10/11/2015 ATTENTION : La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation.
3 pts
3 pts 2 pts 2 pts 2 pts
3 pts
C
ONTROLE DEM
ATHEMATIQUES DETerm S
SPECIALITEEXERCICE 1
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.
Proposition 1 : Le reste de la division euclidienne de 𝟐𝟎𝟏𝟏𝟐𝟎𝟏𝟏 par 𝟕 est 2.
Proposition 2 : 𝟏𝟏𝟐𝟎𝟏𝟏 est congru à 𝟒 modulo 𝟕.
Proposition 3 : "𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟑 ≡ 𝟎 (𝟓) si et seulement si 𝒙 ≡ 𝟏 (𝟓)".
EXERCICE 2
Déterminer tous les entiers naturels 𝒙 et 𝒚 tels que 𝒙𝟐− 𝒚𝟐 = 𝟏𝟓.
EXERCICE 3
Déterminer tous les entiers naturels 𝒏 tels que 𝒏 − 𝟐 divise 𝒏 + 𝟓.
EXERCICE 4
Déterminer le reste de la division euclidienne de 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎 par 𝟏𝟑.
EXERCICE 5
Soit 𝒏 un entier naturel, montrer que 𝒏(𝒏𝟐+ 𝟓) est 1) pair 2) divisible par 3.
EXERCICE 6
Trouver les restes de la division euclidienne par 7 des nombres : 𝟑𝟓𝟏𝟏𝟐× 𝟖𝟓𝟏𝟓 et 𝟏𝟔𝟏𝟐− 𝟐𝟑𝟏𝟐.
5 pts
EXERCICE 7
On considère l’équation (𝑬) ∶ 𝟏𝟏𝒙𝟐− 𝟕𝒚𝟐= 𝟓 où 𝒙 et 𝒚 sont des entiers relatifs.
1) Démontrer que si le couple (𝒙 ; 𝒚) est solution de (𝑬), alors 𝒙𝟐 ≡ 𝟐𝒚𝟐 (𝟓).
2) Soient 𝒙 et 𝒚 des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :
Modulo 5, 𝒙 est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, 𝒙𝟐 est congru à
Modulo 5, 𝒚 est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, 𝟐𝒚𝟐 est congru à
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de 𝒙𝟐 et de 𝟐𝒚𝟐 par 𝟓 ? 3) En déduire que si le couple (𝒙 ; 𝒚) est solution de (𝑬), alors 𝒙 et 𝒚 sont des multiples
de 𝟓.
« Le pessimiste se plaint du vent, l’optimiste espère qu’il va changer, le réaliste ajuste ses voiles. »
disait Gilbert de Motier de La Fayette.
J’espère que de votre côté, vous les avez ajustés…
Bon courage !!!
