1.4 Modélisation du comportement de la mousse
1.4.3 Comparaison des résultats numériques avec les expériences
Dynamique aux temps courts
Pour comparer qualitativement notre modèle aux expériences, on simule l’impact à 45 m/s d’une bille de poypropylène de 5 mm de diamètre. A chaque instant on calcule la vitesse de la bille. On trace l’évolution de cette vitesse en fonction du temps dans une représentation linéaire et semi-logarithmique sur la figure 1.19. L’accord entre prévisions numériques et données expérimentales est bon et le modèle reproduit bien la décroissance exponentielle observée expérimentalement. Le temps caractéris- tique de cette évolution est également respecté, puisqu’on observe un changement de régime au bout de 15 ms sur les deux courbes.
Dynamique aux temps longs
Aux temps courts, ce n’est plus la décélération que nous mesurons mais la position en fonction du temps. La figure 1.20 montre les résultats obtenus lorsque l’on si- mule l’impact à 2,5 m/s d’une bille de polypropyène de 5 mm de diamètre sur de la
1.4. MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DE LA MOUSSE 31
Fig.1.19 –Impact d’une bille de polypropylène de 5 mm de diamètre dans de la mousse à raser :
évolution de la vitesse de la bille en fonction du temps, à gauche en échelle linéaire, à droite en échelle semi-logarithmique. Les données expérimentales sont représentées par des points noirs, les résultats numériques par la courbe en trait plein.
mousse à raser. Le modèle reproduit bien le comportement observé expérimentale- ment : après quelques périodes d’oscillations fortement amorties, la bille se stabilise à une profondeur légèrement inférieure à la profondeur maximale, atteinte juste après l’impact, lors du premier changement de signe de la vitesse. On observe aussi que l’amplitude des oscillations est sous-estimée par le modèle. De même, la position d’équilibre de la bille calculée par le programme diffère des mesures expérimentales d’environ 2 mm, soit moins de la moitié d’une taille de bille.
Longueur de capture
D’un point de vue pratique, on s’intéresse moins aux détails de la dynamique de décélération qu’à la possibilité de piéger un objet dans une mousse. Nous avons vu qu’à condition d’être suffisamment petite et légère, une sphère peut se retrouver immobilisée dans la mousse sans s’y enfoncer. Nous savons également que si cette sphère arrive sur la surface libre d’une mousse avec une vitesse initiale, elle va décélérer dans le fluide et s’y arrêter. On appelle dans ce cas longueur de capture L l’épaisseur de la couche de mousse qu’il est nécessaire d’utiliser pour amener le projectile à un arrêt complet.
Expérimentalement, on peut mesurer L pour des lancers à très faible vitesse d’im- pact, pour lesquels la bille ne s’enfouit que partiellement : L ∼ d. Pour faire le lien avec les autres expériences, on utilise la même technique de raccordement que pour construire la courbe de décélération : s’il faut une épaisseur L1 de mousse pour faire
passer la bille de la vitesse V1 à la vitesse V2, et une épaisseur L2 de mousse pour
32CHAPITRE 1. AMORTISSEMENT DANS UNE MOUSSE TRIDIMENSIONNELLE
Fig.1.20 –Impact à 2,5 m/s d’une bille de polypropylène de 5 mm de diamètre sur un échantillon
de mousse : la courbe en trait plein représente la prédiction numérique, les points noirs les données expérimentales.
de capture pour l’impact de cette bille à la vitesse V1 sur la mousse sera L1+ L2.
Numériquement, on obtient la longueur de capture adimensionnée L/d en intégrant le taux de déformation ˙ǫ : L d = "t 0V dt d = # t 0 ˙ǫ dt (1.26)
Le résultat de cette intégration est présenté sur la figure 1.21 : on observe un bon accord entre prévisions numériques et expériences. La courbe calculée présente des irrégularités qui traduisent la nature discrète du modèle utilisé pour intégrer les équations.
Statique
On peut reproduire numériquement l’expérience qui nous permettait de définir la contrainte seuil dans la première partie de ce chapitre. En utilisant le code permet- tant de calculer la longueur de capture d’une bille dans la mousse avec une vitesse d’impact nulle, on calcule la profondeur L atteinte à l’équilibre par des billes de dif- férentes tailles et densités. On considère que chacune s’enfonce spontanément sous son propre poids si la valeur trouvée est plus grande que le diamètre de la bille, et qu’elle "flotte" sinon.
1.4. MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DE LA MOUSSE 33
Fig.1.21 – Longueur de capture L normalisée par le diamètre d de la sphère, en fonction de la
vitesse d’impact. Les données expérimentales sont représentées par les points noirs, les prédictions numériques par la courbe en trait plein.
des billes en fonction du carré de leur diamètre. On obtient un diagramme de phase ayant la même allure que la figure 1.5 : les deux régions, enfoncement spontané et piégeage, sont séparées par une droite passant par l’origine.
En négligeant les facteurs géométriques, on peut calculer l’ordre de grandeur de la contrainte seuil :
σY ∼
M g
d2 (1.27)
Dans l’expérience présentée au début de cette partie, on trouve alors σY = 144 Pa,
tandis que la pente extraite de la figure 1.22 mène à une estimation plus faible de la contrainte seuil σY = 5 Pa. Cette sous-estimation peut s’expliquer par le fait que
l’aire de la zone de contact est constante, fixée à A = πr2, dans le modèle. Or si on
pose vraiment la bille à vitesse nulle, le contact est presque ponctuel. La contrainte effectivement exercée sur la mousse est plus grande que celle qui est calculée dans le modèle et qui nous sert à calculer la contrainte seuil.
Comparaison avec un modèle rhéologique classique
La loi de comportement (1.12) utilisée dans notre modèle a été choisie pour sa simplicité, au détriment de lois plus classiques, comme le modèle de Herschel-Bulkley, qui prédisent une loi de puissance pour variation de la contrainte avec le taux de cisaillement :
34CHAPITRE 1. AMORTISSEMENT DANS UNE MOUSSE TRIDIMENSIONNELLE
Fig.1.22 –Simulation du test d’enfoncement spontané des billes : on intègre numériquement les
équations du mouvement pour un "impact" à vitesse nulle, en faisant varier la taille et la densité des billes testées. On calcule la longueur de capture adimensionnée : les billes pour lesquelles L/d>1 sont représentées en noir, les autres "flottent" et sont représentées en blanc.
σ = σY + ξ ˙γn (1.28)
Les paramètres ξ et n sont généralement déterminés par les expériences, et les valeurs obtenues pour n varient entre 0,25 et 1, mais il existe un modèle théorique prédisant n = 2/3 [33]. Si l’on considère une telle loi pour la réponse de la mousse, on a à grande vitesse :
σ ≃ ξ ˙γn∼ ξ$ Vd %n
(1.29) Si n = 1, on retrouve alors une loi semblable à celle que nous avons établie pour un freinage visqueux (1.15) :
MdV
dt ∼ −ξd V (1.30)
Ce qui mène à une décélération exponentielle, avec un temps caractéristique dépen- dant de ξ. En revanche, si n est plus petit que 1, l’équation du mouvement devient :
MdV dt ∼ −ξd 2$ V d %n (1.31) On trouve alors une loi d’échelle pour la vitesse :