LM 315 Examen du 26 mai 2008 8h30 - 10h30 Exercice n

LM 315 Examen du 26 mai 2008 8h30 - 10h30

Exercice n^o1 18 (3 3 (1 2 3 6)) 12

1) Soit ; z et a des paramètres réels. Rappel : 8 b > 0 ; Z

R+

1

b + y² d(y) = 2 p1

b. Déterminer pour chaque intégrale l'ensemble des paramètres pour lesquels elle est nie.

I = Z

R+R+

1

1 + u+ y² d2(u; y); Jz = Z

R+R+

x^z

1 + x⁴+ y² d2(x; y);

Ka= Z

R+R+

1 + x⁴+ y1²+ a cos²y d²(x; y)

Pour K_a discuter selon que a 0; 1 < a < 0; a = 1 ou a < 1: Pour a < 1 utiliser le fait que si g : R+ ! R est dérivable et s'annule au moins une fois, alors

Z

R+

1

jgjd = +1.

2) Soit F (z) = Z

R+R+

x^z

1 + x⁴+ y²+ cos²yd2(x; y)

Montrer que F admet en 0 un D.S.E. de rayon de convergence R = 1.

Exercice n^o2 6 12 1) Calculer I =

Z ₊₁

1 e ^u2du.

2) Montrer que lim

n!+1

pn Z ₁

1(1 t²)ⁿdt =p . Exercice n^o3 30 (6 24)

Dans R³ un point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x; y; z) ou ses coordon- nées sphériques (r; ; ). Le plan Oxy, noté P, est ainsi représenté soit par l'équation z = 0, soit par = =2.

Pour (M; u) 2 R³ R₊ on note B(M; u) la boule de centre M et de rayon u.

Soit B0 = B(O; 1) la boule unité et B₀⁺=

M 2 B0; z 0 la demi-boule supérieure.

Soit E =

(M; u) ; B(M; u) B0 . Soit F =

(M; u) ; M 2 B₀⁺; B(M; u) \ P 6= ; et B(M; u) B0 . Soit G =

M 2 B₀⁺; z + r 1 . On note P = 1 2 4(F )

₄(E), ce nombre P représentant la probabilité pour qu'une boule incluse dans B0 ne rencontre pas P, i.e., soit incluse dans B₀⁺ ou B₀.

1) Vérier que P = 5

8.

Ordre d'intégration :u ! ! r !

2

Ne pas imprimer recto-verso

zM = r cos x_M = r sin cos ; yM = r sin sin

6

-

=

6 - = ZZZ

ZZ ZZ

ZZ ZZ~

= U

y

x z

O

r

M

zM

xM

y_M

P Q

Coordonnées sphériques

!k !i

!j

6

-

z + r > 1

z + r < 1

Vue dans le plan Oxz

r rO

z u r

M

x z

B0

B(M; u)