TS
SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
09/11/2018
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Les trois parties suivantes sont indépendantes
Partie 1 :
1) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2018 par11.
2) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2ଵ par 11.
3) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2ଶଵ଼+ 2018 par 11.
Partie 2 :
1) a) Démontrer que pour tout nombre entier naturel ݇ on a : 2ଷ ≡ 1(modulo 7).
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 2ଶଵ଼ par 7 ?
2) Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec ܽ ≠ 0.
On considère le nombre ܰ = ܽ × 10ଷ+ ܾ.
On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme ܰ = ܽ00ܾ.
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels ܰ ceux qui sont divisibles par 7.
a) Vérifier que 10ଷ ≡ −1(modulo 7).
b) En déduire tous les nombres entiers ܰ cherchés.
Partie 3 :
On considère l’équation (F) : 81ݔଶ = ݕଶ+ 17
Montrer qu’il existe un unique couple d’entiers naturels (ݔ; ݕ) solution de (F).
