Chapitre 3 Estimation d’une surface d’onde morcelée à partir d’un pistilogramme
3.4 Méthode d’intégration des différences de phase
3.4.3 Évaluation de l’erreur
Un moyen d’utiliser la redondance d’informations générée par les pétales du pistilogramme consiste à calculer les relations de clôtures. Les relations de clôture sont un moyen intrinsèque de mesurer le bruit de l’interféromètre, même lors de la mesure d’un signal inconnu. En reprenant la numérotation associée au pistilogramme avec une couronne et rappelée Figure 3-64, la relation de clôture consiste à dire que la somme des pistons relatifs 𝑑𝑃13, 𝑑𝑃23 et 𝑑𝑃21 (associés au fibre 1, 2 et 3) doit obligatoirement faire zéro puisque nous revenons au point de départ.
Figure 3-64 : Exemple d’un pistilogramme composé de sept sous-pupilles et de la numérotation à droite. Les pistons absolus des sous-pupilles sont numérotés en noir, tandis que les pistons relatifs des pétales sont
numérotés en rouge.
92 Or, en réalité, la somme des trois pistons relatifs 𝑑𝑃𝑆 n’est pas nulle et vaut :
𝑑𝑃13+ 𝑑𝑃23+ 𝑑𝑃21= 𝑑𝑃𝑆 (3-57)
En supposant que les incertitudes sur les pistons relatifs sont indépendants entre eux, nous pouvons écrire que :
𝑉𝑎𝑟(𝑑𝑃𝑖) =1
3𝑉𝑎𝑟(𝑑𝑃𝑆) (3-58)
Où Var représente la variance, qui est le carré de l’écart-type. Nous pouvons alors utiliser la propagation de l’erreur de reconstruction perr, décrit dans la section 3.4.2 qui permet de relier l’écart-type des valeurs relatives et l’écart-l’écart-type des valeurs reconstruites, telle que :
𝑠𝑡𝑑(𝐴𝑖) = 𝑝𝑒𝑟𝑟√𝑉𝑎𝑟(𝑑𝑃𝑖) (3-59)
Il est ainsi possible d’évaluer l’erreur de mesure d’une sous-pupille à partir des mesures elles-mêmes. Les relations de clôtures peuvent être calculées pour chaque sous-système de trois fibres présent dans le pistilogramme, ce qui permet de détecter localement des zones d’erreurs plus élevées et de prévenir l’utilisateur que les données mesurées dans cette zone peuvent être moins significatives.
La dernière section de ce chapitre va permettre de conclure sur l’ensemble de la méthode d’analyse des pistilogrammes jusqu’à la mesure des pistons, tips et tilts reconstruits de tous les éléments de la surface d’onde initiale.
3.5 Conclusion
Le cheminement suivi dans ce chapitre, du pistilogramme jusqu’à la méthode d’intégration est rappelé Figure 3-65.
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Figure 3-65 : Les différentes étapes de traitement du pistilogramme jusqu’à l’estimation de la surface d’onde reconstruite.
La première étape du traitement concerne une méthode par transformée de Fourier afin de calculer la phase des pétales du pistilogramme. L’avantage de cette méthode est qu’au regard de la géométrie des sous-pupilles analysées, les composantes fréquentielles qui nous intéressent sont concentrées autour des fréquences fondamentales correspondant aux directions de propagation des répliques du réseau de diffraction utilisé. De cette manière, il est possible de traiter n’importe quel nombre de sous-pupilles pour obtenir les différences de phase deux à deux (les pétales de phase) des sous-pupilles.
L’analyse des pétales de phase se fait alors par projection sur trois fonctions normalisées et orthogonales entre elles pour obtenir les pistons, tips et tilts relatifs. Il serait cependant possible de mesurer les ordres supérieurs, comme par exemple le defocus qui existe dans les faisceaux laser. La base des polynômes de Zernike représenterait alors une bonne solution pour mieux modéliser le signal du pétale de phase et accéder aux défauts d’ordres supérieurs.
94 Les valeurs relatives précédemment mesurées peuvent alors être intégrées pour estimer les éléments de la surface d’onde initiale. Pour cela, une méthode basée sur les moindres carrés permet de tenir compte de l’ensemble des mesures pour reconstruire la surface d’onde. Nous avons vu avec cette méthode qu’il existait une relation entre l’incertitude des mesures et l’incertitude sur les valeurs reconstruites, qui dépend de manière logarithmique du nombre de couronnes de sous-pupilles. Le premier avantage de la méthode d’intégration est une réduction de l’incertitude de mesure des valeurs relatives tant que le paramètre de propagation de l’erreur perr est inférieur à 1, ce qui est vrai jusqu’à presque 2000 couronnes, soit presque 12 millions de sous-pupilles. Ensuite, un second avantage est d’utiliser la méthode d’intégration même si l’utilisateur de l’interféromètre ne souhaite avoir que les valeurs relatives. Nous avons pu montrer qu’il y avait un rôle de débruitage sur l’estimation des valeurs relatives jusqu’à 18 couronnes, soit environ 1000 sous-pupilles. Il y a donc un intérêt à utiliser les valeurs relatives estimées à partir des valeurs reconstruites. Enfin, un troisième avantage est d’utiliser la redondance d’informations pour évaluer l’erreur de mesure grâce aux relations de clôtures, ce qui permet d’évaluer l’erreur de mesure à partir de la mesure elle-même.
Une piste d’amélioration de la méthode d’intégration serait de pondérer les coefficients dans la matrice de passage des valeurs absolues aux valeurs relatives. Il serait alors possible de diminuer la propagation de certaines erreurs de mesure. Cette matrice de passage serait également l’occasion de tenir compte des éventuels termes croisés qui apparaissent dans la formule du pétale lorsqu’il y a des incertitudes de réglage de l’interféromètre, évoqués dans le Chapitre 2, comme un mauvais positionnement du masque de trous par rapport aux éléments de la surface d’onde ou encore l’incertitude liée au réglage de la distance optimale entre le réseau et la caméra.
Enfin, il pourrait être intéressant d’étudier la propagation de l’incertitude de mesure en fonction de sa position dans la surface d’onde. Les sous-pupilles sur le bord de la surface d’onde possèdent en effet moins de voisins que les sous-pupilles au centre, moins de mesures sont donc réalisées ce qui contribue à augmenter l’incertitude des valeurs reconstruites aux sous-pupilles du bord de la surface d’onde. Il serait alors intéressant de calculer l’évolution de l’incertitude de mesures au fur et à mesure de l’éloignement du centre de la surface d’onde.
Le prochain chapitre servira à mettre en œuvre expérimentalement l’interféromètre décrit dans le Chapitre 2. Une première expérience avec quelques sous-pupilles servira à confirmer les principes basiques que nous avons découverts lors de l’étude théorique, la mise en place de l’algorithme de traitement du pistilogramme jusqu’à l’analyse des pétales (Chapitre 3), et une première évaluation grossière des performances de l’analyseur. La seconde expérience avec un nombre de sous-pupilles plus conséquent permettra quant à elle d’affiner l’algorithme de traitement des pétales, mais aussi d’aborder l’algorithme d’intégration. Une caractérisation fine de l’analyseur sera également effectuée pour évaluer les performances de l’interféromètre.