IV. Détection et suivi des gouttes
IV.2 Détection des gouttes et de leurs contours
IV.2.8 Application de la méthode des Snakes aux contours détectés
A
la fin de l’étape d’élimination des objets "superflus", on pourrait considérer que la phase de détection des gouttes est achevée : en effet, les gouttes non désirées (gouttes situées en dehors de la nappe de focalisation ou incomplètes) ont été retirées de l’image et la position des bords des gouttes restantes a été déterminée. Cependant, cette dernière n’est pas toujours déterminée de manière optimale. Lorsque l’environnement des images s’avère très perturbé (présence de gouttes en dehors de la zone de mise au point dans le champ de la caméra par exemple), il arrive effectivement que les contours détectés pré- sentent certaines irrégularités, comme illustré sur la figure IV.10. Cela semble contraire au sens physique, puisque la tension de surface tend à "lisser" la surface des gouttes, même dans le cas où la forme de celles-ci est très éloignée de la sphéricité. De même, pour les pe- tites gouttes dont la dimension approche la taille limite de détection, les contours sont très pixélisés et la courbure de la surface ne semble pas très bien retranscrite (effet d’escalier). En outre, le fait de compter entièrement chaque pixel traversé par le bord réel peut, pour ces gouttes de faible taille, entrainer une surestimation non négligeable du diamètre mesuré. Afin d’améliorer ces différents points, une dernière étape est implémentée dans l’algorithme de détection des contours. Celle-ci consiste à appliquer la méthode des Contours actifs ou Snakes (Kass et al. 1988 ) aux contours des gouttes précédemment déterminés. Le principe de cette technique est de définir dans l’image une courbe dynamique que l’on va laisser libre de se déplacer et de se déformer sous l’action de différentes forces choisies de ma- nière adéquate, et ainsi d’évoluer jusqu’à atteindre une position optimale correspondant au minimum d’énergie de cette courbe. Cette méthode constitue donc une approche très physique du problème de recherche des contours optimaux d’un objet, et elle nous a donc semblé bien adaptée pour le lissage des irrégularités de contours évoquées ci-dessus.Figure IV.10
(a) Exemples de gouttes présentant des contours pixélisés (observées à des grandissements différents) et (b) contours associés obtenus après application de la
IV.2 Détection des gouttes et de leurs contours Considérons une courbe paramétrée 𝑣(𝑠) = [𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠)], où 𝑠 ∈ [0, 1] réprésente l’abs- cisse curviligne de la courbe. A cette courbe, on peut associer une fonctionnelle d’énergie
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒(𝑣(𝑠)) = 𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒(𝑣(𝑠)) + 𝐸𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒(𝑣(𝑠))dont la minimisation va être le "moteur" de
l’évolution du Snake dans l’image. L’énergie interne de la courbe dépend de sa cohérence (i.e. de sa régularité) et est donc directement liée à sa forme. Elle est définie par :
𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒(𝑣) = ∫ 1 0 ( 𝛼 d𝑣(𝑠) d𝑠 2 + 𝛽 d2𝑣(𝑠) d𝑠2 2) d𝑠 (IV.1)
Dans cette relation, le premier terme est associé à la continuité de la courbe : il sera d’autant plus faible que les points de celle-ci sont rapprochés les uns des autres. Le coefficient 𝛼 peut donc être apparenté à l’élasticité du Snake. Le terme comprenant la dérivée seconde est quant à lui lié à la courbure : il sera minimal lorsque le Snake sera une droite (si la courbe est ouverte) ou un cercle (si la courbe est fermée). On peut donc percevoir 𝛽 comme la raideur du contour. Cette formulation implique que si l’énergie totale était seulement composée de l’énergie interne, le Snake se rétracterait jusqu’à ce que tous ses points soient superposés les uns aux autres, puisque cet état correspond au minimum de l’énergie interne. C’est pourquoi il est nécessaire d’ajouter un terme d’énergie externe dans la définition de l’énergie totale. Celui-ci va servir à arrêter le Snake sur la zone d’intérêt. Elle peut donc être définie de différentes manières selon les caractéristiques de l’image que l’on cherche à déterminer. Dans notre cas, ce sont bien sûr les bords des gouttes que l’on souhaite obtenir. Ceux-ci étant, comme nous l’avons vu, caractérisés par de forts gradients, la définition adéquate de l’énergie externe sera ici :
𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒(𝑣) = − ∫ 1 0 ∇𝐼(𝑣(𝑠)) 2 d𝑠 (IV.2)
Cette formulation basique du principe des Contours actifs a, depuis son introduction, été sujette à de multiples variantes. Celles-ci consistent principalement en différentes formu- lations des forces ou énergies régissant la dynamique de l’évolution du Snake ainsi qu’en divers algorithmes permettant le calcul de cette dernière. Afin de ne pas alourdir cette partie déjà très technique, nous nous limiterons ici à une brève présentation de l’implé- mentation retenue ici comme celle fournissant les meilleurs résultatsi, après comparaison
entre différentes formulations. Cette méthode, appelée Gradient Vector Flow (Flux du Vec- teur Gradient en français) ou GVF, a été proposée par Xu et Prince (1998 ). Son principe consiste à utiliser une nouvelle force externe obtenue en appliquant des équations de diffu- sion aux composantes du gradient de l’image originale. Le champ de vecteurs ainsi obtenu est alors utilisé comme moteur de l’évolution du Snake vers les zones de fort gradient. Cette méthode est intéressante car elle permet au Contour actif de converger sans difficulté vers les bords de l’objet à détecter, même si celui-ci présente de fortes concavités, et qu’elle ne nécessite pas la connaissance à priori du sens dans lequel le contour va devoir évoluer pour se rapprocher des bords (différent si le contour initial est situé à l’intérieur de l’objet ou à l’extérieur), deux problèmes fréquemment rencontrés avec l’utilisation de formulations plus "classiques". En revanche, les temps de calculs nécessaires à la convergence peuvent
i. Pour une présentation plus détaillée de différentes méthodes de calculs de Contours ac- tifs, on pourra se référer au chapitre 1 de la thèse de J.J. Rousselle (2003 ), disponible sur http ://www.rfai.li.univ-tours.fr/rapports/rou03a.pdf.
s’avérer relativement longs lorsque le Contour actif est initialisé loin des bords à détecter. Cependant, cela ne constitue pas un problème dans notre cas car le contour utilisé pour définir la position initiale du Snake est ici celui détecté à l’issu de toutes les précédentes étapes du traitement d’images, et est donc proche de sa position finale. D’après nos tests, l’augmentation du temps de calcul liée à l’utilisation du Snake GVF dans notre programme s’est en effet révélée négligeable, alors que l’on observer sur la figure IV.10 que l’améliora- tion des contours détectés en résultant est conséquente. En particulier, les coordonnées des points du Snake ne devant pas nécessairement être entières, les contours finaux peuvent être obtenus à une échelle sub-pixellaire. Un exemple de convergence de snake, implémenté sous la formulation GVF, vers les bords d’une image test à partir d’un contour initial rectangulaire est illustré sur le film IV.1.
IV.2.9 Conclusion
Figure IV.11
Récapitulatif des principales étapes de la phase de détection des gouttes et de leurs contours du traitement d’images.
L
es différentes étapes présentées dans cette section, qui constituent la phase de détection des gouttes et de leur contours, sont synthéthisées à la figure IV.11. Elles sont appliquées à chaque image d’une séquence donnée. Une fois les contours des gouttes situées à l’intérieur de la zone de focalisation de la caméra ainsi obtenus, on peut aisément, lorsque la résolution du champ est connue, déterminer leur taille. Celle-ci est mesurée par le dia- mètre équivalent 𝑑𝑒𝑞=√4𝐴𝑒𝑞/𝜋correspondant au diamètre du disque possédant la mêmeaire 𝐴𝑒𝑞 que celle délimitée sur l’image par le contour de la goutte considérée. Cette mesure
ne correspond donc pas rigoureusement à la taille "réelle" des gouttes puisque celles-ci sont rarement parfaitement sphériques. La forme de la grande majorité d’entre elles (notamment les petites) est cependant proche de celle d’une sphère, et l’erreur commise ne devrait être très importante. Pour les autres, le diamètre équivalent reste néanmoins un bon estimateur
IV.3 Suivi des gouttes