Conduction de la chaleur en régime permanent Corrigé du TD 5

Université du Maine - Faculté des Sciences

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Conduction de la chaleur en régime permanent Corrigé du TD 5

Exercice 9

Source interne de chaleur, système sphérique : Problème des pommes :

T+

q

∂

∂ en régime permanent T+

q

cette fois ci la diffusion de la chaleur ne se fait plus suivant x, mais suivant r en coordonné sphérique. On cherche plus à calculer T(x) mais T(r) :

le Laplacien T s'écrit r1?

drd _(r²

dTdr ) en sphérique

 r1?

drd _(r²

dTdr ₎₊

q

drd _(r²

dTdr ₎₊

q

? r ₌₀

r²dTdr ₊

λ

q

3

r

dTdr ₊

λ

q

r 3

? Ar _{=0 (1)} d'où T(r)= + +B

quand r tend vers 0 T doit être finie, ce qui signifie que A=0 soit T(r)=-

λ

•

6

?

q r

en r=R TR=-

λ

•

6

? qr

B= TR +

λ

•

6

?

q r

1

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T(r)=

λ

•

6

q

calcul de TR :

=-SdTdr _=hS(T

R-Tinf)

avec (1) : dTdr _=-

λ

•

3

q

donc TR=Tinf+

h

q

3

• R

A.N. :

Production interne de chaleur 4000 J/kg.jour = Q

q

q

=m/V=

) .

(

,

40 10

3 4 3

225 0

− 3

π

t=1 jour=86400s

q

TR=5°C+₃³⁸_×7^,_,⁹₅40.10^-3=5,069°C en r=0

T(r=0)=TR+ λ

•

4

? R

q =5,069+₄³⁸_{× 0}^,_,⁹₅(40.10^-3)²=5,1°C

2