UN NOUVEAU MODÈLE UNIDIMENSIONNEL DE TRANSDUCTEUR PIÉZOÉLECTRIQUE

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Submitted on 1 Jan 1990

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UN NOUVEAU MODÈLE UNIDIMENSIONNEL DE TRANSDUCTEUR PIÉZOÉLECTRIQUE

J.-L. Dion

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J.-L. Dion. UN NOUVEAU MODÈLE UNIDIMENSIONNEL DE TRANSDUCTEUR PIÉZOÉLECTRIQUE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-607-C2-610.

�10.1051/jphyscol:19902143�. �jpa-00230439�

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n"2. Tome 51, Février 1990 C2-607 1er Congrès Français d'Acoustique 1990

UN NOUVEAU MODÈLE UNIDIMENSIONNEL DE TRANSDUCTEUR PIÉZOÉLECTRIQUE

J.-L. DION

Groupe de Recfrerche en Electronique Industrielle, université du Québec é Trois-Rivières, Trois-Rivières, G8Y 3P2, Québec

R É S U M É

N o u s présentons une nouvelle a p p r o c h e de modélisation u n i d i m e n — sionnelle d'un transducteur p i é z o é l e c t r i q u e , utilisant un traitement particulier d e l'analogie d e s lignes électriques. L e s d i v e r s e s e x p r e s s i o n s o b t e n u e s pour les grandeurs acoustiques ont d e r e m a r q u a - bles symétries qui traduisent le -fait q u e les sur-faces d u p i é z o é l e c - trique peuvent ê t r e c o n s i d é r é e s comme a l'origine d e s p e r t u r b a t i o n s a c o u s t i q u e s . L e modèle est développé d'une façon n a t u r e l l e en appliquant un système cohérent d'équations d e s lignes é l e c t r i q u e s , suivant l'analogie courant/vitesse acoustique. L e s d i v e r s e s g r a n d e u r s calculées sont bien confirmées par l e s mesures et par comparaison avec c e l l e s d e la m é t h o d e habituelle.

SUMMARY

W e present a new approach o-f one—dimensional modelling of piezoelectric t r a n s d u c e r s , using in a special way t h e analogy with electrical transmission lines. T h e various expressions obtained -for the acoustic v a r i a b l e s h a v e remarquable symmetries which re-flect t h e

•fact that t h e s u r f a c e s of t h e piezoelectric element may be considered as originating t h e acoustic p e r t u r b a t i o n s . T h e model is developped in a natural f a s h i o n , by applying a coherent system of e q u a t i o n s used in transmission line t h e o r y , according t o t h e analogy between electrical current and acoustic velocity. T h e various computed v a l u e s a r e well confirmed by measurements and by comparison with the r e s u l t s of t h e classical method.

1- INTRODUCTION

On u t i l i s e couramment depuis d e nombreuses a n n é e s , le modèle de ttason pour représenter un élément piézoélectrique vibrant en u n e dimension Cl—33. C'est un réseau à deux p o r t e s acoustiques et u n e porte électrique b r a n c h é e e n t r e les deux p r e m i è r e s . Il est formé d'éléments discrets qui dépendent d e la f r é q u e n c e , et dont les deux extrêmes sont égaux. On a plus tard p r o p o s é , s a n s le d é v e l o p p e r , un modèle constitué d'une ligne acoustique a l i m e n t é e par le milieu C 4 3 , qui devait donner les m ê m e s résultats que le précédent. O r , c e s modèles soulèvent quelques questions f o r m e l l e s . Premièrement, d a n s c e r t a i n e s versions d u modèle de Mason il apparaît u n e capacité négative C0 qui gêne quelque p e u l'intuition. D e u x i è m e m e n t , la ligne ou le réseau équivalent sont alimentés par le centre C l - 4 3 , alors qu'on peut démontrer que l e s p e r t u r b a - t i o n s p i é z o é l e c t r i q u e s originent d e s f a c e s C3,53. T r o i s i è m e m e n t , avec le modèle de liason utilisé tel q u e l , il est impossible que l e s v i t e s s e s acoustiques sur les faces soient égales quand les impédances d e s milieux adjacents sont d i f f é r e n t e s , a l o r s que la solution rigoureuse d e s é q u a t i o n s m o n t r e qu'elles le sont à la fréquence d'antirésonance, quelles que soient les charges. C e l a tient à l'égalité d e s deux impédances en jZotg(fra/2) d u modèle Cl-43. On est ainsi amené logiquement à tenter d e placer d e s s o u r c e s aux extrémités d u modèle comme c e r t a i n s l'ont fait Cé>3. Dans un précédent travail C73 qui était u n e première tentative d e modélisation unidimensionnelle de transducteur vibrant en é p a i s s e u r , n o u s avions indépendemment u t i l i s é cette dernière a p p r o c h e . Il s'est a l o r s avéré que l e s valeurs d'impédance électrique dans les d i f f é r e n t s m o d e s étaient prévues e x a c t e m e n t , mais qu'il apparaissait certaines r é s o n a n c e s indésirables. C e problème a é t é réglé d e la façon que

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902143

COLLOQUE DE PHYSIQUE

n o u s présentons ici, e n assimilant l e s contraintes sur les f a c e s A d e s s o u r c e s et e n appliquant l e théoreme d e superposition.

L a f i g u r e 1 représente l e s y s t e m e modélisé: un élément piézoélectrique d'épaisseur .a entre deux milieux -1, 1, présentant d e s impédances Z-I e t 2%

respectivement. N o u s traiterons d u c a s d u piézoélectrique polarisé s e l o n 1 'axe Z o u 3, et vibrant en épaisseur. L e s vitesses et pressions acoustiques s u r l e s f a c e s R et B sont respectivement Ua, P a et UW, Pa. L e s contraintes T a et Te sont égales et d e s i g n e s opposés A P a et PB- L a meme approche peut s'adapter aux divers autres c a s d e vibration unidimensionnelle. Elle s e rapproche d e ce1 les d'autres auteurs C8,91 par c e r t a i n s côtés. Nous uti 1 iserons l e s équations piézoélectriques suivantes o ù 1 e s indices sont supprimés, e n désignant l e déplacement par b = b < z , t > :

En régime harmoni'que, n o u s désignerons l'amplitude complexe d u déplacement acoustique par B Cr). Sachant que l a vitesse acoustique U est r e l i é e a u déplacement B par la relation 6 = U/(jw), et que D = W/A = I/(jwA>, 1 étant 1 'amplitude complexe d u courant, l a première équation piézoélectrique donnera, sur les f a c e s A et B:

puis, après intégration d e < 2 ) , d e A a B:

00 H a = C d U / d ~ l n , He = CdU/dzlw, c" = c=xW l e coefficient d e rigidité A champ D constant, h = hx3 est l a constante piézoélectrique d e contrainte, Co = gSA/a est la capacité électrique d e l'élément déformation constante (capacité bloquée).

Or, si 1 'on peut exprimer T a et Ta directement en fonction d u courant 1 , o n pourra f a i r e l'hypothèse que c e s contraintes sont l e s sources o u c a u s e s d e l a déformation d u piézoélectrique. C'est c e raisonnement qui amène A proposer l e modèle d e l a f i g u r e 2. Si 1 'on imagine que chaque source agit séparément, l a vitesse U ( 2 ) en un point quelconque est, d'après l e théorême d e superposition:

avec

U(z) = U'(Z> + ^U"(z) Un = Un' + Ua"

Ue = Uw' ₊ Us"

Ta = Ta'

+

T g = Te' + Te"

o ù les grandeurs i ' ) sont celles obtenues en faisant agir s e u l e u n e s o u r c e Ta' et les grandeurs ' celles produites par u n e source TI'' seule. Pour déterminer H a et He, i l faut trouver u n e expression d e Uiz). D a n s l e c a s o ù Ta' agit seule, o n sait d'après l a t h é o r i e d e s lignes, vu que l e courant est 1 'analogue d e la vitesse acoustique, que:

o h D X est l e dénominateur d e l'expression d e Z,, l'impédance acoustique v u e en R vers la droite:

Z I cosh (goao) + Z,Q s i n h ( y o a o ) NI

z+ = Zao =

-

2-0 cosh < g ~ a o ) + ZI s i n h Igoao> DI

De même, U " ( z ) = CZ,ocosh (gaz) + Z-,sinh < q o r ) l U w " / D z ( 1 0 ) e s t l a v i t e s s e a c o u s t i q u e quand T E ' a g i t s e u l e ,

oz

H, = F n Tn' + Gn Te" ( l l a )

où F a = g o Z + / ( Z e o Z - ~ ) , G n = g o Z - ~ / f D a Z x ) , Fe = goZ,/(D,Z-,) e t

Ge = < ~ O ~ - / ( Z ~ ~ Z ~ ) ~ P u i s , on p o r t e ces d e r n i é r e s dans l e s éq. ( 3 ) e t <4), c e qui donne un systéme en Ta' e t T e " , f o n c t i o n du c o u r a n t I . En l e r é s o l v a n t , on o b t i e n t :

Tn' = KaI e t Ta" = K e I (12)

oh j h' ( Y w - Ya) j h (Xn - Xe)

K a =

-

-

N A (XaYe - XeYn) M A (XnYw - XeYn)

avec: Xe = 1 + jcDF,/w Y, = jcDGa/w

-

D 0 a p r & s ( 8 ) e t ( I O ) , UW' = (Z,~/DI)U,=,' e t U," = (Z,O/DZ)U,". Considérant ( 6 ) e t ( 7 ) . on o b t i e n t :

DU f a i t que Ta = -Z-,Un e t Te = Z r U w , on o b t i e n t des expressions des v i t e s s e s a c o u s t i q u e s des f a c e s en f o n c t i o n du c o u r a n t :

F i n a l e m e n t , en p o r t a n t ces d e r n i é r e s dans CS), on o b t i e n t l ' e x p r e s s i o n de 1 'impédance é l e c t r i q u e du t r a n s d u c t e u r :

1 1

ZE =

-

-

j w JWCO

e t : Un = (Rn/Z=)V Ue = (Rw/ZE)V ( 2 0 )

Les v a l e u r s d 'impédance é l e c t r i que c a l c u l é e s par c e t t e méthode o n t é t é comparées avec c e l l e s données par une méthode classique C8,91, dans l e cas d ' u n e céramique p i é z o é l e c t r i q u e t y p i q u e . Les r é s u l t a t s des c a l c u l s sont i d e n t i ques e t l e s v a l e u r s c a l c u l é e s des f réquences des extremums d ' impédance des t r o i s premiers modes sont é g a l e s aux v a l e u r s e x p é r i m e n t a l e s A 0,2% près.

Les v a l e u r s c a l c u l é e s d'impédance é l e c t r i q u e sont également i d e n t i q u e s e t se comparent a u x v a l e u r s expérimentales A mieux de 20% prés dans 1 'ensemble.

Malgré des c a l c u l s sensiblement p l u s l o n g s , c e t t e n o u v e l l e approche e x p l o i t e A i o n d 1 'a n a l o g i e avec l e s l i g n e s é l e c t r i q u e s , d 'une f a ç o n qui nous semble i n t u i t i v e . E l l e i n t r o d u i t une nouvel l e r e p r é s ' e n t a t i o n de l a l i g n e é q u i v a l e n t e

C2-6 1 O COLLOQUE DE PHYSIQUE

A u n é l é m e n t p i é z o é l e c t r i q u e v i b r a n t e n u n e d i m e n s i o n , l a q u e l l e r e m p l a c e a v a n t a g e u s e m e n t le m o d e l e d e M a s o n d o n t l'utilisation p o s e q u e l q u e s dif+icultés.

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R B

Figure 1

Figure 2 Modèle de transducteur piézoélectrique Interface électro-acoustique