HAL Id: jpa-00245375
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Submitted on 1 Jan 1985
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Etude d’un modèle unidimensionnel pour les contacts thermiques en régime instationnaire
J.-P. Padet, A.-M. Cames-Pintaux
To cite this version:
J.-P. Padet, A.-M. Cames-Pintaux. Etude d’un modèle unidimensionnel pour les contacts thermiques en régime instationnaire. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1985, 20 (8), pp.599-608. �10.1051/rphysap:01985002008059900�. �jpa-00245375�
599
Etude d’un modèle unidimensionnel pour les contacts thermiques
en régime instationnaire
J.-P. Padet (*) et A.-M. Cames-Pintaux (**)
(*) Groupe de Thermomécanique, Faculté des Sciences, 51062 Reims, France
(**) Laboratoire d’Aérothermique, Groupe Echanges Thermiques, Université Paris VI, 75005 Paris, France (Reçu le 20 décembre 1984, révisé le 29 avril 1985, accepté le 6 mai 1985)
Résumé. 2014 On montre que dans un tube de flux cylindrique de direction parallèle à Ox et comportant une couche hétérogène, il est possible de définir un champ moyen de température T(x, t) continu pour tout x. On en déduit l’expression approchée, pour la couche hétérogène, d’une conductivité 03BBa et d’une chaleur volumique c03C1a appa- rentes. Le modèle unidimensionnel de contact thermique consiste alors en un schéma à trois couches homogènes
en contact parfait. Ce modèle s’applique également à diverses catégories de ponts thermiques, de matériaux com- posites ou d’écoulements en milieux poreux. Il est vérifié avec une très bonne précision dans le cas de signaux ther- miques du type échelon ou créneau, et constitue une bonne approximation pour des signaux triangulaires.
Abstract. 2014 We show that in a cylindrical heat flux tube (which direction is Ox) including a heterogeneous layer,
it is possible to define a mean temperature field T(x, t) continuous for évery value of x. The contact heterogeneous layer may be characterized by apparent thermophysical parameters in the Ox direction. Then, the one-dimensional model of contact includes three homogeneous layers in perfect contact, and may be linearized. This model is also convenient to describe the heat or mass transfer in various kinds of heterogeneous or porous média ; and its accu-
racy is verified by the mean of a numerical method.
Revue Phys. Appl. 20 (1985) 599-608 AOÛT 1985, PAGE
Classification
Physics Abstracts
44.30
Notations.
Pi, P2 : plans délimitant le domaine étudié 1)
Pi, P’2 : plans délimitant la couche hétérogène de
contact
Po : plan de contact
S3, S4 : sections totales des milieux III ou IV dans la couche hétérogène
Ti(x, y, z, t) : champ de température dans les milieux I,
_ II, III ou IV (i = 1,2,3,4)
Ti(x, t) : champ moyen de température dans les
_
mêmes milieux
T’(x, t) : champ moyen de température dans la couche
hétérogène
a : coefficient de partage des flux entre les milieux III et IV
Âi : conductivité thermique du milieu i cpi : chaleur volumique du milieu i
03BB’ : « conductivité apparente » de la couche hétérogène
cp’ : « chaleur volumique apparente » de la cou- che hétérogène
Z : section du tube de flux étudié
Àa : conductivité approchée de la couche équi-
valente
CPa : chaleur volumique approchée de la couche équivalente.
1. Problématique.
Les propriétés générales des contacts thermiques en régime stationnaire sont maintenant bien établies, grâce à de nombreux travaux tant expérimentaux que théoriques [1-6]. On sait en particulier que pour le calcul du flux de chaleur global qui traverse la couche hétérogène, un contact thermique est équivalent à
une résistance pure (« résistance thermique de con-
tact ») localisée au niveau de la surface apparente de
contact entre les deux milieux en présence.
Les choses sont beaucoup moins claires en ce qui
concerne le comportement de ces mêmes contacts thermiques en régime instationnaire : à la relative rareté des études expérimentales s’ajoute une appa- rente difficulté théorique à établir une modélisation
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01985002008059900
à la fois simple et satisfaisante comme en régime permanent [7-15].
Plusieurs modèles thermiques ont pourtant été envisagés : résistance-capacité en série (P. Desro-
chers [7]) avec l’inconvénient que le terme capacitif
devrait être en général un défaut de capacité (B.
Fourcher, J. P. Bardon, H. Mallard [13]); résistance
variable (M. Laurent [8]); ou encore deux lignes résistance-capacité placées en parallèle (J. J. Vullierme,
J. C. Payrault, H. Cordier [14]); enfin milieu homo-
gène équivalent (A. M. Cames-Pintaux, J. P.
Padet [15]). De plus, l’existence d’effets de conduction
non linéaire dans les zones à fort gradient thermique
a été suggérée [13].
Si l’on considère les deux derniers modèles, l’un (couche homogène) est très simple d’emploi, puisqu’il
est unidimensionnel, mais il est insuffisamment fondé
au niveau théorique, et ses limites de validité ne sont pas précisées ; l’autre modèle (deux lignes résistance-
capacité en parallèle) bénéficie d’une bonne justifi-
cation théorique, mais paraît d’un emploi plus malaisé
en pratique.
Nous nous proposons dans ce qui suit d’approfon-
dir l’analyse et l’évaluation du modèle unidimension- nel.
2. Modélisation d’une zone de contact et hypothèses
de calcul.
Nous reprendrons ici le modèle de contact que nous
avons déjà introduit [4], mais en le généralisant encore.
Nous considérons en effet un domaine matériel 0
(o tube de flux ») ayant les caractéristiques suivantes (Fig. 1) :
1. D est un tube rectiligne dont la section E a une
forme absolument quelconque. Il est limité par deux
plans Pi et P2 perpendiculaires aux génératrices.
Fig. 1. - Schématisation d’un contact thermique : mi-
lieux 1 et II séparés par une couche composite P’ 1 P’ 2- [Simplified geometry for thermal contacts : média 1 and II
separated by a heterogeneous layer P’ P’.]
2. D est divisé en trois parties par deux plans P’
et P’ 2 perpendiculaires aux génératrices : une partie homogène entre P 1 et Pi (milieu I), une autre partie homogène entre P’ 2 et P2 (milieu II) et une couche hétérogène entre P’ et P’ : celle-ci est constituée par deux milieux III et IV homogènes, occupant des volumes de forme tubulaire dont les génératrices sont parallèles à celles de D.
Ce schéma inclut en particulier les contacts entre un solide rugueux et un autre solide poli (le milieu III
par exemple, constituant une aspérité, est alors iden-
tique à 1 ou II) ainsi que les contacts solide-liquide [4].
On notera qu’il est plus général que le schéma habi- tuellement retenu pour les résistances thermiques de
contact, constitué par des tubes de flux de section circulaire ou rectangulaire, tous identiques, unifor-
mément répartis et avec aspérité centrée. Il convient
également à la description de certains ponts thermiques
dans le bâtiment
Nous ferons en outre des hypothèses concernant les conditions aux limites et le champ thermique :
3. Le flux de chaleur est nul en tout point de la
surface latérale du domaine D : aT/ôn = 0, n étant la
normale extérieure à la surface.
4. Les différents milieux en présence sont en contact parfait
5. Le champ de température est uniforme sur P 1
et P2.
6. La conduction est supposée linéaire dans l’en- semble de D.
Précisons enfin quelques notations : la direction x
est parallèle aux génératrices de D, et orientée de P 1
vers P2 ; les plans Pi, P i, P’21 P2 ont respectivement
pour abscisses 0, xl, x2, e ; les sections des milieux III et IV sont notées S3 et S4 avec S3 + S4 = Z.
Dans le cadre du schéma précédent, nous examine-
rons d’abord le champ de température dans les quatre milieux en présence.
3. Températures moyennes : définitions et propriétés.
3.1 TEMPÉRATURES MOYENNES DANS LES MILIEUX 1 ET
II. - Soit P un plan quelconque d’abscisse x, paral-
lèle à Pi et P2 et Ti(x, y, z, t) le champ de température
dans le milieu i (i = 1, 2, 3, 4). Pour 0 x xi, nous définirons la température moyenne sur P dans le milieu 1 par
où dS est l’élément différentiel de surface sur P. De
même, dans le milieu II ;
601
Les grandeurs ci-dessus ont fait l’objet de plusieurs
études. En particulier, en régime stationnaire, on a
montré que, si l’on désigne par T1(x) et T2(x) les températures dans le modèle à résistance pure (uni- dimensionnel), on a : T1(x) = T1(x) et T2(x) = T2(x) (Padet [4]), ce qui signifie encore que l’énergie interne
est la même dans les deux modèles [16].
Cette propriété a été généralisée au cas du régime instationnaire, et démontrée analytiquement par B.
Fourcher, J. P. Bardon et H. Mallard [13]. En d’autres
termes, dans les deux zones homogènes (milieux 1 et II), les fonctions T1(x, t) et T 2 (x, t) sont solutions de
l’équation unidimensionnelle de la chaleur :
elles méritent donc bien la dénomination de « tem-
pératures ».
3.2 TEMPÉRATURES MOYENNES DANS LA COUCHE HÉTÉ- ROGÈNE. - Le problème essentiel est maintenant de savoir si une propriété analogue à la précédente pour- rait être établie dans l’ensemble du modèle. Dans ce
but, nous essaierons d’abord d’étendre le raisonnement de Fourcher et al. à la couche hétérogène.
Considérons une tranche plane (x, x + dx) entre Pi et Pi. Son bilan d’énergie interne pendant le temps dt s’établit ainsi compte-tenu du fait que le flux de chaleur à travers la surface latérale de D est supposé
uniformément nul :
Les opérateurs et a ou
a
ortant sur des varia-bles indépendantes (y et z pour le premier, x ou t
pour les autres) peuvent être permutés.
On voit alors apparaître des expressions qui sont
les températures moyennes dans les milieux III et IV à l’abscisse x. Posons :
En divisant par dx et en faisant tendre dx vers 0, il vient finalement :
Cette relation constitue l’équation de diffusion de la chaleur dans la couche hétérogène, exprimée en
fonction des températures moyennes T 3 et T 4.
4. Conditions de l’équivalence entre la couche hété- rogène et une couche homogène de même épaisseur.
4. 1 PRÉAMBULE. - Dans la première partie, nous
nous sommes fixés comme objectif d’examiner si
une couche homogène pourrait être « thermiquement équivalente » à la couche composite P’ P’. Cela
revient à dire, en d’autres termes, que nous cherchons à établir un modèle unidimensionnel pour la diffusion
thermique dans le domaine D.
Une couche homogène équivalente devra être caractérisée par une conductivité Â’ et une chaleur
volumique cp’, et elle sera le siège d’un champ de température unidimensionnel T’(x, t). Il est clair que l’et cp’ sont aussi les caractéristiques thermophysiques apparentes de la couche composite dans la direction
x, tandis que T’(x, t) est une fonction qui prolonge
le champ moyen de température en I et II. Dans ce qui
suit nous examinerons successivement les problèmes posés par la caractérisation de ces trois grandeurs.
4.2 RECHERCHE D’UNE CONDUCTIVITÉ APPARENTE 03BB’.
- La conductivité apparente Â’ de la couche compo-
site sera évaluée en écrivant de deux manières diffé-
rentes le flux total de chaleur à travers un plan P
d’abscisse x (xi x x2).
Dans le modèle tridimensionnel, ce flux a pour
expression :
Là encore, on peut permuter les opérateurs
et
ôx’
et on obtient :Dans le modèle unidimensionnel où la conductivité est 03BB’ et la température T’(x, t), le même flux devra s’écrire, en vertu de la loi de Fourier :
La comparaison de (6) et (7) montre que Â’ est obligatoirement de la forme :
Ce paramètre est donc une fonction de x et de t, par
l’intermédiaire de T3, T4 et T’, et dépend par consé- quent des conditions aux limites. Il ne peut donc avoir le sens physique d’une conductivité. Nous sommes
ainsi conduits à la conclusion qu’il paraît impossible
d’attribuer à la couche hétérogène une conductivité apparente au sens strict du terme, 03BB’ ne jouant ce rôle
que d’une façon purement formelle.
La fonction À’(x, t) nous servira cependant à étayer
par la suite un modèle unidimensionnel approché.
4.3 RECHERCHE D’UNE CHALEUR VOLUMIQUE APPA-
RENTE cp’. - Par un raisonnement analogue, nous
cherchons une chaleur volumique apparente cp’ à partir de l’énergie interne d’une tranche plane (x,
x + dx).
Dans le modèle tridimensionnel, pendant un inter-
valle de temps dt, la variation d’énergie interne de la couche (x, x + dx) a pour valeur :
soit après permutation des opérateurs et ~ ~t:
Avec le modèle unidimensionnel, où la chaleur volumique est cp’ et la température T’(x, t), un calcul analogue montre que le même terme dQ devra s’écrire :
De (9) et (10) on déduit l’expression de cp’ :
La aussi, nous remarquons que cp’ est une fonction
de T 3, T4 et T’, donc de x et de t. Cette expression pré-
sente donc les mêmes déficiences que À’, et justifie par
conséquent les mêmes remarques.
5. Caractérisation d’une température moyenne T(x, t).
Dans les relations (8) et (11), figure une température
moyenne T’(x, t) dont nous n’avons ni justihé la
définition ni précisé la forme analytique. C’est ce point essentiel que nous allons compléter maintenant.
5 .1 CONDITIONS AUX LIMITES ET EXPRESSION DE T’(x, t).
- Dans le modèle unidimensionnel, le champ de température T’(x, t) devra être continu dans D, si l’on admet que les trois couches sont en contact
parfait
On doit donc avoir en particulier, sur Pi et P’2 :
Mais le champ local de température Ti(x, y, z, t)
étant continu en tout point de D, on a également en xi et X2 :
Ceci dM(y, z) E P’1 ou P’2 (i = 3 ou 4 suivant que M E 83 ou S4).
En intégrant les relations (13) sur y et z, il vient :
soit encore :
ETj(xp t) = S3 T3(xj, t) + S4 T4(xj, t) ( j = 1, 2) .
_La forme analytique nécessaire à la continuité de T’ est par conséquent :
Il apparaît donc que T’(x, t) est une combinaison linéaire de T3(x, t) et T4(x, t), et que sa définition est
purement géométrique, en ce sens qu’elle ne fait pas intervenir l’énergie interne des milieux en présence,
et donc leur chaleur volumique. Inversement, une
formulation de T’ basée sur l’énergie interne conduirait
à renoncer à la continuité des températures moyennes
sur P’ et P’, c’est-à-dire à réintroduire des résistances pures que le modèle proposé cherchera précisément
à éliminer.
On aboutit donc ici à une expression qui a déjà été envisagée, en particulier dans l’étude des matériaux
composites [19].
603
5.2 EXPRESSIONS COMPLÈTES DE À’ ET Cp’. - Etant
maintenant en possession d’une forme analytique
pour T’, nous sommes en mesure de compléter les
relations (8) et (11) pour aboutir aux expressions complètes de À’ et cp’ :
Comme nous l’avons déjà souligné, les fonctions
précédentes ne peuvent pas être considérées comme des caractéristiques de la couche hétérogène, sauf
d’une manière purement formelle. On relèvera en
particulier que À’ et cp’ ne sont pas des fonctions expli-
cites de T’, ce qui aurait permis de remplacer l’équa-
tion (5) par une équation non linéaire en T’.
La possibilité de construire un modèle unidimen- sionnel rigoureux paraît donc exclue. Cependant,
nous allons montrer que l’examen de 03BB’ et cp’ peut conduire à un modèle approché, satisfaisant en pra-
tique.
6. Etude d’un modèle approché.
Ô.1 REMARQUES PRÉLIMINAIRES. - Si l’analyse précé-
dente possède un intérêt du point de vue heuristique,
il n’en est malheureusement pas de même sur le plan pratique, puisque son application suppose le pro-
blème résolu : pour calculer 03BB’(x, t) et cp’(x, t), il faut
en effets avoir préalablement déterminé les tempéra-
tures T3(x, t) et T4(x, t).
Le fait d’adopter une autre définition de la tempé-
rature moyenne T’ ne changerait rien à la chose. Ainsi,
dans une étude consacrée aux matériaux composites,
A. M. Luc et D. Balageas [20] ont observé que, en définissant une température moyenne à partir de l’énergie interne, à savoir :
la loi de conservation de l’énergie est bien vérifiée si
cp’’ = (CP3 S3 + cp4 S4)/03A3 = Cte, mais que si 2’ =
Cte, la loi de Fourier ne l’est pas ; il faut donc admettre 03BB’ variable.
Toutefois, dans le cas des contacts thermiques, il
semble possible d’utiliser un modèle simplihé, dont
nous vérifierons plus loin la validité [25].
6.2 VALEUR APPROCHÉE DE LA CONDUCTIVITÉ APPA- RENTE. - A partir de la notion introduite par Bar- don [17] de coefficient de partage des flux, nous défi-
nissons un coefficient de partage local à l’instant t en posant :
On a, bien évidemment :
Alors, le paramètre s’exprime très simplement
en fonction de a, puisque la formule (15) s’écrit encore :
En remplaçant ~3 et ~4 par 03B1~ et (1 - a) q5, il vient :
On voit avec cette formulation que, dans tous les
cas où a(x, t) varie peu, on pourra admettre pour valeur approchée de la conductivité apparente :
où Â. est la conductivité moyenne apparente de la couche hétérogène, mesurée en régime stationnaire.
Cette approximation a été bien justifiée en régime permanent lorsque le contact est schématisé par des
aspérités de section constante [7].
En régime instationnaire, si par exemple le plan Pl
est soumis à un signal thermique, les deux voies de passage par les milieux III et IV vont en général
introduire des retards différents dans la propagation
du signal, d’où une répercussion sur a(x, t). Cepen- dant, en pratique, l’hypothèse (20) paraît acceptable,
comme nous le vérifierons plus loin.
6. 3 VALEUR APPROCHÉE DE LA CHALEUR VOLUMIQUE
APPARENTE. - L’expression (16) de la chaleur volu-
mique apparente semble également pouvoir faire l’objet d’une simplification, au moins dans certains cas.
En effet, dans un certain nombre de cas, on peut admettre que les vitesses d’évolution des températures
moyennes T3 et T4 sont voisines, soit :
Il en résulte une valeur approchée cp. de cp’(x, t) :
valeur identique à la chaleur volumique moyenne de
la couche hétérogène en régime permanent [15].
6.4 CARACTÉRISATION DU MODÈLE APPROCHÉ. - Le modèle approché de contact thermique que nous pro- posons est donc obtenu en remplaçant la couche hété- rogène par une couche équivalente de caractéristiques Â. (20) et cp. (21) (1).
Sa propriété essentielle est sa linéarité, puisque
et cp, sont des constantes.
Pour l’utiliser, il est simplement nécessaire de con-
naître : l’épaisseur de la couche hétérogène, le rapport des sections S,IS4 (ou S3/03A3) et la résistance thermique
de contact en régime stationnaire, d’où l’on déduit
immédiatement et cpa.
7. Validité du modèle unidimensionneL
Dans le cas général, la précision du modèle approché peut difficilement être évaluée a priori avec certitude.
Aussi nous proposons-nous maintenant de tester ce modèle dans plusieurs cas simples qui correspondent
à des situations physiques très répandues.
7.1 RÉGIME DE RELAXATION.
7.1.1 Aspect théorique. - Les régimes de relaxation
sont caractérisés par des valeurs aux limites station- naires. On sait que, à partir de l’instant t = 0 où cette condition est réalisée, la température en chaque point
M du système peut être représentée par une expression
de la forme :
où les grandeurs mj sont indépendantes du point considéré, et où F(M) représente le régime permanent final.
Au bout d’un temps qui est au maximum de l’ordre de 1/mi, l’évolution de T est correctement décrite par le premier terme de la série ; c’est la phase exponen-
tielle, que nous écrirons :
Avec nos notations, les températures moyennes dans les quatre milieux en présence auront pour valeur :
Deux cas doivent être considérés ici :
a) Cas particulier : Fi(x) = Cte (régime permanent final à température uniforme).
(1) Nous n’aborderons pas ici la comparaison entre le présent modèle et le modèle plus simple de résistance pure, discutée dans d’autres publications [23, 24].
En reportant (23) dans (15) et (16), il vient :
On observe ici que et cp’ sont devenues indépen-
dantes du temps. La couche équivalente se présente
alors de façon rigoureuse comme un milieu dont les
caractéristiques thermophysiques sont indépendantes
de la température mais dépendent continûment de x.
b) Cas général. Dans le cas général où Fi(x) ~ Cte,
la valeur précédente de cp’ (25) n’est pas modifiée, mais la simplification n’opère plus sur À,’. Par contre,
on constate que, au bout d’un temps assez bre( À’
devient très proche de sa valeur asymptotique :
Or, sachant que les profils de températures en régime permanent (F3(x) et F4(x)) sont pratiquement liné- aires, on voit que l’approximation (20) : 03BB’ # 03BBa est ici
tout à fait justifiée.
7.1.2 Confirmation numérique. - Dans des publica-
tions antérieures [15,18J, nous avons étudié numérique-
ment la réponse d’un contact thermique à un échelon
de température. Le modèle géométrique utilisé repré-
sentait un contact par bandes parallèles entre deux
milieux identiques, avec une surface relative S3/03A3 =
s* = 15,8 x 10-’, et une épaisseur relative de la couche hétérogène a* = 8 x 10-2.
Les caractéristiques thermophysiques des matériaux couvraient un éventail très large dans les exemples
choisis.
Les calculs que nous avions effectués correspondent
au cas b) du paragraphe précédent, c’est-à-dire au cas
le plus défavorable pour le modèle linéarisé. Ils montrent cependant une excellente concordance entre le modèle complet et .le modèle approché (À, c03C1a),
ceci pratiquement dès l’arrivée du signal thermique
sur la zone hétérogène. Les écarts relatifs sont toujours
très inférieurs à la précision expérimentale requise
pour des mesures de températures.
Notre modèle paraît donc satisfaisant dans les
régimes de relaxation.
Il est intéressant de noter qu’un résultat analogue
a été obtenu par G. Grangeot [21] pour la réponse
à un échelon de température dans un milieu poreux saturé sans écoulement de fluide.
