DS de Mathématiques de Spécialité
Exercice 1
Le nombre 𝐴 = 13051305+ 900900 est-il divisible par 29 ? Justifier.
Exercice 2
1) ROC : on considère des entiers relatifs 𝑎 et 𝑏 et un entier naturel non nul 𝑛.
Démontrer que si 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑛) alors pour tout entier naturel 𝑝 ≥ 1, 𝑎𝑝 ≡ 𝑏𝑝 (𝑛).
2) Pour 𝑛 ∈ ℕ tel que 0 ≤ 𝑛 ≤ 6, déterminer le reste de la division euclidienne de 3𝑛 par 7.
3) Démontrer que pour tout entier naturel 𝑛, l’entier 3𝑛+6 − 3𝑛 est divisible par 7.
Que peut-on en déduire pour les restes de la division euclidienne de 3𝑛+6− 3𝑛 par 7 ? 4) A l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 32012 par 7.
Exercice 3
On considère la suite d’entiers naturels (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = 14 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+1 = 5 𝑢𝑛− 6.
1) Calculer les cinq premiers termes de la suite puis faire une conjecture sur les deux derniers chiffres de 𝑢𝑛.
2) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+2 ≡ 𝑢𝑛 (4).
En déduire que, pour tout entier naturel 𝑘, 𝑢2𝑘 ≡ 2 (4) et 𝑢2𝑘+1 ≡ 0 (4).
3) a) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, on a 2 𝑢𝑛 = 5𝑛+2+ 3.
N.B : On pourra faire un raisonnement par récurrence ou utiliser la suite définie par 𝒗𝒏 = 𝟐 𝒖𝒏− 𝟑.
b) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, 2 𝑢𝑛 ≡ 28 (100).
4) Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de 𝑢𝑛 suivant les valeurs de 𝑛.
N.B : Dans les deux dernières questions, on pourra utiliser le fait que 𝟓𝒏− 𝟏 est divisible par 𝟓 − 𝟏, d’une manière générale, 𝒙𝒏− 𝟏 est divisible par 𝒙 − 𝟏 pour 𝒙 et 𝒏 entiers.
7 pts
10 pts 3 pts
Modulo des erreurs vous devriez avoir une bonne note… enfin une note comprise entre l’élément neutre de l’addition et une note synonyme d’un breuvage dont il ne faut pas abuser… Bon courage !!!
2525/11/2015
