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SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
09/10/2018La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 : Les questions suivantes sont indépendantes 1) Énoncer le théorème de la division euclidienne.
2) Dans la division euclidienne de deux entiers naturels non nuls, le dividende est 89 et le reste est 13. Donner toutes les valeurs possibles du quotient et du diviseur.
3) Déterminer tous les entiers naturels qui, dans la division euclidienne par 7, donnent un quotient égal au quadruple du reste.
4) ܽ et ܾ sont deux entiers naturels non nuls. Dans la division euclidienne de ܽ par ܾ, le reste ݎ est supérieur ou égal au quotient ݍ.
Prouver que si l’on divise ܽ par ܾ + 1, on obtient le même quotient. Quel est alors le reste ?
Exercice 2 :
On souhaite déterminer les entiers naturels ݔ et ݕ tels que ሺ2ݔ + ݕሻሺ3ݔ − ݕሻ = 4
1) Montrer que si ሺ2ݔ + ݕሻሺ3ݔ − ݕሻ = 4, alors 2ݔ + ݕ et 3ݔ − ݕ sont des diviseurs de 4.
2) Conclure.
Exercice 3 :
1) On appelle diviseur strict d’un nombre entier naturel tout diviseur autre que le nombre lui-même. Déterminer les nombres entiers naturels diviseurs stricts de 220.
2) On appelle nombres amiables deux nombres entiers naturels tels que chacun d’entre eux soit égal à la somme des diviseurs stricts de l’autre. Vérifier que 220 et 284 sont amiables.
3) On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts (c’est-à- dire qu’il est amiable avec lui-même).
On admet que les nombres parfaits sont pairs.
Déterminer un nombre parfait inférieur à 10 et un autre compris entre 20 et 30.
Exercice 4 : Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel ݊ supérieur ou égal à 1, 22+ 6݊ − 1 est divisible par 9.
Exercice 5 : (Bonus : seulement s’il reste du temps)
Un entier naturel ݏ est tel que l’équation ݔଶ− ݏݔ + 2018 = 0 admette deux solutions entières.
1. Calculer la somme et le produit de ces deux racines.
2. Quelles sont les valeurs de ݏ possibles ?
