Φ AB Conduction de la chaleur en régime permanentCorrigé du TD 2

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Université du Maine - Faculté des Sciences

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Conduction de la chaleur en régime permanent Corrigé du TD 2

Exercice 3 :

TM1=322°C TM2=287°C

1°) On écrit l’équation de diffusion de la température :

T+

q

^• ^=c^∂_∂t^T

nous sommes encore dans le cas d'un régime permanent, on parle aussi de conduction morte cette fois ci les conditions ne sont pas les conditions aux limites mais quand :

x=xM1 T=TM1

x=xM2 T=TM2

TM1=AxM1+B (1) TM2=AxM2+B (2)

(1)-(2) : A=T_M₁−T_{M 2} x_M1−x_{M 2} B=TM1-AxM1

B=TM1-T_M1−T_{M 2} x_M1−x_{M 2} xM1

1 e

Φ

λ

0 x

A B

M1 M2

(2)

d'où T(x)= T_M1−T_{M 2}

x_M1−x_{M 2} (x-xM1)+TM1

=-A T_M1−T_{M 2} x_M1−x_{M 2} A.N. : =420× (322−287)

0,009 =1633 kW/m²

2°) TA (x=0)=B= TM1 -T_M1−T_{M 2} x_M1−x_{M 2} xM1

A.N. : TA=322 - 322−287

−0,009  3.10^-3 TA=333,7°C

TB (x=e)=T_M1−T_{M 2}

x_M1−x_{M 2} (e-xM1)+TM1=(17.10^-3)+322 TB=255,9°C

3°)

il s'agit de résoudre l'équation : T(x)=Ax+B

en x=e+e' on a =-l'dT dx

=-A A=-ϕ

λ'

2 e

Φ

λ

0 x

A B C

λ’

e’

(3)

en x=e T(x)= -ϕ

λ'x+B=TB

-ϕ

λ'e+B=TB

B=TB+ϕ λ'e T(x)=-ϕ

λ'x+ϕ λ'e+TB

T(x)= ϕ

λ'(e-x)+TB

en x=e+e' TC=ϕ

λ(e-(e+e'))+TB

TC=-ϕ λ'e'+TB

A.N.:Tc=255,9-1633000× 0,006

43 =28°C

4°) 2 murs en série sont équivalent à des résistances en série

Une variation de température : T=R [R] homogène à K/W on a aussi T= e

λS d'où R= e λS

les résistances sont en série donc Rtot=R+R' TB-TC=( e

λS + e' λ'S)

A.N. : Rtot

S =0,02

420 +0,006

43 =4,76.10^-5+1,395.10^-4=1,87.10^-4 K/W.m²

3

e e’

R R’

Φ

λb

T1 T2

Ra

Rb

Rt

(4)

Exercice 4 :

dans le mur en brique T1−T2

Rb avec Rb e λbSbiques dans l'acier T1−T2

Ra avec Rb e λaSacie

Mur en parallèle T1−T2

R avec 1 R 1

Ra 1

Rbλa× 0,002 ×Sacier

e λb× 0,998 ×Sbrique e

R= e

S(0,002λa 0,998λb) Rmur sans acier= e

λbS Rmur.sans.acier

Rmur.avec.acier=0,002λa 0,998λb

λb =0,998+0,002λa λ b =3,15 donc il faut faire attention aux mauvais circuits thermiques

4