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Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 4

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Academic year: 2022

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Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 A

4

− exe

Une municipalité envisage l'aménagement d'un plan d'eau artificiel.

Dans le projet, ce plan d'eau devra contenir 30000 m

3

le 1

er

juillet.

On estime qu'en période estivale les pertes hydriques dues à l'évaporation sont de 2 % par jour. Pour les compenser, on prévoit durant les mois d'été un apport, pendant chaque nuit, de 500 m

3

.

Le problème est de savoir si les apports prévus pendant les mois de juillet et août seront suffisants pour que le volume ne descende pas en dessous de la valeur critique de 27 000 m

3

.

1) On note V

n

le volume d'eau en m

3

contenu dans le plan d'eau, selon ce projet, au matin du n

e

jour qui suit le 1

er

juillet.

V

0

désigne le volume au matin du 1

er

juillet, on a donc :

V

0

= 30 000 au matin du 1

er

juillet V

1

désigne le volume au matin du 2 juillet V

2

désigne le volume au matin du 3 juillet

etc.

a) Calculer V

1

, V

2

et V

3

.

b) Exprimer V

n+1

en fonction de V

n

.

2) On définit une suite ( U

n

) en posant, pour tout entier naturel n : U

n

= V

n

− 25000

a) Montrer que ( U

n

) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire l'expression explicite de U

n

puis que pour tout entier naturel n , on a : V

n

= 5000 × 0,98

n

+ 25000.

2) a) Calculer 0,98

n

pour n = 5, pour n = 10, pour n = 100, pour n = 200 et pour n = 1000.

b) Que se passe-t-il pour V

n

si n tend vers l'infini ?

c) A l’aide de la calculatrice déterminer à partir de quelle valeur n on a : V

n

< 27 000 ?

En déduire la réponse au problème posé en introduction.

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