C ONTROLE DE M ATHEMATIQUES DE Term S

17/10/2018 ATTENTION : La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation.

4 pts

2,5 pts 3 pts 2 pts 2 pts 2 pts

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C

M

Term S

EXERCICE 1

1) a) Montrer que 𝟐𝟎𝟏𝟑 est congru à 𝟒 modulo 𝟕.

b) Déterminer le plus petit entier naturel 𝒏 congru à 𝟐𝟎𝟏𝟒 modulo 𝟕.

2) Soit 𝒏 un nombre entier naturel congru à 𝟓 modulo 𝟕.

a) Déterminer un nombre entier naturel congru à 𝒏^𝟑 modulo 𝟕.

b) En déduire que 𝒏^𝟑+ 𝟏 est divisible par 𝟕.

3) Montrer que si 𝒏 ≡ 𝟒 (𝟕) alors 𝒏^𝟑− 𝟏 est divisible par 𝟕.

4) On considère le nombre 𝑨 = 𝟐 𝟎𝟏𝟑^𝟑+ 𝟐 𝟎𝟏𝟒^𝟑.

En utilisant les questions précédentes, et sans calculer 𝑨, montrer que 𝑨 est divisible par 𝟕.

EXERCICE 2

Démontrer que 2^4𝑛+1+ 3^4𝑛+1 est divisible par 5 quel que soit l’entier naturel 𝑛.

EXERCICE 3

Trouver tous les couples d’entiers relatifs tels que 𝒂^𝟐− 𝟒𝒃^𝟐= 𝟐𝟎.

EXERCICE 4

Démontrer que pour tout 𝒂 ∈ ℤ, le nombre 𝒂(𝒂^𝟐− 𝟏) est un multiple de 𝟔.

EXERCICE 5

Déterminer l’ensemble des entiers relatifs 𝒏 tels que 𝒏 − 𝟑 divise 𝟐𝒏 + 𝟏.

EXERCICE 6

1) Quel est le reste de la division euclidienne de 𝟔^𝟗𝟒𝟑 par 𝟕 ?

2) Quel est le reste de la division euclidienne de 𝟐𝟒𝟕^𝟑𝟒𝟗 par 𝟕 ? (penser à 𝟐^𝟑≡ 𝟏 (𝟕)) EXERCICE 7

1) Prouver que 𝟑^𝟑𝒏≡ 𝟏 (𝟏𝟑).

2) Démontrer que pour tout entier naturel 𝒏, 𝟑^{𝟔𝒏+𝟐}+ 𝟑^{𝟑𝒏+𝟏}+ 𝟏 est un multiple de 𝟏𝟑.

EXERCICE 8

1) Compléter le tableau des restes dans la congruence modulo 𝟓.

2) En déduire que l’équation 𝒙^𝟐− 𝟓𝒚^𝟐= 𝟑, avec 𝒙 et 𝒚 entiers naturels, n’a pas de solution.

La Devise de la Spécialité Mathématiques : « Qui pense peu se trompe beaucoup !!! »…

Alors au travail afin de montrer votre spécialité. Bon courage !