Equations diff´ erentielles : quelques questions

Equations diff´ erentielles : quelques questions

Soit l’´equation diff´erentielle

y⁰(t) =f(t, y(t))

o`uf est une fonction d´efinie sur un ouvertU ⊂R×Rⁿ.

1. Que signifie “r´esoudre l’´equation diff´erentielle sur l’intervalle ouvert I ⊂ R”? Qu’est-ce que l’espace des phases? Qu’est-ce qu’une courbe int´egrale?

Qu’est-ce que l’orbite d’une solution?

Exercice ´el´ementaire 1. Soit l’´equation diff´erentielle (x⁰₁(t) =−x2(t)

x⁰₂(t) =x₁(t)

Que vaut la fonctionf ici? R´esoudre l’´equation diff´erentielle surI=Ret d´ecrire les diff´erents ensembles introduits ci-dessus.

2. Qu’est ce qu’un probl`eme de Cauchy? Enoncer le th´eor`eme de Cauchy- Lipschitz (version locale). Quelles types de fonctions f satisfont les hy- poth`eses de ce th´eor`eme?

Exercice ´el´ementaire 2. Soit un ouvertU deRⁿ etf une fonction con- tinue localement lipschitzienne surU `a valeurs dansRⁿ. Montrer que si la d´eriv´ee d’une solution de l’´equation diff´erentiellex⁰(t) =f(x(t)) s’annule, alors cette solution est constante.

3. On appelle “´equation scalaire d’ordren” une ´equation de la forme x⁽ⁿ⁾(t) =f(t, x(t), x⁰(t),· · ·, x⁽ⁿ⁻¹⁾(t))

o`uf est d´efinie sur un ouvert deR×R<sup>n</sup>etxest `a valeurs r´eelles. Comment se ram`ene-t-on `a une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 dansRⁿ?

Exercice ´el´ementaire 3. Ramener l’´equation diff´erentiellex⁰⁰(t)+x(t) = t`a une ´equation diff´erentielle d’ordre 1.

4. Qu’appelle-t-on prolongement d’une solution? Qu’est-ce qu’une solution maximale? Que fournit le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz concernant les courbes int´egrales des solutions maximales d’une mˆeme ´equation diff´erentielle?

Qu’est-ce qu’une solution globale? En regardant l’´equationx⁰= _2x¹, mon- trer qu’une solution maximale n’est pas n´ecessairement globale.

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Th´eor`eme de majoration a priori. SoitI0 un intervalle ouvert deR et soit f une fonction continue sur I0×R<sup>n</sup> localement lipschitzienne en la deuxi`eme variable. Si une solution maximale de l’´equation diff´erentielle x⁰(t) =f(t, x(t)) est born´ee, alors elle est globale.

Ce th´eor`eme se g´en´eralise en “th´eor`eme de sortie de tout compact”. Pouvez- vous ´enoncer ce th´eor`eme?

Exercice ´el´ementaire 4. SoitI₀un intervalle ouvert deRet soitf une fonction continue surI₀×Rⁿlocalement lipschitzienne en la deuxi`eme vari- able. Montrer que sif est born´ee, toute solution maximale de l’´equation diff´erentiellex⁰(t) =f(t, x(t)) est globale.

5. Qu’appelle-t-on ´equation diff´erentielle lin´eaire? Que dire de la globalit´e des solutions? Quelle est la structure des solutions?

Savez-vous appliquer la variation de la constante? Savez-vous r´esoudre une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficients constants? Qu’est-ce que le Wronskien? A quoi sert-il?

6. Quelle est le comportement d’une solution par rapport aux param`etres?

Pour deux conditions initiales proches, les solutions maximales sont-elles proches? Qu’est-ce que le flot d’une ´equation diff´erentielle? A-t-on un r´esultat sur la r´egularit´e du flot?

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