Existence de filtrations admissibles sur des isocristaux

(1)

EXISTENCE DE FILTRATIONS ADMISSIBLES SUR DES ISOCRISTAUX

par Jean-Marc Fontaine & Michael Rapoport

R´esum´e. — Soit (D, ϕ) un isocristal devecteur de Newtonν ∈(Q^d)+. On associe

`

a une filtrationF^• deD sonvecteur de Hodgeµ(F^•)∈(Z^d)+. SiF^• estadmissible (i.e. (D, ϕ,F^•) est faiblement admissible en tant qu’isocristal filtr´e), alorsµ(F^•)≥ν.

Réciproquement, on démontre qu’étant donnéµ ∈ (Z^d)+ avec µ≥ ν, il existe une filtration admissibleF^• deD avecµ=µ(F^•). On en déduit, à l’aide d’un théorème de Laffaille, l’existence d’un réseauM dansDde typeµ. On donne aussi une variante pour un groupe quasi-déployé quelconque.

Abstract (Existence of admissible filtrations on isocrystals). — Let (D, ϕ) be an F-isocrystal with associated Newton vectorνin (Q^d)+. To a filtrationF^•ofDis associated its Hodge vectorµ(F^•)∈(Z^d)+. IfF^•is admissible (i.e. (D, ϕ,F^•) is a weakly admissible filtered isocrystal), then µ(F^•)≥ ν. We show that, conversely, for any µ∈(Z^d)+ withµ≥ν, there exists an admissible filtrationF^• ofDwithµ=µ(F^•).

With the help of a theorem of Laffaille we deduce the existence of a latticeM inD of typeµ. We also give a variant for arbitrary quasi-split groups.

Texte re¸cu le 11 octobre 2002, accept´e le 9 mai 2003

Jean-Marc Fontaine, Institut Universitaire de France et UMR 8628 du CNRS, Université de Paris-Sud, Mathématique, Bât. 425, 91405 Orsay Cedex (France)

E-mail :fontaine@math.u-psud.fr • Url :www.math.u-psud.fr

Michael Rapoport, Mathematisches Institut der Universit¨at Bonn, Beringstr. 1, 53115 Bonn (Deutschland) • E-mail :rapoport@math.uni-bonn.de • Url :www.math.uni- bonn.de

Classification math´ematique par sujets (2000). — 14F30, 14L05.

Mots clefs. — Isocristaux, vecteur de Newton, filtrations admissibles.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATH ÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2005/73/$ 5.00 c

Société Mathématique de France

(2)

0. Énoncé des résultats

Soit F une extension finie de Q_p. Soit k un corps parfait de caractéris- tique p contenant le corps résiduel kF de F. Notons W(k) (resp. W(kF)) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k (resp. kF) et posons L=F ⊗W(kF)W(k). C’est un corps, extension finie totalement ramifiée du corps des fractions de W(k). Soient q le cardinal de kF, σ0 l’automorphisme de W(k) induit par fonctorialité par l’automorphisme x 7→ x^q sur k et σ l’automorphisme id⊗σ0 de L. Un isocristal (relativement à (F, k)) est un espace vectoriel D de dimension finie sur L, muni d’un endomorphisme ϕ bijectif etσ-linéaire. Soit

(Q^d)+=

(ν1, ν2, . . . , νd)∈Q^d;ν1≥ν2≥ · · · ≥νd .

On associe `a un isocristal (D, ϕ) de dimension d son vecteur de Newton (=

la suite des pentes avec multiplicités égales à la dimension de la composante isotypique correspondante, en ordredécroissant),ν(D, ϕ)∈(Q^d)+. Soit

(Z^d)+= (Q^d)+∩Z^d.

Soit µ = (µ1, . . . , µd) ∈ (Z^d)+. Soit F^• une filtration de D par des sous-L- espaces vectoriels, décroissante, exhaustive et séparée, indexée par Z; on dit queF^• est de type µsi

(0.1) dim gr^F_i ^•(D) = #

j;µj =i .

Autrement dit, les sauts de la filtrationF^• sont lesµj (j= 1, . . . , d) et la taille du saut en µj est donnée par la multiplicité deµj dansµ. Toute filtrationF^• a un typeµ(F^•)∈(Z^d)+ bien déterminé.

Une filtration F^• de l’isocristal (D, ϕ) de dimension d est dite admissible si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) en notant |ν|=Pd

i=1νi, pourν = (ν1, . . . , νd)∈Q^d, on a µ(F^•)

=

ν(D, ϕ) ;

(ii) soit (D⁰, ϕ⁰) un sous-isocristal de (D, ϕ) et soitF^0•la filtration induite parF^• surD⁰; on a

µ(F^0•) ≤

ν(D⁰, ϕ⁰) .

Remarques. — 1) Pour tout λ = (λ1, λ2, . . . , λd) ∈ (Q^d)+, notons P(λ) le polygone associé à λ, i.e. le polygone convexe (autrement dit, à pentes crois- santes) du plan réel d’origine (0,0) dont les pentes sont lesλj, la longueur de la projection du segment de penteλj sur l’axe des xétant égale à la multiplicité deλj dansλ. Le nombre rationnel|ν(D, ϕ)|, notétN(D) dans [3], est toujours un entier ; les points de coordonnées (0,0) et (d,|ν(D, ϕ)|) sont les extrémi- tés du polygoneP(ν(D, ϕ)) (parfois appelépolygone de Newtonde l’isocristal (D, ϕ)). De même,|µ(F^•)|est notétH(F^•) dans [3] ; les points de coordonnées

(3)

(0,0) et (d,|µ(F^•)|) sont les extrémités du polygoneP(µ(F^•)) (parfois appelé polygone de Hodgede la filtration).

2) Dans le cas oùF =Q_p, dire qu’une filtration est admissible signifie qu’elle est faiblement admissible au sens de [3]. Le résultat principal de [1] signifie qu’elle est alors également admissible au sens de [3]. SiL désigne une clôture algébrique deL, on dispose donc (loc.cit.) d’une équivalence naturelle entre la catégorie des isocristaux (relativement à (Qp, k)) munis d’une filtration admissible, et la catégorie des représentationsp-adiques cristallines de Gal(L/L).

3) Ce résultat s’étend au cas où F est une extension finie arbitraire deQp. SoitCple complété deLpour la topologiep-adique. AppelonsF-représentation de Gal(L/L) la donnée d’un F-espace vectoriel de dimension finie V muni d’une action linéaire et continue de Gal(L/L). Pour une telle représentation, notons VCp,F le noyau de l’application Cp-linéaire naturelle de Cp ⊗Q_p V dansCp⊗FV. On dispose alors d’une équivalence naturelle entre la catégorie des isocristaux (relativement à (F, k)) munis d’une filtration admissible et la sous-catégorie pleine de la catégorie des F-représentations de Gal(L/L) dont les objets sont lesV qui sont cristallines en tant que représentationsp-adiques et vérifient la condition

(*)

le Cp-espace vectoriel VCp,F est engendré par les éléments fixes par Gal(L/L).

LorsqueV provient d’un groupe formel Φ, cette dernière condition signifie que Φ est un OF-module formel (cf. par exemple, [2]). Par exemple, soit π une uniformisante de F et soit (D, ϕ) = (L, πσ) ; la seule filtration admissible est celle pour laquelle gr^F₁^•(D) 6= 0. La F-représentation de Gal(L/L) associée est de dimension 1 et c’est la duale de la restriction à Gal(L/L) de celle que fournit un groupe formel de Lubin-Tate pour F correspondant à π. Soit η : Gal(L/L)→F^× le caractère qui définit l’action du groupe de Galois. Siτ est un Qp-automorphisme non trivial de F, la F-représentation de dimension 1 définie parτ ηest encore cristalline mais elle ne vérifie pas (*).

Les remarques 2) et 3) ne seront pas utilis´ees dans la suite.

Sur (Q^d)+, on dispose de l’ordre partiel pour lequelλ≤λ⁰ si

λ1+λ2+· · ·+λr≤λ⁰₁+λ⁰₂+· · ·+λ⁰_r, pourr= 1,2, . . . , d−1, et λ1+λ2+· · ·+λd =λ⁰₁+λ⁰₂+· · ·+λ⁰_d.

Dire queλ≤λ⁰ équivaut à dire queP(λ) est au-dessus de P(λ⁰) et que ces deux polygones ont mêmes extrémités.

Théorème 1. — Supposons k algébriquement clos. Soit (D, ϕ) un isocristal de dimension d. Soit µ ∈ (Z^d)+. Pour qu’il existe une filtration faiblement admissible de type µsurD, il faut et il suffit que µ≥ν(D, ϕ).

(4)

SoitOL l’anneau des entiers deL, et soitπ∈OF une uniformisante qui est donc aussi une uniformisante de l’anneau de valuation discr`eteOL. Soit (D, ϕ) un isocristal de dimensiond. UnOL-r´eseauM deDest dit de typeµ∈(Z^d)+s’il existe une basee1, . . . , eddeM tel queπ^µ¹e1, . . . , π^µ^dedsoit une base deϕ(M).

ToutOL-réseauM a un type bien déterminé que l’on noteµ(M).

Théorème 2. — Supposons k algébriquement clos. Soit (D, ϕ) un isocristal de dimension d. Soitµ∈(Z^d)+. Alors il existe unOL-réseau de typeµdansD si et seulement si µ≥ν(D, ϕ).

D’après [3, prop. 4.3.3], la condition d’admissibilité équivaut à deman- der que P(µ(F^•)) et P(ν(D, ϕ)) ont mêmes extrémités et que, pour tout sous-isocristal (D⁰, ϕ⁰) de (D, ϕ), si F^0• est la filtration induite par F^•, alors P(µ(F^0•)) est en dessous de P(ν(D⁰, ϕ⁰)). L’implication directe du théorème 1 en résulte.

L’implication directe du théorème 2 est l’inégalité de Mazur (cf. [5, th. 1.4.1]).

Le contenu de ces deux théorèmes est donc la réciproque à ces inégalités. Le lien entre eux est donné par un résultat de Laffaille [10], comme on va le voir au§1.

Le théorème 2 est aussi obtenu, avec une preuve différente, dans [9]. En fait, on a une version de l’inégalité de Mazur pour un groupe réductif quasi- déployé dansF et déployé dans une extension non ramifiée deF (cf. [12]). On peut conjecturer que la réciproque à cette inégalité est vraie, dans ce contexte (existence de certains sous-groupes parahoriques hyperspéciaux), et on peut la démontrer dans certains cas (cf. [11], [9]). En ce qui concerne la généralisation du théorème 1 dans cette direction, on a le résultat suivant :

SoitG un groupe réductif connexequasi-déployé surF. Soit A un tore dé- ployé maximal. Soit T le tore maximal contenant A. Fixons un sous-groupe de Borel B contenant T. Soit C la chambre de Weyl fermée dans X∗(T)⊗R correspondante. SiF est une clôture algébrique deF, le groupe Γ = Gal(F /F) agit surC. SoientA=X∗(A)⊗QetA₊=A∩C=C^Γ∩ X∗(T)⊗Q

. Soient L⁰ une extension finie de L et µ : G_m → G un morphisme défini surL⁰. On noteµ0l’unique conjugué deµqui appartient àC∩X∗(T). On pose

(0.2) µ= 1

(Γ : Γµ0) X

τ∈Γ/Γµ0

τ µ0∈A₊.

C’est un élément deA₊qui ne dépend que de la classe de conjugaison{µ}deµ.

Soitb∈G(L). On noteνb ∈A₊ son point de Newton (cf. [8], introduction et§3.2). Rappelons comment on peut le définir : soitDle groupe diagonalisable surF de groupe des caractèresQ; on a Hom(D, T) =A. À toute représentation rationnelle (V, %) de G est associée un isocristal (D, ϕ), avec D = V ⊗F L

(5)

et ϕ=%(b)·(idV ⊗σ). La d´ecomposition par les pentes D=M

α∈Q

Dα

peut être considérée comme un morphisme ν% : D → GL(V) défini sur L.

Il existe un unique morphisme νb : D → Gtel que ν% = %◦νb pour tout ρ.

Alors νb est l’unique conjugu´e deνb sous l’action de G(L) qui est dans A₊. Il ne d´epend que de la classe deσ-conjugaison deb (voir [8]).

On a par ailleurs surA₊ l’ordre partiel usuel, pour lequelλ≤λ⁰ si et seulement siλ⁰−λest combinaison linéaire à coefficients≥0 des coracines simples relatives à C.

Une paire (b, µ) formée d’un élément b ∈ G(L) et d’un homomorphisme µ:G_m→Gdéfini sur une extension finieL⁰ deLest diteadmissible(appelée faiblement admissible dans [13, déf. 1.18]) si, pour toute représentation rationnelle (V, %) deG, l’isocristal associé (D, ϕ), muni de la filtrationF^•surD⊗LL⁰ induite par%◦µ, est admissible. Il suffit pour vérifier cette propriété de la tester sur une représentation fidèle.

Théorème 3. — Supposonskalgébriquement clos. SoitGun groupe réductif connexe quasi-déployé sur F. Soient b∈G(L),L⁰ une extension finie deL et µ : Gm → G un morphisme défini sur L⁰. Pour qu’il existe µ⁰ ∈ {µ} défini surL⁰ et tel que la paire(b, µ⁰)soit admissible il faut et il suffit queµ≥νb.

Explicitons ce théorème lorsque G= T est un tore. Dans ce cas, {µ} correspond à un seul élément µ ∈X∗(T) et µ est la moyenne sur l’orbite Γ·µ; l’ordre partiel est trivial et l’énoncé signifie que

(0.3) (b, µ) est admissible ⇐⇒ µ=νb.

Ceci est exactement l’´equivalence entre (i) et (iii) de la proposition 1.21 de [13].

Le théorème 3 est donc à la fois une généralisation de cette proposition, qui est le cas d’un tore, et du théorème 1, qui est le cas de GLd.

Remarque. — Dans le théorème 3, soit E ⊂ L⁰ le corps de définition de la classe de conjugaison {µ} de µ. Alors E est une extension finie de F et L⁰ contientEL. Inversement, étant données une classe de conjugaison{µ}définie surE et une extensionL⁰ deEL, il existeµ∈ {µ}défini surL⁰,cf. [6,§1.4.3].

Nous remercions G. Laumon pour des discussions utiles.

Durant la préparation de ce travail, le deuxième auteur a bénéficié du soutien financier du Ministère de la Recherche et de la Fondation A. von Humboldt (prix Gay-Lussac/Humboldt) et aussi de l’hospitalité des Universités de Paris (Jussieu et Orsay).

(6)

1. Démonstrations des théorèmes 1 et 2

Comme on l’a dit dans l’introduction, il s’agit seulement de v´erifier les im- plications r´eciproques. On fixe l’isocristal (D, ϕ) de dimensiond.

Soits∈Ntel ques·ν(D, ϕ)∈Z^d. SoitF⁰=Fs l’extension de degr´esdeF contenue dans L. Pour tout nombre rationnelαtel quesα∈Z, soit

(1.1) Vα=

v∈D;ϕ^s(v) =π^sαv .

Soit V = PVα. Alors on sait que V est somme directe des Vα et que l’application naturelle V ⊗F⁰ L → D est un isomorphisme. En plus, tout sous- isocristal (D⁰, ϕ⁰) de (D, ϕ) est rationnel sur F⁰, i.e. il existe un unique sous- F⁰-espace vectorielV⁰ deV tel queD⁰=V⁰⊗F⁰L.

On fixeµ∈(Z^d)+. Les filtrationsF^• de typeµsurV⊗F⁰K, pourKexten- sion de F⁰ variable, forment l’ensemble desK-points d’une variété algébrique projectiveF=F(V, µ) surF⁰. En fait,F est une variété de drapeaux partiels deV et est de la forme

(1.2) F=G/P,

o`uG= GL(V) et o`u P est un sous-groupe parabolique deG.

Un point x ∈ F(L) sera dit Weil-générique relativement à F⁰ si le point image du composé

SpecL−→ F ×^x SpecF⁰SpecL−→ F est le point g´en´erique deF.

Lemme 1.1. — (i) Il existe toujours des pointsx∈ F(L)Weil-génériques relativement àF⁰.

(ii)Un tel point n’est contenu dans aucune sous-variété propre de F définie surF⁰.

Démonstration. — (i) Par le lemme de Bruhat, on sait que le corps des fonc- tions K de F est une extension transcendante pure de F⁰. Comme L est de degré de transcendance infinie surF⁰,K peut être plongé dansL.

(ii) C’est ´evident.

Lemme 1.2. — Soit F^• une filtration de D de type µ correspondant à un point Weil-générique relativement àF⁰deF(L). Soit(D⁰, ϕ⁰)un sous-isocristal de (D, ϕ). Alors le type de la filtrationF^0•induite parF^• surD⁰ est donné par

µ(F^0•) = (µd−d⁰+1, . . . , µd−1, µd), o`u d⁰= dimD⁰.

Démonstration. — La filtrationF^• est transverse à D⁰, puisque les filtrations qui ne le sont pas forment une sous-variété propre deF définie surF⁰ (le com- plément de l’unique orbite ouverte du parabolique standard de type (d⁰, d−d⁰)

(7)

surG/P). On a donc

(1.3) dim(Fⁱ∩D⁰) = max 0,dimFⁱ−(d−d⁰)

, ∀i∈Z, et ceci implique l’assertion.

Démonstration du théorème 1. — Soient doncµ≥ν(D, ϕ) etF^•une filtration de D correspondant à un point Weil-générique relativement à F⁰. Montrons que F^• est admissible. La condition (i) de l’admissibilité|µ(F^•)| =|ν(D, ϕ)|

(cf. introduction) résulte de la définition même de l’ordre partiel sur (Q^d)+. Soit (D⁰, ϕ⁰) un sous-isocristal de (D, ϕ) de dimensiond⁰. Alors (D⁰, ϕ⁰) est un facteur direct de (D, ϕ) et son vecteur des pentes est de la forme

(1.4) ν(D⁰, ϕ⁰) = (νj1, . . . , νj_d0), pour 1≤j1< j2<· · ·< jd⁰ ≤d.

D’après le lemme 1.2, la filtration F^0• sur D⁰ induite par F^• est de type µ(F^0•) = (µd−d⁰+1, . . . , µd). L’inégalité dans (ii) de la définition de l’admis- sibilité résulte alors de

(1.5)

d⁰

X

i=1

µd−d⁰+i≤

d⁰

X

i=1

νd−d⁰+i≤

d⁰

X

i=1

νji.

Le théorème 2 résulte alors de la proposition suivante (pour laquelle il n’est pas nécessaire de supposerkalgébriquement clos) :

Proposition 1.3. — Soient(D, ϕ)un isocristal de dimensiondetµ∈(Z^d)+. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(i)il existe une filtration admissible F^• de typeµsurD, (ii) il existe unOL-r´eseau de type µ.

Démonstration. — C’est une conséquence du résultat de Laffaille [10] : soit (D, ϕ) un isocristal et soit F^• une filtration de D. Rappelons (cf. [10]) qu’un OL-réseau M dans D est dit adapté à la filtration F^• (ou, dans une autre terminologie [4], que le réseau M, muni de sa filtration F^• ∩M, est fortement divisible), si l’on a

(1.6) M =ϕ X

i

π⁻ⁱ(Fⁱ∩M) .

D’après le théorème 3.2 de [10]⁽¹⁾, la filtration F^• est faiblement admissible si et seulement s’il existe un réseau M adapté à F^•. La proposition résulte alors du lemme suivant :

(1)Stricto sensu, ce résultat n’est énoncé dans [10] que lorsque F =Qpet la filtration est positive. Par une torsion à la Tate, on se ramène au cas d’une filtration positive. La preuve de Laffaille s’étend alors telle quelle au cas considéré ici : il suffit de remplacerpparπ.

(8)

Lemme 1.4. — Soit (D, ϕ)un isocristal de dimension det soit F^• une filtration de typeµ(F^•)surD. Soit M un réseau adaptée àF^•. Alors

µ(M) =µ(F^•).

Démonstration. — Soitu1, u2, . . . , udune base deM surOLadaptée à la filtration,i.e. telle que, siµrdésigne le plus grand des entiersivérifiantur∈ Fⁱ∩M, pour 1≤r≤d, alors

Fⁱ∩M = M

µr≥i

OLur.

Quitte `a changer l’ordre des ur, on peut supposer que µ1 ≥µ2 ≥ · · · ≥µd et on a alorsµ(F^•) = (µ1, µ2, . . . , µd).

Si l’on pose er =π^−µ^rϕ(ur), on voit que e1, e2, . . . , ed est une base deM sur OL tandis que π^µ¹e1, π^µ²e2, . . . , π^µ^ded est une base de ϕ(M). On a donc µ(M) = (µ1, µ2, . . . , µd).

Remarque. — Les énoncés des théorèmes 1 et 2 ne s’étendent pas au cas où le corps k n’est plus algébriquement clos. Un exemple est donné par L = F, (D, ϕ) = (L²,id),µ= (r,−r) oùrest un entier≥1. Alorsµ≥(0,0) =ν(D, ϕ), mais il n’existe pas de filtration admissible de typeµ.

2. Démonstration du théorème 3

SoientGquasi-déployé surF,L⁰ une extension finie deLetµ:G_m→Gun morphisme défini surL⁰. Avec les notations de l’introduction, àµcorrespondent des élémentsµ0∈Cetµ∈A₊qui ne dépendent que de la classe de conjugaison {µ}deµ.

Soit (V, %) une représentation rationnelle deG, oùV est un espace vectoriel de dimensiondsurF. Alors on associe à{µ}une classe de conjugaison{%◦µ}

de morphismes deG_m dans GL(V) à laquelle correspond un élément bien dé- fini%(µ0) de (Z^d)+. De même,µet par ailleurs n’importe quel élémentν ∈A₊ définissent des éléments%(µ) et %(ν) de (Q^d)+.

Lemme 2.1. — Soit ν ∈A₊. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)µ≤ν (dans l’ordre partiel surA₊),

(ii) %(µ)≤%(ν), pour toute représentation rationnelle (V, %)deG, (ii⁰)%(µ0)≤%(ν), pour toute représentation rationnelle (V, %)deG, (iii) comme en (ii), pour une représentation fidèle (V, %)de G, (iii⁰)comme en(ii⁰), pour une représentation fidèle (V, %)de G.

Démonstration. — On remarque que la classe de conjugaison{%◦µ}est définie surF, de sorte que%(µ0) =%(µ). Ceci étant, l’assertion résulte de [12,§2].

(9)

Ce lemme entraˆıne déjà l’implication directe dans le théorème 3, comme conséquence de l’implication directe dans le théorème 1.

Un cocaractère f : G_m → G définit, sur chaque représentation linéaire V de G, une graduationV =L

n∈ZVn donc aussi une filtration d´ecroissante en posant

Fil^rV =M

n≥r

Vn.

Deux cocaractères de Gsont ditpar-équivalentss’ils définissent les mêmes filtrations sur les représentations linéaires deV. Les classes d’équivalence dans la classe de conjugaison{µ}deµ forment une variété projectiveF =F(G,{µ}) définie sur L⁰. On peut écrire

(2.1) F G,{µ}

=GL⁰/Pµ, o`uPµ est un sous-groupe parabolique d´efini surL⁰.

Soitb ∈G(L). Pour démontrer le théorème 3, on peut remplacerb∈G(L) par un élémentσ-conjuguéb⁰=gbσ(g)⁻¹, pourg∈G(L), car (b, µ) est admissible si et seulement si (gbσ(g)⁻¹, gµg⁻¹) l’est. D’après Kottwitz [7,§4], on peut donc supposer quebvérifie une identité de décence (voir [13, p. 8]), c’est-à-dire qu’il existe un entiers >0 tel que

(bσ)^s= (s·νb)(π)σ^s

oùνb:D→Ga été défini avant l’énoncé du théorème 3 etsdésigne l’endomorphisme deDinduit par la multiplication parssurQ.

On associe `ax∈ F(L⁰) sonco-caract`ere canonique de Harder-Narasimhan

(2.2) λx:D−→G

qui est bien défini (sur L⁰) à par-équivalence près. Il est caractérisé par le fait que pour toute représentation rationnelle (V, %) deGlaQ-filtration surV⊗FL induite par %◦λx est la filtration canonique (indexée par les HN-pentes) de l’isocristal filtré (V⊗FL, %(b)·(id⊗σ),F_%(x)^• ), (cf. par exemple, [13, prop. 1.4]).

SoitF⁰ l’unique extension de degr´esdeF contenue dansL. On sait queλxest d´efini surF⁰ (voir [13, prop. 1.36]).

SoitGab=G/Gderle tore quotient maximal de G. L’isomorphisme

(2.3) F G,{µ} ∼

−→ F Gad,{µad}

× F Gab,{µab} induit une bijection entre points (faiblement) admissibles, (2.4) F G,{µ}

(L⁰)^adm−→ F^∼ Gad,{µad}

(L⁰)^adm× F Gab,{µab}

(L⁰)âdm. Pour démontrer le théorème 3, on peut donc supposer que Gest semi-simple, puisque le cas d’un tore est déjà réglé par [13, prop. 1.21], comme on l’a expliqué dans l’introduction.

(10)

Soit doncGsemi-simple et soitE⁰une extension finie deF⁰ contenue dansL⁰ sur laquelle la classe de conjugaison de µ est définie. Soit x ∈ F(L⁰) Weil- générique relativement àE⁰. De tels points existent d’après le lemme 1.1 (lemme de Bruhat pour G). Montrons que x est faiblement admissible sous l’hypo- thèse µ ≥ νb. Il suffit de voir que le cocaractère λx associé à x est trivial.

Raisonnons par l’absurde et supposons que le paraboliquePx=Pλxsoit propre.

Ce parabolique est d´efini surF⁰.

Lemme 2.2. — Soient Gun groupe quasi-déployé sur F et B un sous-groupe de Borel défini sur F. SoitP un sous-groupe parabolique propre défini surF⁰.

(i) Il existe une repr´esentation rationnelle irr´eductible (V, %) de G et une droite `⊂V ⊗FF⁰, telles que P= StabG(`).

(ii) Pour une telle repr´esentation, soit

W•= (0)⊂W1⊂W2⊂ · · · ⊂Wd =V

un drapeau complet de V stable par %(B). Alors il existe g ∈G(F⁰) tel que` soit transverse `a%(g)·W•, i.e., tel que`6⊂%(g)Wd−1.

D´emonstration. — (i) On peut ´evidemment supposer queP est standard,i.e.

contient B⊗F F⁰. Soit C^∗ ⊂ X^∗(T)⊗R la chambre de Weyl fermée dans l’espace des caractères correspondant à B. Alors P correspond à une facette deC^∗. Soitλ∈X^∗(T) à l’intérieur de cette facette et soitVλ la représentation irréductible de plus haut poids λ. AlorsVλ est un espace vectoriel surF⁰ sur lequel agit GF⁰. Soit Fλ = F^Γ^λ. Alors Vλ est défini sur Fλ, i.e. est de la forme Vλ = V_λ⁰⊗FλF⁰ et V_λ⁰ est irréductible comme représentation deGFλ. LeF-espace vectoriel cherchéV est égal àV_λ⁰et est muni de la représentation rationnelle%deGdéfinie par la composition des homomorphismes canoniques (2.5) G−→RF_λ/F(GFλ)−→RF_λ/F GLFλ(V_λ⁰)

= GLF(V)

(cf. [14, th. 7.2]). Alors (V, %) répond à la question en prenant pour` la droite engendré par un vecteur de poidsλdansVλ.

(ii) Le sous-espace de V ⊗FF⁰ engendré par{%(g)x;g∈G(F⁰), x∈`}est une représentation irréductible de GF⁰. Le plus petit sous-espace défini sur F et le contenant est une représentation deG. Son espace ne peut donc pas être contenu dansWd−1.

Appliquons ce lemme au paraboliquePλx. On consid`ere l’isocristal (D, ϕ) = V ⊗F L, %(b)·(id⊗σ)

muni de sa filtration F_%(x)^• sur D ⊗LL⁰. Soit D⁰ = `⊗F⁰ L. Alors D⁰ est un cran dans la filtration de Harder-Narasimhan de D, car il est stable par le parabolique de Harder-NarasimhanP%◦λxde GL(V)L. Le typeµ(F^0•)∈Zde la

(11)

filtration induite parF_%(x)^• surD⁰⊗LL⁰ et la penteν(D⁰, ϕ⁰)∈Qde l’isocristal (D⁰, ϕ⁰) = (D⁰, ϕ|D⁰) v´erifient donc

(2.6) µ(F^0•)> ν(D⁰, ϕ⁰).

Le lemme 2.2 implique que les points y ∈ F(L⁰) tels que la filtration F_%(y)^• de D ⊗L L⁰ ne soit pas transverse à D⁰ ⊗L L⁰ forment une sous-variété fermé propre de F défini sur E⁰. Comme x est Weil-générique relativement

à E⁰, il ne peut pas être contenu dans cette sous-variété. Soit F_%(x)^• de type (µ1, . . . , µd)∈(Z^d)+. Comme dans le lemme 1.2, la transversalité implique que

(2.7) µ(F^0•) =µd.

Soit ν(D, ϕ) = (ν1, . . . , νd) ∈ (Q^d)+. Alors ν(D⁰, ϕ⁰) = νj, pour un j avec 1≤j≤d. Commeµ≥ν_b, le lemme 2.1 montre que (µ1, . . . , µd)≥(ν1, . . . , νd), ce qui nous donne

(2.8) µ(F^0•) =µd≤νd ≤νj=ν(D⁰, ϕ⁰), contredisant (2.6).

3. Remarques suppl´ementaires Supposonskalg´ebriquement clos.

a) D’après la proposition 1.3, dans le cas de GLd, les deux théorèmes d’existence sont équivalents. Il faut pourtant souligner que dans le contexte d’un groupe réductifG, quasi-déployé surF et déployé sur une extension non rami- fiée de F, l’existence d’un sommet hyper-spécial d’un type µ implique, outre l’inégalitéµ≥νb qui apparaˆıt dans le théorème 3, l’identité

(3.1) µ^\=κ(b)

dans π1(G)Γ (cf. [12, §4]). On voit donc qu’a priori, dans le cas général, la question d’existence de réseaux est plus subtile que la question d’existence de filtrations. Le cas de GLd est exceptionnel car alors (3.1) résulte de l’inéga- litéµ≥νb. Le lien entre le théorème 1 et le théorème 2 se fait via le théorème de Laffaille sur l’existence de réseaux fortement divisibles et on peut se deman- der s’il existe une notion analogue en théorie de groupes.

b) La construction de Laffaille d’un réseau adapté à une filtration admissible fournit à partir d’un réseauM arbitraire un unique réseau adapté maximal M^max contenu dansM, et aussi un unique réseau adapté minimalM^min contenant M. Cette construction n’est malheureusement pas compatible aux opérations d’algèbre linéaire usuelles (produit tensoriel : (M1 ⊗M2)^max 6=

M₁^max ⊗M₂^max, (M1 ⊗M2)^min 6= M₁^min ⊗M₂^min; passage au dual : on a (M^∗)^max = (M^min)^∗ et non (M^max)^∗). Ceci, tout comme la remarque pré- cédente, semble montrer qu’il n’est pas possible de déduire du théorème 2 et du théorème 3 pour le groupe symplectique l’existence de réseaux autoduaux

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d’un type donné dans un isocristal symplectique (un tel théorème d’existence est pourtant démontré dans [9] par d’autres méthodes).

c) On peut s’intéresser à un problème beaucoup plus général que celui auquel les théorèmes 1 et 3 fournissent une réponse. Explicitons dans le cas de GLd. Soit (D, ϕ) un isocristal de dimension d. Soitµ ∈(Z^d)+ avec|µ|=|ν(D, ϕ)|, et soit F la variété des filtrations de type µ sur D. Soit x ∈ F(L) et soit λx:D→GL(D) leHN-cocaractère associé (bien défini à par-équivalence près).

Alors λx définit un élément bien déterminé λ(x) ∈ (Q^d)+ avec |λ(x)| = 0.

On obtient ainsi une d´ecomposition disjointe

(3.2) F(L) =

•

[

λ∈(Q^d)+,|λ|=0

F(L)λ, o`u F(L)λ={x∈ F(L) ;λ(x) =λ}.

Si µ≥ν(D, ϕ), le théorème 1 montre que l’unique élément minimalλ= 0 de l’ensemble d’indices donne une contribution non vide à (3.2). Même dans le casµ≥ν(D, ϕ), nous n’avons pas déterminé l’ensemble des indices dans (3.2) avec une contribution non vide. Siµ6≥ν(D, ϕ), nous ignorons même les indices minimauxparmi ceux avec une contribution non vide à (3.2).

d) Rappelons que Cp désigne le complété d’une clôture algébrique de L.

Soient G, b, L⁰, µ comme dans l’énoncé du théorème 3. Alors on sait [13, prop. 1.36], que les points admissibles par rapport à b dans F(G,{µ})(Cp) forment un espace rigide-analytique sur L⁰, ouvert admissible de F(G,{µ}), que nous noteronsF(G,{µ})âdm. On peut alors reformuler ainsi le théorème 3 : Théorème 3⁰. — On suppose k algébriquement clos. Soit G, b, L⁰, µ comme dans le théorème 3. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i)F(G,{µ})^adm6=∅, (ii) F(G,{µ})^adm(L⁰)6=∅, (iii) µ≥νb.

En effet, (i)⇒(iii) se démontre comme dans le§2 par réduction à l’inégalité [3, §4.3.3] pour le cas de GLd. L’implication (iii) ⇒ (ii) est le théorème 3 et l’implication (ii)⇒(i) est triviale.

e) Soit (D, ϕ, N) un (ϕ, N)-module surL (cf. par exemple, [1]), c’est-à-dire un isocristal muni d’une application L-linéaire N : D → D telle que N ϕ = qϕN (où, rappelons-le, q est le nombre d’éléments du corps résiduel de F).

On a encore une notion de filtration admissible dans ce cadre et le théorème 1 s’étend : cela résulte de ce que toute filtration admissible sur l’isocristal sous- jacent (obtenu en oubliant l’action deN) esta fortioriadmissible sur le (ϕ, N)- module.

(13)

BIBLIOGRAPHIE

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Note ajout´ee sur ´epreuves (octobre 2003)

Voici une liste de travaux récents concernant le cercle de problèmes abordés dans cet article.

Kottwitz (R.)– On the Hodge-Newton decomposition for split groups, Internat. Math. Res. Notices, t.26(2003), pp. 1433–1447.

(14)

Leigh (C.) –A converse to Mazur’s inequality for split classical groups, math.NT/0211327.

Orlik (S.)– On Harder-Narasimhan strata in flag manifolds, math.NT/

0304222.

Wintenberger (J.-P.)–Existence deF-cristaux avec structures suppl´e- mentaires,math.NT/0303026.