qui durent environ 50 heures. Elles sont dues aux manœuvres des vannes du barrage Itauba. Le tronçon étudié est situé au sud du Brésil, entre l’usine hydroélectrique d’Itauba et le site du barrage Dona Francisco. La simulation est faite sur un bief d’une longueur de 29600 m avec une pente de1.215‰

b- Test 2 Crue lente sur un long tronçon de rivière

Nous avons étudié la crue de février 1978 de la rivière La Save (France). Il s’agit d’une crue lente (120 heures) avec un seul maximum de 150 m³/s. Elle a été étudiée par Baptista

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 90

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Chapitre V Validation du modèle

(1990) sur un tronçon de 28500 m de longueur, caractérisé par un lit dégagé avec une largeur moyenne de 20 m.

c- Test 3 Crue lente sur un canal artificiel

Pour tester la pertinence des résultats numériques nous avons repris une crue très bien enregistrée et étudiée par Correia (1992). Il s’agit de la crue violente enregistrée en 1987 sur la rivière Inn (Suisse). Lors de son passage à travers le canal artificiel qui traverse le village Samedan, la rivière a débordé pour un débit maximum de 280 m³/s, ce qui a causé des dégâts de 1.16 à 1.25 Milliards US$. Nous avons repris le même canal artificiel où l’inondation s’est produite. C’est un canal de forme trapézoïdale traversant le village sur une longueur de 1000 m, avec une profondeur de 3 m et une pente de 4.3‰.

V.3.2 Discussion et interprétation des résultats Notons que :

L’erreur moyenne sur le retard se définie comme suit :

EMR= (retard calculé – retard mesuré)/retard mesuré Et l’erreur moyenne sur l’atténuation du débit de pointe comme suit :

AMA = (atténuation calculée – atténuation mesurée)/atténuation mésurée

Pour les premières crues d’étude (i.e. La Save, et Rio Jacul) (tableau V.3), l’erreur moyenne sur l’estimation des atténuations des débits maximums EMA est de 30.6%, et celle pour l’estimation des retards de ces maximums de l’amont à l’aval EMR est 36.8%.

Pour le Rio Jacul et la Save (Figure V-7, 8, et V-9), dont la longueur des tronçons étudiés est de l’ordre de 29 km, les atténuations calculées des débits maximums des crues sont de l’ordre de 17% par rapport à ceux de l’entrée, tandis que celles observées sont en moyenne de 26% (tableau V.3). La plus faible erreur est observée pour l’atténuation du pic de la crue de la Save, soit une erreur AMA égale à 7.44% ce qui appuie l’utilisation de notre code pour les crues à pic unique. Toutefois, compte tenu d’une incertitude de la mesure des débits qui est au minimum de 10% (ordre de grandeur usuel), on ne peut avoir de conclusion définitive.

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 91

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Chapitre V Validation du modèle

0 100 200 300 400 500 600

0 10 20 T (h) 30 40 5

Q (m3/s)

0 Crue amont observée Crue aval calculée Crue aval observée

Fig. V-7 Hydrogrammes de la crue de (17/12/81) à la rivière Jacul

0 100 200 300 400 500 600 700

0 5 10 15 T (h) 20 25 30

Q (m3/s)

Crue amont Crue aval calculée Crue aval observée

Fig. V-8 Hydrogrammes de la crue de (22/5/81) sur la rivière Jacul

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 92

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Chapitre V Validation du modèle

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0 20 40 60 80 100 120

T (h)

Q (m3/s)

Crue Amont Crue aval calculée Crue aval observée

Fig. V-9 Hydrogrammes de la crue de Février 1978 sur la rivière la Save

Tableau V.3 Atténuations et retards des débits maximums des crues Tronçon Crue de Qbase

(m3/s)

Qmax-amont

(m3/s)

Atténuation Observée

(%)

Atténuation calculée

(%)

Retard observé

(h)

Retard calculé (h) Crue du

17/12/81 140 566.61 31.13 16.91 3.76 4

Rio Jacul

Crue du 22/5/81 130 577.28 27.21 16.70 3.81 2

La Save Crue de Février

1978 03 150 18 16.66 18.4 8

crue centennale 1.54 86 --- 11 -- 2

Oued Bousaâda

Crue

quinquennale 1.35 74.2 --- 0.60 -- <

1heure Qbase représente le débit de base de la crue, Qmax/amont le débit maximum de la crue à l’entrée du tronçon simulé,

atténuation = Qmax/aval (observé)- Qmax/aval (caculé)/ Qmax/aval (observé)

Pour le cas de l’oued Boussaâda (figures V-10 et V-11), les atténuations des débits maximums sont de 11% et 0.6 % pour les crues centennale et quinquennale, respectivement (tableau V.3). Nous avons choisi la formule de Strickler dans la simulation de la crue centennale, et celle de Chezy pour la crue quinquennale. Bien que les deux crues soient similaires, nous avons remarqué une différence dans les atténuations de l’ordre de 10%. Ce résultat peut être expliqué par la différence de la longueur d’onde des deux crues, comme il

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 93

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Chapitre V Validation du modèle

peut être dû à la sensibilité des codes hydrodynamiques aux formules de dissipation d’énergie.

La confirmation de l’une de ces explications exige une étude plus fine et sur plusieurs tests.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 6 11 16 21 26 31

T [h]

Q [m3/s]

Q [amont] Q [milieu] Q [aval]

Fig. V-10 Hydrogrammes de la crue centennale de l’oued Bousaâda

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1 6 11 16 21 26

T (h)

Q (m3/s)

Q [amont] Q [milieu] Q [aval]

Fig. V-11 Hydrogrammes de la crue quinquennale de l’oued Boussaâda

L’analyse des profondeurs d’eau pour le cas de l’oued Boussaâda montre que la valeur maximale de la hauteur d’eau sur tout le tronçon étudié était de 2.40 m en amont à la 7^ème

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 94

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Chapitre V Validation du modèle

heure pour la crue quinquennale, tandis que, pour la crue centennale cette valeur était de 2.6 m en amont à la 6^ème heure de la crue.

D’après ces résultats, et sachant que les profondeurs de l’oued varie entre 3 et 5 m, aucun débordement ne se produira. Toutefois, la ville connaît presque chaque année des inondations à cause des débordements de l’oued. D’ailleurs, une étude de protection de la ville contre ces inondations est en cours. Cette simulation remet en cause les études hydrologiques donnant 86 m³/s comme débit maximum de la crue centennale, alors que la moyenne pour les oueds de la région (oued Ksob, oued Elham, …) dépasse les 1000 m³/s pour des basins versants de l’ordre de 1330, 6130 et 184 km² ; respectivement (Service d’Hydraulique de M’sila).

Pour le cas de la rivière d’Inn, on a représenté les limnigrammes en amont, en aval et à 100 m de l’amont, pendant toute la période de la crue (Figure V-12).

0 1 2 3 4 5

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

temps (heure)

profondeur d'eau h (m)

h en amont (x=0 m) h à x= 100 m h en aval (x=1000 m)

Fig. V-12 Profondeurs d’eau aux abscisses x=0 m, 100 m et 1000 m pendant la crue de 1987 sur la rivière Inn

Les résultats obtenus par le modèle rejoignent parfaitement les études menées par Correia(1992) et Correia et al. (1992), et confirment que le débordement que s’est produit en amont du canal sur une longueur de 100 m environ. Une telle simulation aurait évité les dégâts en conduisant à un simple renforcement des berges en amont du canal, ou un curage de la couche des sédiments déposés sur le fond. Pendant la période 1979-1988 une couche de 0.3 m de sédiment a été déposée sur fond Correia (1992).

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 95

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Chapitre V Validation du modèle

Etude critique du transport solide et ses conséquences dans les cours d’eau 96 Le retard des débits maximums des crues suit la même variation que les atténuations (tableau V.3). Il est fonction de la longueur et de la résistance à l’écoulement des oueds. Plus la résistance est importante plus le retard est important, et de même pour la longueur.

V.4 Conclusions

Les cas tests simulés montrent que le modèle produit des résultats acceptables avec des erreurs inférieures à 4%. Dans le cas du; test 6, le modèle ne peut pas simuler les ressauts hydrauliques, le passage du torrentiel au fluvial est mal simulé par le modèle. Toutefois, dans le cas inverse (le passage du fluvial au torrentiel), le modèle donne également de bons résultats. L’ensemble des cas étudiés montrent que le modèle est très sensible aux variations rapides des paramètres, il peut donner des mauvais résultats si ces variations sont très importantes. Par ailleurs, un écart des résultats est observé en fonction de φ, entre φ = 0.5 et φ

= 0.65, cet écart peut atteindre le seuil 5% . Dans quelques cas, au-delà de φ > 0.65, des oscillations numériques sont remarquées ; nous avons pu les éliminer en jouant sur le pas de temps.

Pour les cas de terrain, le modèle calcule bien l’atténuation des pics des crues. À travers toutes les crues simulées, l’erreur moyenne des résultats obtenus est de l’ordre de 30%. Cette erreur est acceptable à cause des erreurs relatives aux mesures de terrain et la taille des tronçons et des crues étudiés.

A travers la simulation des crues centennale et quinquennale de l’oued Bousaâda, les résultats ont montré la marge d’erreur de l’estimation des débits des crues par l’approche hydrologique basée sur les précipitations. Nous avons remarqué également une sensibilité des résultats aux formules de dissipation d’énergie ; l’implémentation des formules de Chezy et de Strickler, donne une différence des atténuations des débits des crues de l’ordre de 10%

pour le même cours d’eau (oued Boussaâda). Ce constat nécessite une étude (dans le chapitre suivant) plus exhaustive pour estimer l’ordre de cette sensibilité. Le calage de ces formules à des oueds en Algérie est jugé nécessaire. La nature fluviale des oueds algériens, met en évidence la nécessité d’avoir au moins deux stations hydrométriques dans le même oued pour imposer les conditions aux limites amont et aval ; une troisième station ou plus serviraient à la

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