Cours 3 Conduction en régime permanent

par M. KORTI A.N.

Université de Tlemcen Faculté de technologie

Cours 3

Conduction en régime permanent

https://etap2.univ-tlemcen.dz/fr/pages/80/tansfert-de-chaleur

 Chapitre 1. Introduction des transferts thermiques (1 semaines)

 Chapitre 2. Lois de base des transferts de chaleur (2 semaines)

 Chapitre 3. Conduction de la chaleur (7 semaines)

 Equation de l’énergie, les conditions aux limites

 Quelques solutions de l’équation de la chaleur

 Cas des systèmes conductifs avec sources de chaleur.

 L’analogie électrique en stationnaire.

 Le problème de l’ailette rectangulaire longitudinale

 Chapitre 4. Transfert de chaleur par convection (5 semaines)

 Convection forcée, naturelle et mixte.

 Méthodes de résolution d’un problème de convection

 Analyse dimensionnelle alliée aux expériences

2

4

Transfert thermique.

Rayonnement Conduction

À travers le vide:

milieu transparent Grace à la présence de :

matière immobile

Convection

Grace à la présence de :

matière en mouvement Convection forcée Convection naturelle

Gravité

Accélérateur mécanique

 Les 3 mécanismes.

Hypothèses

1.

Milieu isotrope : 

2.

Variation de la température dans les trois directions de l’espace

k

i

j

y

x

z

x y

z

T x T

y T z

 

 

 



  

 

 

  

 

 

   



    ^{ }T  ^T  ^T ^

Équations de la conduction

Régime transitoire

avec source d’énergie

Sans source d’énergie Régime permanent

6



C’est un cas particulier de l'équation de conservation de l'énergie



Sans convection



Sans radiation



Pourquoi étudier cette équation?



Connaître le champ de température



Déduire les flux de chaleur (pertinents)

8

Phénomène local à partir d'un volume de contrôle

 _x+dx

 _x

 _y+dy

 _y

 _z+dz

dx

dy dz

x y z

Taux de transfert d'énergie entrant le

volume de contrôle

Taux de transfert d'énergie sortant du

volume de contrôle

Taux de génération d'énergie dans le volume de contrôle

Taux d'énergie stockée dans le volume de contrôle

- ₊

=

Conservation d'énergie

10

entrant sortant g st

dQst

        dt

 Suivant x

 Suivant x, y, z

dx dy



x

x x dx

x 

 

 _  

entrant sortant

x x dx

x dx dx

x x

T dx dy dz

x x

dy dz T x

   

  

 

 

 



  

  

 

     

 

 

  

 



entrant sortant

T T T

dx dy dz

     

    

     

      

        

dz



Génération d'énergie thermique par unité de volume W/m



Taux d'accumulation d'énergie thermique (chaleur stockée)

g g

   dx dy dz

st

  



 T

c dxdydz t

12

Attention: une équation écrite par unité de volume !!!

g p

T T T T

x x y y z z c t

           

      

     

   

     

     

Terme source

Taux d’accumulation d’énergie thermique



Coordonnées cylindriques :

14 2 g

1 1

p

T T T T

r c

r r r r z z t

           

      

 

       

     

     



Coordonnées sphériques :

2

2 2 2 2 g

1 1 1

sin sin sin ^p

T T T T

r c

r r r r r t

            

        

 

      

     

     



Milieu isotrope ( constant)

a

diffusivité thermique du solide (en m

/s).



Milieu isotrope, avec sources internes et en régime permanent.

Eq. de Poisson

2 2 2

gen

2 2 2

1 a

T T T T

x y z t

 

 

  

   

  

2 2 2

gen

2 2 2

0

T T T

x y z





      

  

16



 

p

a c



Milieu isotrope, sans sources internes et en régime instationnaire.

Eq. de Fourier



Milieu isotrope, sans sources internes et en régime permanent.

Eq. de Laplace

2 2 2

2 2 2

   1 

  

   

T T T T

x y z a t

2

0

2 2

2 2

2





 



 





z T y

T x

T



Pour résoudre l’équation de conduction thermique :



il est nécessaire de spécifier des



En régime transitoire:



il est nécessaire de spécifier la

 Condition de frontière de Dirichlet (du premier type):

 T imposée :

 Condition de frontière de Neumann (du deuxième type) :

 Flux imposé

T_s

T(x, t)

x

20

T

t T ( 0 , ) 

x

T(x, t)

_s x o s

dT

 dx 



 

 Condition frontière de Neumann (du deuxième type) :

 Flux nul, surface isolée, adiabatique

x

T(x, t) Pente nulle

0

x o

dT

 dx





 Condition frontière mixte :

 Flux de chaleur provenant de la convection

 Flux de chaleur provenant du rayonnement

 Flux de chaleur combiné

T_, h

x

T(x, t) T(0,t)

22

 

 _



   _s

x o

dT h T T dx

4 4

 



 

 dT _{x o}  ^env  ^s 

T T

dx

 

 _ 



 

 dT _{x o}  ^s   ^env  ^s 

h T T T T

dx

1 2

1 2

0 0

 

 

 



 

T T

x x

 Condition de contact parfait entre deux solides différents :

 Continuité de température

 Conservation Egalité des flux





T

T

0



1

1



   

1

 0 

 0

T x T x

2

2

0

 

 T

x

 Hypothèses simplificatrices

 Transfert unidimensionnel

 Régime permanent

 Milieu isotrope et homogène (indépendant de la direction et de la position)

 Sans génération de chaleur (_gen = 0)

x

x dx

T1 T²

S

0

2

2 0

 

 T

x

  



T A x

 

 T x  Ax  B

 ⁰ 

T x



 

T x  L

Avec les conditions aux limites :

2



  T T

A L

x

x

L dx

T1 T²

S

0

26

 

T x x T

L

  

B T1

 

1 2

AL T T

  

T varie linéairement dans la paroi

T₁

T₂ L



 Le flux thermique à travers le mur :

Le flux est donc constant

 Il existe une résistance au passage de la chaleur analogue à celle électrique.

1 2







dx L

 

th

L

R S

1 2



th

T T R

R

U = RI

 

Électricité

R_th

T = R_thФ

 T

 T Thermique

S₂ T₂

S

S₁ T₁

Flux thermique : Résistance thermique:

 = ?

Air Froid T_∞2, h₂

L 0

x

₁ ₂

Air chaud T_∞1, h₁

1. Loi de FOURIER :

1 2

1 L 1

R ^ h S ^ S ^ h S





S T T L

    flux à travers le mur:

2. Loi de Newton :

 

2 h S T2 2 T 2

   _

3. Conditions limites :

• continuité des flux  ₁  ₂ 

• flux à travers le Plan P₁:

• flux à travers le Plan P₂:

?

Résistances thermiques

 

1 h S T1 1 T1

  _ 

1 2

1 2

1 1

T T

L

h S S h S





  



 

28



T

T

T

T

x

x = 0 x = L

1

,

T

h

2

,

T

h

Fluide chaud

Fluide froid

   



S

L₁ L₂ L₃

x

₁ ₂ ₃

T₁  T₂

 T₃

T₄ T₁ > T₂ > T₃ > T₄

Mur composite

• Le contact entre chaque couche est parfait 1. Hypothèse:

Ф=?

2. flux traversant chaque mur

• Pour le mur 1 :

• Pour le mur 2:

• Pour le mur 3 :

 

1 1 2

1

S T T L

   

 

2 2 3

2

S T T e

  

 

3 3 4

3

S T T e

  

En additionnant membre à membre :

1 4

3

1 2

1 2 3

T T L L L

S S S



  

 

 

 

 

 

3

1 2

1 2 3

L

L L

R ^  S ^  S ^  S

• Flux surfacique constant:

₁=  ₂=  ₃= 

1 2 3

3

1 2

1 2 3

1 2 3

où: ; ;

R R R R

L L L

R R R

S S S

  

  

  

30

1 1 1

R L

S



3

3 3

R L

 S



1. Hypothèse:

• Température uniforme sur chaque face

2. flux traversant chaque mur

3. flux total:

• Murs en contact parfait

• Pour le mur 1 :

• Pour le mur 2:

• Pour le mur 3 :

1 2

1

1

 T T^ R

1 2

2

2

T T

  R^ 2

2 2

 L

R S

1 2 3

    

 

1 2

3

3

T T

  R^

L

S₁

S₃

S₂

T₁

T₂

Φ₂

Φ₃

₁

₂

₃

Φ₁ ¹

1 1

 L R S

2 1

ln / 2

r r R^  L

T₂

T₁

L r₂

r₁

32

1. Hypothèse:

2. L'équation de la chaleur

3. Conditions limites :



 Tube de longueur L

• Les isothermes sont des surfaces cylindriques coaxiales   radial

1    0

 

  

 

 

r T

r r r



 ^ r T A

r

 

 

T r A r B

  1 ln 1   1

T r r A r B T

 2 ln 2 2

T r r  A r  B T

 

2 1 2 1

1 1

et ln

 

  

   

T T T T

A B T r

r r

 T₂ 

T₁  r₁

r₂



T₂ 

T₁  r₁

r₂

4. Flux thermique :

Résistance thermique:

2 1 th 2

ln r R r

 L

 

 

 



Tube de longueur, L et 

L r ln r

T T r

ln r r

T rL T

dr S dT













2 2

1 2

2 1 1

2 2 1



 





 



 





 





   



 





 











1 2

1 1

2 1

r ln r

rr ln T T T

r

Profil de température: T

 Le profil des températures est logarithmique.

34

Flux thermique

Résistance thermique en séries

Exemple : application au calorifugeage de tube

r₄ r₃ r₂

r₁ T₁ T₂ T₃ T₄

T_∞2, h₂

T_∞1, h₁ T_∞1

T₁ T₂

T₃

T₄ T_∞2 R₁

R_i R₂ R₃ R_e

1

1





 



n n

i i

T T R





1 2 









i i i

ln r r

R L

 Le raisonnement est similaire :

▪ Équation de conduction

▪ Double intégration

▪ Incorporation de conditions aux frontières

 Résultats :

▪ Distribution de température

▪ Flux de chaleur

▪ Résistance thermique

1 2

1 2 4

1 r r

r R r 



2 2

1 d dT 0

dr r dr r ^   

   

1 2

1 1 2

1 1 1

1 1

r r

r T r

T T r

T 

 





1 2

  ^

th

T T R

2 1 2 1

1 4

 

th r r

R r r

r₁ T₁ T₂

r₂

36

 Génération volumétrique causée par la conversion d'une autre forme d'énergie en chaleur :

 Fil chauffant;

 Réaction chimique ou biologique;

 Conversion d'un flux absorbé;

38

T_∞1, h₁

T_s

x T

T_∞, h T₁

0 2L

Isolation

_gen



Comportement thermique

gen

gen

gen

T_∞, h

T_s T

T_∞, h T_s

_gen T_∞1, h₁

T₂

x 0 2L T

T_∞2, h₂ T₁

_gen

2

2 g 0

d T dx





 Après une intégration double, la loi de la propagation de la chaleur devient :

 Les conditions aux limites :

2

2 g 0

d T dx

  

 

T x 2 x C x C

    



40

2 1

g 2 2 1 g

1 1 2 1

0

2 2 2

2

x T C T

T T

x L T L LC T T C L

L

 

 

    



           

g 2 2 1 g

2 2 1

T T

T x L x T

L

 

 

  

      

 

2 1 g

2 1

2 2

T T

T L x x T

L





  

      

 

 

T_∞1, h₁

T₂

x 0 2L T

T_∞2, h₂ T₁

_gen

gen

g

S dT SL

  dx 



   

 Pour le cas simple où T₁ = T₂ = T_s, l’équation se réduit à :

 Le flux évacué de la surface gauche sera :

 

g 2

2 ^s

T  L x x T

   

 

2 1 g

2 1

2 2

T T

T L x x T

L





  

      

 

 

T_∞1, h₁

T₂

x 0 2L T

T_∞2, h₂ T₁

_gen

 Après une intégration double, la loi de la propagation de la chaleur devient :

 Cas sphérique :

.

1 d dT _g 0

r dr ^r dr    

2

g 1

dT r2

r C

 dr   



 

 

4 n

T r  r C r C

 ^

   

42

R

L T_s

T_s

2 2

1 d dT _g 0

dr r dr r

 

   

 

 

 

6

T r g r C r C

k



   

 Un prototype d’un réacteur nucléaire dont la chambre de combustion est sous forme d'un tube en aluminium mince de rayon 8 mm est rempli de matériau nucléaire. La température à la surface est de 277°C. La puissance de combustible est de 6,5×10⁷ W/m³ et sa conductivité thermique est de 2,5 W/(mK).

 Montrez que la température à l’intérieure de la chambre peut être exprimée par la relation suivante :

𝑇 = 𝑎 − 𝑏𝑟² (a et b des constantes)

 Déterminez la température maximale à l’intérieur de la chambre et celle à r = 4 mm.

Convection : loi de de Newton:

Pour augmenter le transfert de chaleur par convection, on peut



Augmenter la différence de température (T

-T

). ?



Augmenter le coefficient de convection h.



Augmentation de la vitesse d'écoulement du fluide sur la surface (ventilateur de refroidissement).



Augmenter la surface d’échange S. ?



Exemple: un dissipateur de chaleur à ailettes.

(

)

h S T T

  

ailette

Ailette plane Ailette circulaire

46

48

50

Ailettes longitudinales de sections transversales (a) uniformes (b) non uniformes (c) annulaire et (d) épingle.

_x

S

L

ℓ

e

x T_∞, h

T_b

S

dx

S_c S

x

x dx

S dT 



 



 

 _{x dx}

x dx

S dT

 _  dx



 

  

c hSc T x

 

    _

_x+dx

_c

_c

_c

 S_c

 Sur ce petit volume, le bilan thermique s’écrit :

 Si  et S sont indépendants de x, on obtient :

 En posant :

 L’équation finale devient :

x x dx c





  

x x dx

dT dT

S S hPdx T x T

dx dx

  _



   

         

 

x dx x

dT dT

dx dx

S hP T x T

 ^ dx _

   

   

        

 

 

 S

m hP

 

2

 

d T2 hP 0

T x T

dx ^ S ^{   }



2 2

2 0

d m

dx

   

52

 Conditions aux limites

 à la base

 au bout de l'ailette, quatre conditions sont possibles

 ailette infiniment longue

 ailette isolée ou symétrique

 température prescrite

 Convection

1 1

e^mx e ^mx ou ch( ) sh( )

A B A mx B mx





La solution de l’équation différentielle du second ordre est du type :

T = T_b  _b = T_b - T_

 

 

0

x L

d dx







 

 

 

x L

d h L

dx

  



 

 Ailette infiniment longue

Dans le cas de l’ailette longue, on admet l’hypothèse que T(x=L) = T

. Les conditions aux limites s’écrivent alors :

54

 

x L 



 

0 0 _{b b}

x   Be  B T T_ 

   

e

 

T x T A B



 Le flux dissipé sur la surface de l’ailette est calculé par intégration du flux de convection local :

 Ou simplement, c’est le même flux transmis par conduction à la base de l’ailette (régime permanent) :

 

0 0 0

   

  

 

 

      

  

 

 

L mx

c b mx b e hP b

h T T dS hP e dx hP

m m

 

0

     ^

 

   _b ^mx

x x

S d S m e

dx

   

 hP S _b

   

 hP S _b

56

Type de la condition

à (x =L) Distribution de la température

b

 Flux de chaleur dégagé 

Ailette très longue

(L ) mx

e^{ M}

Ailette isolée à son extrémité

 

 

ch ch

m L x mL



 

  ^{M th}

 

Température de l’extrémité de l’ailette est fixe

   

 

sh sh

sh

L b

mx m L x

mL



 ^{   }

 

 

ch sh

L b

mL

M mL





Extrémité de l’ailette perd de la chaleur

par convection

   

   

ch sh

ch sh

m L x h m L x

m

mL h mL

m





  

   

   



   

   

sh ch

ch sh

mL h mL

M m

mL h mL

m









 Rendements de l’ailette (efficiency)

Comparaison avec une ailette idéale faite d’un matériau avec    où la température serait identique partout dans l’ailette et égale à T_b

 





hS

Par l’ailette Sans l’ailette

 



 hS

Par l’ailette

Si toute l’ailette est à T_b

 Efficacité de l’ailette (effectiveness)

Comparaison avec la situation où il n’y aurait pas d’ailette.

 Pour une Ailette très longue :

Comment augmenter  :



Le matériau de l’ailette doit avoir une conductivité thermique 



Il est paradoxal qu’un faible

augmente  .!!!



Si

d'améliorer le transfert de chaleur en ajoutant des ailettes de chaleur.



Les ailettes thermique sont plus efficaces si

est faible.



Sur des surfaces de séparation

généralement placés sur le côté gaz.



P / S doit être aussi élevée que possible,

58

  P hS

 Rendements d’une ailette

 Résistance thermique d’une ailette

 Rendement de l’échangeur

 Résistance thermique de l’échangeur

 

 ^f



f hSf b

t t

hS

 

 

 1

b

1

f

f f f

R hS



 

 

 Surface totale

 Flux thermique globale

 Le rendement globale de l’échangeur :

t f b

S  N S  S

Nombre d’ailettes Surface de base exposée (surface primaire)

f

t

N 

   

 

1

1

t f

t

NS

   S  

f b

f

hS

hS

N   

 

t t

hS

   

60

62

Fin du 3^ème chapitre