C ONTROLE DE Spécialité Mathématiques

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28/01/2021

C ONTROLE DE Spécialité Mathématiques

EXERCICE 1

Soit le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 et les points 𝐼, 𝐽 et 𝐾 définis par : 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ = ¹

3 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐽⃗⃗⃗⃗ = ¹

2 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁵ 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 1) Exprimer le vecteur IJ⃗⃗ en fonction des vecteurs 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .

2) Même question avec le vecteur 𝐽𝐾⃗⃗⃗⃗ .

3) Les points 𝐼, 𝐽 et 𝐾 sont-ils alignés ? Justifier.

E^XERCICE 2

Soit 𝐴(1 ; 0 ; −1), 𝐵(2 ; 1 ; 2), 𝐶(1 ; 0 ; 1) et 𝐷(3 ; 2 ; 7).

1) Démontrer que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

2) Les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont-ils coplanaires ? EXERCICE 3

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (𝑑₁) passant par le point 𝐴(0 ; 2 ; −1) et de vecteur directeur 𝑢⃗ (

2

−1 3

).

2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (𝑑₂) passant par les points 𝐵(2 ; 1 ; 3) et 𝐶(−1 ; 4 ; 5).

3) Les points 𝐷(−10 ; 13 ; 11) et 𝐸(2 ; 0 ; −1) appartiennent-ils à la droite (𝑑₂) ? Justifier.

4) Les droites (𝑑₁) et (𝑑₂) sont-elles sécantes ? Justifier.

E^XERCICE 4

Soit le plan (𝑃) {

𝑥 = 1 + 𝑡 + 𝑡′

𝑦 = −2 + 𝑡 − 𝑡′

𝑧 = 2 − 𝑡 + 𝑡′

, 𝑡 ∈ ℝ, 𝑡′ ∈ ℝ et la droite (𝐷) {

𝑥 = 1 + 5𝑡′′

𝑦 = −𝑡′′

𝑧 = 2 + 𝑡′′

, 𝑡′′ ∈ ℝ.

1) Déterminer les coordonnées de 𝑢⃗ et 𝑣 , deux vecteurs directeurs du plan (𝑃).

2) Montrer que 𝑤⃗⃗ ( 5

−1 1

), 𝑢⃗ et 𝑣 sont coplanaires.

3) En déduire la position relative du plan (𝑃) et de la droite (𝐷).

OBJECTIFS :REPRESENTATION PARAMETRIQUE DANS L’ESPACE ET ÉTUDES DE FONCTIONS DERIVATION ET CONTINUITE.

CALCULATRICE AUTORISEE (OUF !!!)

4 pts

3 pts

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4 pts

2 EXERCICE 5

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = (𝑥² −5

2𝑥 + 1) 𝑒^𝑥. 1) On note 𝑓′ la dérivée de la fonction 𝑓.

a) Calculer 𝑓′(𝑥).

b) Etudier le signe de 𝑓′(𝑥) en fonction des valeurs de 𝑥.

c) Dresser le tableau des variations de 𝑓.

2) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 40 admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [2; 3].

A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10⁻² près de 𝛼.

EXERCICE 6

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥²𝑒^𝑥−1−𝑥²

2.

Le graphique ci-contre est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

Conjecture :

A l’observation de cette courbe, quelle conjecture pensez-vous pouvoir faire concernant le sens de variation de 𝑓 sur [−3 ; 2] ?

Preuve de la Conjecture

1) Calculer 𝑓^′(𝑥) pour tout réel 𝑥, et exprimer à l’aide de l’expression 𝑔(𝑥) où 𝑔 est la fonction définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑒^𝑥−1− 1.

2) Étude du signe de 𝒈(𝒙) pour 𝒙 réel.

a) Calculer les limites de 𝑔(𝑥) quand 𝑥 tend vers +∞ puis quand 𝑥 tend vers −∞.

b) Calculer 𝑔′(𝑥) et étudier son signe suivant les valeurs de 𝑥.

c) En déduire le sens de variation de la fonction 𝑔 , puis dresser son tableau de variation.

d) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 possède une unique solution dans ℝ. On note 𝛼 cette solution. Donner un encadrement de 𝛼 à 10⁻² près.

e) Déterminer le signe de 𝑔(𝑥) suivant les valeurs de 𝑥.

3) Sens de variation de la fonction 𝑓 sur ℝ.

a) Étudier, suivant les valeurs de 𝑥 le signe de 𝑓′(𝑥).

b) En déduire le sens de variation de la fonction 𝑓.

c) Que pensez-vous de votre conjecture ?

Cosinus et Exponentielle font la fête. Cosinus boit, fume et a

une gueule de bois comme jamais le lendemain. Quand Exponentielle l'interroge sur

son comportement, Cosinus répond : "Désolé, vieux, mais je

ne connais pas mes limites !"

En ce qui vous concerne, connaissez les vôtres, et faites le

maximum… Bon courage à vous…

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