Contrôle de Spécialité de Mathématiques

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Contrôle de Spécialité de Mathématiques

12/11/2020 Calculatrice autorisée

EXERCICE 1 4,5 pts

(𝑣_𝑛) est la suite définie par 𝑣₀ = 1 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣_𝑛+1 = 0,75 𝑣_𝑛+ 2.

1) Démontrer par récurrence que la suite (𝑣_𝑛) est majorée par 8.

2) Justifier que cette suite est croissante.

3) En déduire que la suite (𝑣_𝑛) converge. Que peut-on dire de sa limite ?

EXERCICE 2 0,5 pt

Soit deux ensembles 𝐸 = {𝑎 ; 𝑏} et 𝐹 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Déterminer le nombre d’éléments de 𝐸 ∪ 𝐹 puis de 𝐸 × 𝐹.

EXERCICE 3 0,5 pt

Un restaurant propose un menu « Plat – Dessert ». Un client, qui décide de prendre ce menu, doit choisir un plat parmi les trois viandes et les deux poissons proposés, puis un dessert parmi les quatre desserts proposés. Déterminer le nombre de choix différents permettant de construire son menu.

Les numéros de téléphone commençant par 06 sont constitués du couple (0 ; 6) que l’on complète par un 8-uplet de l’ensemble 𝐸 = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}.

1) Déterminer le nombre de numéros de téléphone possibles commençant par 06.

2) Combien de numéros de téléphone commençant par 06 et 07 sont possibles ?

Pour sécuriser son compte sur un site internet, Emma doit créer un mot de passe composé de 7 lettres, uniquement avec les 26 lettres de l’alphabet (pas de caractère spécial, pas de chiffre). Sa copine Fanny lui demande : « Combien de mots de passe différents peux-tu créer ? ».

Quelle sera la réponse d’Emma ? NOM :

PRENOM :

Petite Blagounette….

Bon courage !!!

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EXERCICE 6 3 pts

Dans le championnat de France de rugby, composé de 14 équipes et appelé TOP 14, les six premières équipes qui ont le plus de points à la fin des matches aller-retour (phase régulière) passent à la deuxième phase du championnat.

1) a) Combien de classements composés des 6 équipes qui atteignent la deuxième phase sont possibles ?

b) Lors de la saison 2018-2019, c’est le Stade Toulousain qui a fini premier de la phase régulière.

Combien de classements composés des six premières équipes de cette phase régulière étaient alors possibles avec le Stade Toulousain en tête ?

2) a) Combien de classements des 14 équipes de la première phase du TOP 14 sont possibles ? b) Lors de la saison 2018-2019, le Stade Toulousain a fini premier de la phase régulière suivi de Clermont-Ferrand.

Combien de classements de ce championnat sont alors possibles avec ces deux équipes positionnées respectivement première et deuxième ?

On dispose d’un jeu de 32 cartes, toutes différentes. Une « main » de 4 cartes est un ensemble de 4 cartes dont l’ordre n’importe pas.

a) Combien de « mains » de 4 cartes peut-on alors former ?

b) On tire simultanément 4 cartes au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir les 4 as ?

Dix amis, dont Hugo et Kylian, se partagent au hasard en deux équipes de 5 pour faire un match de jorki (ou football à 5).

a) Combien d’équipes comportant Hugo et Kylian peut-on former ?

b) Si les équipes sont composés au hasard, quelle est la probabilité qu’Hugo et Kylian soient ensemble ? En donner l’arrondi à 10⁻² près.

Pour accéder à un compte sur un site internet, un utilisateur doit saisir un mot de passe contenant deux lettres et 3 chiffres. Dans chacun des cas, déterminer le nombre de mots de passe :

a) Lorsque le mot de passe commence par deux lettres.

b) Lorsque le mot de passe commence par les deux lettres et que les caractères sont tous différents.

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Entourer la bonne réponse sur le sujet.

QUESTIONS A B C D

Pour les questions 1) à 5), on considère les ensembles 𝑬 = {𝒂 ; 𝒃 ; 𝒄 ; 𝒅 ; 𝒆} et 𝑭 = {𝒑 ; 𝒒 ; 𝒓}.

1) 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑬) = ⋯ ¹ ⁵ ⁰ ²⁵

2) 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑬 ∪ 𝑭) = ⋯ ⁰ ¹⁵ ⁵³ ⁸

3) 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑬 × 𝑭) = ⋯ ¹⁵ ⁵³ ³⁵ ⁸

4) 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑬^𝟒) = ⋯ ⁴ ⁵⁴ ⁴⁵ ²⁰

5) (𝒓 ; 𝒂 ; 𝒑) est un élément

de : ^𝐸

3 𝐸 × 𝐸 × 𝐹 𝐹³ 𝐹 × 𝐸 × 𝐹

Pour les questions 6) et 7), un sac contient 5 jetons blancs et 5 jetons noirs.

6) On tire deux jetons l’un après l’autre en notant leur couleur. L’univers de cette expérience est 𝛀 = ⋯

{𝑁𝑁 ; 𝑁𝐵 ; 𝐵𝑁 ; 𝐵𝐵} {𝑁 ; 𝐵} {𝑁𝑁 ; 𝑁𝐵 ; 𝐵𝐵} {𝐵𝑁 ; 𝐵𝐵 ; 𝑁𝑁}

7) On tire deux jetons d’un coup en notant leur couleur. L’univers de cette expérience est 𝛀 =

⋯

{𝑁𝑁 ; 𝑁𝐵 ; 𝐵𝑁 ; 𝐵𝐵} {𝑁 ; 𝐵} {𝑁𝑁 ; 𝑁𝐵 ; 𝐵𝐵} {𝑁𝐵}

Pour les questions 8) et 9), une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8 et indiscernables au toucher.

8) On tire successivement et avec remise 3 boules dans l’urne. Le nombre de tirages possibles est :

8³ 336 3⁸ 24

9) On tire successivement et sans remise 3 boules dans l’urne. Le nombre de tirages possibles est :

8³ 336 3⁸ 24

Pour les questions de 10) à 12), 𝑨 est l’ensemble des 𝟐𝟔 lettres de l’alphabet.

10) Le nombre de 5-

uplets de 𝑨 est : ²⁶⁵ ⁽

26

5) 5 × 26 26!

21!

11) Le nombre de 5-

uplets distincts de 𝑨 est : ²⁶

5 (26

5) 5 × 26 26!

21!

12) Le nombre de

permutations de 𝑨 est : 457 281 728 2²⁶ (26

5) 26!

Pour les questions 13) et 14), on considère l’ensemble 𝑮 = {𝟎 ; 𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ; 𝟓 ; 𝟔 ; 𝟕 ; 𝟖 ; 𝟗}.

13) Le nombre de sous- ensembles de 𝑮

possédant 3 éléments est :

(10

3) 10! 92 3¹⁰

14) Le nombre de combinaisons de 5 éléments de 𝑮 est : :

10!

5! (5

10) 10⁵ 252

Pour les questions 15) et 16), répondre aux questions posées.

15) (^𝟐𝟑_𝟓) = ⋯ (5

23) (18

5) (23

18) 23 × 5

16) Si

𝑩 = {𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ; 𝟓},

alors le nombre de sous- ensembles de 𝑩 est :

5 6 2⁵ 5²