Étude hydrodynamique

Ce paragraphe présente les champs de vitesse obtenus numériquement pour les différentes configurations de brassage étudiées. Ces résultats sont comparés avec les mesures PIV présen-tées dans la section 3.1.3 afin de valider l’approche numérique utilisée et de mettre en évidence les limites de ce modèle. La figure 3.22 présente les champs de vitesse moyens obtenus numé-riquement dans le plan vertical v1 (y = 0 cm) pour une vitesse de rotation de 20 rpm et des hauteurs de liquide de 20, 15 et 10 cm. Ces résultats sont comparés aux mesures réalisées à une vitesse de 70 rpm, ce qui correspond à un nombre de Reynolds de 1.2 × 105 (nombre de Reynolds basé sur le diamètre de l’agitateur). D’un point de vue qualitatif, on remarque que le modèle numérique permet de reproduire la structure globale de l’écoulement observé expérimentale-ment. L’influence de la hauteur de liquide sur le régime de brassage est bien retranscrite par le modèle qui prévoit un débit axial pour des hauteurs de 20 et 15 cm et un débit radial pour une

hauteur de 10 cm. Néanmoins, les topologies de champs de vitesse numériques et expérimen-taux ne sont pas rigoureusement identiques. Les positions des centres de rotation et les formes des recirculations diffèrent sensiblement. D’un point de vue quantitatif, le modèle permet de retrouver l’ordre de grandeur des vitesses mesurées pour les configurations axiales (H = 15 cm et 20 cm). Lorsque le débit est radial (H = 10 cm) le modèle sous-estime les vitesses dans le plan v1.

Afin de quantifier l’écart entre les simulations et les mesures, le tableau 3.6 présente l’écart relatif des valeurs maximales d’amplitudes des vitesses numériques par rapport aux amplitudes maximales mesurées. La valeur maximale d’amplitude de vitesse est un indicateur de la quan-tité de mouvement apportée au fluide par l’agitateur. Il s’agit donc d’un critère de comparaison global, qui permet de s’affranchir des différences de topologie observées précédemment. Pour les différentes configurations étudiées l’écart obtenu est compris entre −12.1% et 15.3%, ce qui semble raisonnable compte tenu de l’incertitude de mesure estimée dans la section 3.1.3.3. Le modèle numérique permet donc une estimation qualitative et quantitative cohérente du champ de vitesse généré par l’agitateur. Les écarts observés entre les simulations et les mesures peuvent être attribués en premier lieu à la modélisation de la turbulence. Des études réalisées sur le sujet [2, 52] montrent en effet que les modèles de type RANS ne permettent pas de prédire les profils de vitesse expérimentaux avec une grande précision. Des modèles plus évolués (de type

LES) permettent d’améliorer sensiblement les résultats mais nécessitent des moyens de calcul plus conséquents [62]. La modélisation de la surface libre par une paroi plane peut également limiter la précision des résultats. Cependant, les déformations de surface libre observées expé-rimentalement sont négligeables pour les hauteurs de liquide de 20 et 15 cm. Pour une hauteur de 10 cm la déformation reste faible si la vitesse est inférieure à 100 rpm. On considère donc que ce paramètre a peu d’influence sur les résultats. Une comparaison des résultats numériques et expérimentaux obtenus dans les différents plans horizontaux et verticaux est détaillée dans l’annexe B pour les configurations 1, 2 et 3.

Tableau 3.6 – Erreur relative sur l’amplitude maximale du champ de vitesse moyenne obtenue nu-mériquement sur une rotation complète par rapport à la valeur mesurée, dans le plan vertical v1 (y = 0 cm). n° N (rpm) H (cm) erreur relative 1 10 15 0.0609% 2 20 15 −0.805% 3 50 15 0.0633% 4 10 20 15.3% 5 20 20 −9.18% 6 50 20 −12.1% 7 10 10 −3.3% 8 20 10 6.53% 9 50 10 x 10 30 10 −10.8%

A1 - Simulation H = 20 cm ; N = 20 rpm B1 - Simulation H = 15 cm ; N = 20 rpm C1 - Simulation H = 10 cm ; N = 20 rpm A2 - Mesure H = 20 cm ; N = 70 rpm B2 - Mesure H = 15 cm ; N = 70 rpm C2 - Mesure H = 10 cm ; N = 70 rpm

Figure 3.22 – Comparaison des champs de vitesse normalisés (moyennés sur plusieurs périodes) ob-tenus numériquement et expérimentalement pour différentes hauteurs de liquide et un nombre de Reynolds de 1.2 × 105. Les données sont représentées dans le plan vertical v1 (y = 0 cm). Les vecteurs représentent les deux composantes coplanaires de la vitesse (u et w) et les contours de couleur représentent l’amplitude de ces vecteurs normalisés. Le contour blanc dans les figures de droite correspond aux zones où nous ne disposons pas de mesure expérimentale.

Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés aux champs de vitesse moyens obtenus lors des calculs transitoires. Ces champs sont issus de la moyenne temporelle des champs instantanés calculés à chaque pas de temps pendant une rotation complète de l’agitateur. Cependant, la caractérisation expérimentale des champs de vitesse a permis d’identifier des variations tem-porelles liées à la formation et à l’advection de tourbillons détachés pour les configurations avec des hauteurs de liquide de 15 et 20 cm (voir paragraphe 3.1.3.4). Ces tourbillons détachés ont également été observés numériquement comme le montre la figure 3.23. La figure 3.23.A représente un champ instantané de vitesse issu de la configuration numérique 2 (H = 15 cm et

N = 20 rpm), et la figure 3.23.B représente la composante de vorticité ωy associée à ce champ de vitesse. Ces deux figures permettent d’identifier un tourbillon détaché qui se forme au pas-sage de la pale et qui est ensuite advecté dans le jet produit par l’agitateur. La simulation transitoire du brassage par maillage glissant permet donc de reproduire certains phénomènes instationnaires de l’écoulement étudié.

A - Champ instantané de vitesse

B - Champ instantané de vorticité

Figure 3.23 – Champs instantanés normalisés de vitesse (A) et de la composante de vorticité ωy (B) obtenus numériquement pour la configuration 2 (H = 15 cm et N = 20 rpm). La vorticité est normalisée par la fréquence de rotation de l’agitateur exprimée en rad·s−1.