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SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
Pour le 05/10/2018La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 : Un nombre entier a pour reste 35 dans la division par 69.
Dans la division par 75, il a le même quotient et pour reste 17.
Quel est ce nombre ?
Exercice 2 : ܽ et ܾ désignent deux entiers relatifs non nuls.
1) Développer ሺܽ + ܾሻଷ.
2) Démontrer que 3 divise ܽଷ+ ܾଷ si et seulement si 3 divise ሺܽ + ܾሻଷ.
Exercice 3 : Soit ݊ un entier naturel.
On pose : ݂ሺ݊ሻ = ሺ݊ − 11ሻሺ݊ − 22ሻሺ݊ − 33ሻሺ݊ − 44ሻሺ݊ − 55ሻ Établir que ݂ሺ݊ሻ est un multiple de 5 pour tout entier naturel ݊.
(On évitera tout développement fastidieux… Mais on pourra raisonner par disjonction des cas)
Exercice 4 :
Soit ݊ un entier naturel non nul. On considère les deux entiers ܽ et ܾ définis par :
ܽ = 2݊²+ 7݊ + 12 et ܾ = 2݊ + 1
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de ܽ par ܾ suivant les valeurs de ݊.
Exercice 5 : Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel ݊ supérieur ou égal à 1, 4ସାଶ − 3ାଷ est divisible par 11.
Exercice 6 : (facultatif)
Multiplication dite « du paysan » ou « comment multiplier deux nombres sans calculatrice en n’utilisant que la table de multiplication par 2 ? »
Pour calculer 21 × 23, on effectue les calculs ci-contre qui donnent pour résultat : 21 × 23 = 483
1) Expliquer comment a été formée la colonne de gauche à partir du nombre 21. Et celle de droite à partir de 23 ?
Quelle caractéristique particulière ont les lignes qui ont été barrées ? 2) Appliquer le même procédé pour calculer un produit de votre choix.
3) Écrire 21 comme une somme de puissances de 2 et expliquer le procédé de multiplication mis en œuvre.
21 10 5 2 1
23
46 92 184 368
483
