TD 5 : Statistiques - Corrigé

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TD 5 : Statistiques - Corrigé

Exercice 1 :

La puissance fiscale des voitures d’une grande entreprise se répartit de la façon suivante :

1) Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette série statistique. ̅ == 5,46875 = − 5,46875 ≈ 1,7115 et ≈ 1,308

2) Déterminer la médiane et les quartiles puis le premier et le 9^ème décile.

= 5, = 5, = 6, = 4 = 7

3) Préciser l’étendue : 9 − 4 = 5, les intervalles interquartiles 6 − 5 = 1 et interdéciles 7 − 4 = 3 de cette série.

4) Préciser le mode de cette série statistique. 5

Exercice 2 :

Le tableau suivant indique le prix et le nombre de petits déjeuners servis pendant une saison touristique dans plusieurs hôtels auvergnats :

Prix du petit déjeuner (en €) [0 ; 5[ [5 ; 7[ [7 ; 9[ [9 ; 11[ [11; 13[ [13 ; 20[

Nombre de petits déjeuners 150 450 275 175 100 50

Amplitude 5 2 2 2 2 7

Densité 30 225 137,5 87,5 50 7,14

Centre des classes xi 2,5 6 8 10 12 16,5

ni xi 375 2700 2200 1750 1200 825

1) Déterminer les amplitudes des classes puis les densités.

2) Représenter cette situation à l’aide d’un histogramme.

Puissance

fiscale (CV) Effectif Fréquence ni xi ni(xi)² FCC

4 5 6 7 8 9

39 57 35 15 7 7

0,24375 0,35625 0,21875 0,09375 0,04375 0,04375

156 285 210 105 56 63

624 1425 1260 735 448 567

0,24375 0,6 0,81875

0,9125 0,95625

1

TOTAL : 160 1 875 5 059

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 2 3) Déterminer la classe modale. [5 ; 7[ (densité la plus grande)

4) Déterminer la classe médiane puis estimer la médiane par interpolation linéaire.

On trouve directement 7 (pas d’interpolation linéaire nécessaire ici) 5) Peut-on déterminer le prix moyen ? oui !

̅ =9050

1200≈ 7,54 Exercice 3 :

Les graphiques ci-dessous sont des histogrammes représentant la distribution de quatre variables continues (I, II, III, IV) sur des échantillons de 120 individus. À votre avis, laquelle de ces variables a :

• la plus grande variance ? III

• la plus grande moyenne ? III

• le plus petit écart-type ? IV

• laquelle ne suit pas une distribution « normale » ? I

Exercice 4 : Distribution des ménages français selon le nombre de personnes dans le ménage (en %) :

1 personne 30 30

2 personnes 31 61

3 personnes 18 79

4 personnes 15 94

5 personnes 4 98

6 personnes 1 99

7 personnes 1 100

̅ =239

100= 2,39, =741

100− 2,39 ≈ 1,6979 ≈ 1,303 = 1, = 2, = 3, = 1 et = 4

Etendue : 7 − 1 = 6, intervalle interquartile 3 − 1 = 2 et interdécile 4 − 1 = 3.

mode de cette série statistique : 2

Exercice 5 :

Les graphiques intitulés A sont des histogrammes, ceux intitulés B sont des boîtes à moustaches, ceux notés C sont des courbes de fréquences cumulées, et enfin les graphiques D représentent les valeurs observées dans l’ordre de leur apparition.

A1 correspond à B4, C2, et D1.

A2 correspond à B2 , C5, et D5.

A3 correspond à B3, C4, et D4.

A4 correspond à B1 , C1, et D2.

A5 correspond à B5 , C3, et D3.

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 3 Exercice 6 :

Une machine conditionne des paquets d’additif pour ciment. On a prélevé aléatoirement 80 sachets sortis de cette machine la même matinée, et mesuré leur masse en grammes. Les résultats

intermédiaires vous sont fournis ainsi :

∑ %_&& = 79 891 ; ∑ %_&& = 79 856 983 ; min() = 926 ; max() = 1093

1) Dans cette expérience, quelle est la population échantillonnée ? L’ensemble de la production.

2) Calculez à partir des informations données, la moyenne, la variance et l'écart-type des poids dans l’échantillon.

̅ =∑ %_&&

' = 79 891

80 = 998,6375 ( )*+ =∑ %_&&

' − ̅ =79 856 983

80 − 998,6375 = 935,41 )*+ = ,935,41 ≈ 30,858 (

3) On vous donne ensuite les données ainsi regroupées en classes :

Classes Effectifs ni amplitude de la classe ai fi Fi hi = fi/ ai

[926 ; 955g[ 7 955-926 = 29 7/80 = 0,0875 0,0875 0,00302

[955 ; 970[ 5 15 0,0625 0,15 0,0042

[970 ; 985[ 14 15 0,175 0,325 0,0117

[985 ; 1000[ 15 15 0,1875 0,5125 0,0125

[1000 ; 1015[ 12 15 0,15 0,6625 0,0100

[1015 ; 1030[ 14 15 0,175 0,8375 0,0117

[1030 ; 1055[ 11 25 0,1375 0,975 0,0055

1055 ou plus… 2 1093-1055 = 38 0,025 1 0,0007

3.1- Représentez graphiquement ces données de deux manières différentes.

HISTOGRAMME AVEC CLASSES D’AMPLITUDES INEGALES :

900 950 1000 1050 1100

MASSE DES SACHETS EN GRAMMES 5

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 4 COURBE DES FREQ CUMULEES

3.2- Déterminer la classe modale et les quartiles dans ces données.

CLASSE MODALE = [985 ;1000[

QUARTILES DETERMINES PAR INTERPOLATION LINEAIRE : Q1/4 = 970 +15 ^{,- ,} _, ≃ 978,57 (

Q1/2 = 985+15 ^{,- ,} _, = 999(

Q3/4 = 1015+15 ^{,- ,} _, = 1022,5 (

3.3- Que pouvez-vous conclure des positions respectives des indicateurs mode, médiane, moyenne ? Ils sont proches. La distribution est plutôt symétrique.

Exercice 7 :

Les performances en saut en longueur de 40 élèves de l’INSEP sont les suivantes :

481 619 632 587 476 500 490 555 470 616

565 528 507 625 501 582 556 574 492 601

670 532 533 505 555 584 539 594 524 470

560 537 569 600 613 485 605 650 501 517

On donne : ∑ %_&& = 22 100 ; ∑ %_&& = 12 323 348 1. De quel type est cette variable ? Quelle est son unité ?

C’est une variable quantitative continue ; l’unité est de toute évidence le cm.

2. Quelles sont, exprimées dans cette unité, la moyenne, l’écart-type, la médiane, l’intervalle interquartiles de cette distribution ?

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

900 950 1000 1050 1100

FREQUENCE CUMULEE DES SACHETS

MASSE DES SACHETS EN GRAMMES

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 5

̅ =∑ %_&&

' = 22 100

40 = 552,5 /0 )*+ =∑ %_&&

' − ̅ =12 323 348

40 − 552,5 = 2 827,45 )*+ = ,2 827,45 ≈ 53,17 (

L’effectif est 40, il est pait, on cherche les 20^ème et 21^ème valeurs.

En rangeant les valeurs dans l’ordre croissant, on cherche la 20^ème te le 21^ème valeur qui sont toutes deux égales à 555, la médiane est donc égale à 555.

Pour déterminer les quartiles, on divise l’effectif en 4.

La 10^ème valeur est 501 donc = 501 La 30^ème valeur est 594 donc = 594 L’intervalle interquartiles : [501; 594]

3. Représenter graphiquement cette distribution.

Représenter un diagramme en bâtons n’est pas très judicieux car la série comporte trop de valeurs différentes. Un histogramme paraît adapté, pour cela, il faut choisir des classes : le minimum est 470 et le maximum 670, l’étendue est donc de 200, 8 classes d’amplitudes 25 sont à envisager.

Classes Effectifs ni

[470 ; 495[ 7

[495 ; 520[ 6

[520 ; 545[ 6

[545 ; 570[ 6

[570 ; 595[ 6

[595 ; 620[ 6

[620 ; 645[ 2

645 ou plus… 2

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 6 Exercice 8 :

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d’euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 2007 à 2015.

Année 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Rang de l’année xⁱ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Dépense yi 398 451 423 501 673 956 1077 1255 1427 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi).

2. a) Écrire une équation de la droite d’ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3). Représenter D dans le repère précédent.

On obtient 4 = 138,18 + 242,93

b) En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d’euros) en produits informatiques en 2017 (rang 10)

4 = 138,18 × 10 + 242,93 ≈ 1 625

On estime à 1 milliard 625 millions la dépense des ménages en 2017.

3. L’allure du nuage permet d’envisager un ajustement exponentiel.

On pose zi = ln yi.

a) Recopier et compléter le tableau suivant où zi est arrondi à 10^-3 :

xⁱ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

zi 5,986 6,111 6,047 6,217 6,512 6,863 6,982 7,135 7,263

y = 138,18x + 242,93

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 7 b) Écrire une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3).

D’après Excel, on obtient 7 = 0,1782 + 5,4992

c) En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d’euros) en produits informatiques en 2017.

7 = 0,1782 × 10 + 5,8556 = or 7 = ln 4 donc 4 = ^,≈ 2 075

4. En 2017, les ménages ont dépensé 68,9 milliards d’euros pour la culture, les loisirs et les sports et 3,1% de ces dépenses concernent les produits informatiques.

68,9 × 3,1

100= 2,1359 milliards = 2 136 millions

Avec lequel des deux ajustements l’estimation faite est-elle la meilleure ?

Il est clair que la meilleure estimation est celle provenant de l’ajustement exponentiel.

Exercice 9 : Le but du problème est de déterminer le prix d’équilibre d’un produit. (On rappelle que le prix d’équilibre d’un produit est obtenu lorsque l’offre et la demande sont égales.) Une étude faite sur un produit a donné les résultats suivants (le prix au kilogramme est exprimé en euros et les quantités offre et demande sont exprimées en milliers de kilogrammes).

Prix proposé xi 0,30 0,35 0,45 0,65 0,80 1 Demande yi 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25

Offre zi 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60

Tous les résultats numériques seront donnés en valeur décimale arrondies à 10^-2 près.

1. Représenter sur un même graphique les nuages de points associés respectivement aux séries statistiques (xi ; yi) et (xi ; zi).

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Demande yi Offre zi

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 5 corrigé Page 8 2. Étude de la demande

La forme du nuage de points associé à la série (xⁱ ; yⁱ) permet d’envisager un ajustement exponentiel de y en x. On pose donc Yⁱ = ln yⁱ.

a) Donner une équation de la droite des moindres carrés du nuage de points associé à la série (xi ; Yi).

On obtient la droite d’équation A = −1,414 + 2,077

b) En déduire, en utilisant l’égalité Y = ln y, une estimation de la demande y en fonction du prix x au kilogramme.

ln 4 = −1,414 + 2,077 ⇔ 4 = ^-,CCDE, = ^, × ^-,CCD ≈ 7,98 × 0,243^D 3. Étude de l’offre

La forme du nuage de points associé à la série (xⁱ ; zⁱ) permet d’envisager un ajustement affine.

Donner une équation de la droite des moindres carrés du nuage de points associé à cette série (xi ; zi).

On obtient la droite d’équation 7 = 0,5326 + 1,1015 4. Étude graphique du prix d’équilibre

On considère, dans la suite du problème, que la demande et l’offre sont respectivement formalisées par les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0;2] par : F)+ = ^{-,CD E ,} et ()+ = 0,53 + 1,1.

a) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2] et dresser son tableau de variation.

F est décroissante (dérivée négative)

b) Sur le graphique du 1., tracer les courbes représentatives des fonctions f et g.

c) Déterminer graphiquement le prix d’équilibre du produit.

Le prix d’équilibre est de 1,10 €.