2 e Contrôle sur les coordonnées
Dans tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
On prendra un centimètre ou un « gros » carreau pour unité graphique.
I.
Placer sur un graphique les points A(– 5 ; 3), B(– 4 ; – 1), C(1 ; – 4).
1°) Calculer les coordonnées du point E milieu de [AC].
2°) Déterminer par le calcul les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
II.
Placer sur un graphique les points A(3 ; 4), B(– 1 ; 7), C(– 1 ; 3).
1°) Calculer AB et AO. En déduire la nature du triangle AOB.
2°) Calculer AC. Le point A est-il situé sur le cercle de centre C de rayon 4 ?
III.
Placer sur un graphique les points A(3 ; 5), B(– 3 ; 1), C(5 ; – 4,5).
1°) Calculer les distances AC et BC.
2°) En déduire la nature du triangle ABC
3°) Calculer les coordonnées du milieu E de [AB].
4°) On note D le symétrique de C par rapport à E.
Calculer les coordonnées du point D.
5°) Démontrer que le triangle EAC est un triangle rectangle en E.
6°) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Corrigé du contrôle
I. A(– 5 ; 3), B(– 4 ; – 1), C(1 ; – 4)
O I
J
x y
A
B
C
1°) Calcul des coordonnées du point E milieu de [AC].
E
E
5 1 2 3 4
2 x y
E
E
2 1 2 x
y
Donc E a pour coordonnées 1 2 ; 2
.
2°) Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu E.
B D
E
B D
E
2 2
x x
x
y y
y
D
D
2 4
2 1 1
2 2
x y
D D
4 4 1 1
x y
D D
0 0 x y
Donc D a pour coordonnées (0 ; 0).
Le point D est donc confondu avec le point O.
II. A(3 ; 4) B(– 1 ; 7) C(– 1 ; 3)
O I
J
x y
A B
C
3 4
7
1°)
2 2
B A B A
2 2
AB
AB 1 3 7 4
AB 16 9
AB 25
AB 5
x x y y
2 2
O A O A
2 2
AO
AO 0 3 0 4
AO 9 16
AO 25
AO 5
x x y y
Donc AOAB donc AOB est isocèle en A.
– 1
2°)
Calcul de AC
2 2
C A C A
2 2
2 2
AC
AC 1 3 3 4
AC 4 1
AC 16 1
AC 17
x x y y
AC4 donc le point A n’est pas situé sur le cercle de centre C et de rayon 4.
III.
O I
J
x y
A
C B
D
3
5 5
E 3
– 3 – 5
21 2 – 1
9
2
1°)
2 2
2 2
BC 3 5 1 9
2 BC 8 11
2 BC 64 121
4 BC 377
4
2 2
2 2
AC 3 5 5 9
2 AC 3 5 19
2 AC 4 361
4 AC 377
4
2°) On a : BCAC donc ABC est isocèle en C
3°) Calculons les coordonnées du milieu E de [AB].
A B
E
A B
E
2 2
x x
x
y y
y
E
E
3 3 2 1 5
2 x y
E E
0 3 x y
E a pour coordonnées (0 ; 3).
4°) D est le symétrique de C par rapport à E donc E est le milieu de [CD] donc :
C D
E
C D
E
2 2
x x
x
y y
y
D
D
0 5 2 9 3 2
2 x
y
D
D
0 5 2 6 9
2 x
y
D
D
5 21 2 x y
Donc D a pour coordonnées 21 5 ; 2
.
5°) Démontrons que EAC est un triangle rectangle en E.
Calcul de AE : 2
2 2 2
2 2
AE (3 0) (3 5) AE 9 4
AE 13
Calcul de EC : 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
EC 0 5 3 9 2 EC 0 5 3 9
2 EC 5 15
2 EC 25 225
4 EC 325
4
Or AC2 377
4 .
On a : AE2 EC2 13 325 52 325 377
4 4 4
.
Donc AC2 EC2AE2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, AEC est rectangle en E.
6°) Le triangle EAC est rectangle en E donc (EA) est perpendiculaire à (EC).
De plus, [AB] et [DC] ont le même milieu.
Donc ABCD est un losange.
