LM 315 Examen du 16 juin 2008 8h30 - 10h30
Exercice no1 18 (3 6 9) 12 6
-
E
x y
Soit le quart de disque E =
(x; y) 2 (R+)2; x2+ y2 1g.
(Inutile de passer en polaires.)
1) Soit ; et des paramètres réels.
Déterminer pour chaque intégrale l'ensemble des paramètres pour lesquels elle est nie.
I = Z
Exd2(u; y); J = Z
E
1
(1 y) d2(x; y); K = Z
E
x
1 y
d2(x; y).
2) Soit F (z) = Z
E
x
1 y z+1
d2(x; y).
Montrer que F admet en 0 un D.S.E. de rayon de convergence R = 2.
On posera U = U(x; y) = x 1 y et
x
1 y z+1
= U ez ln U.
Exercice no2 1 19 On admet que
Z
R+
e v2d(v) = p
2 .
1) Montrer que pour 0 t =2; cos t et2=2 1.
2) Montrer que lim
n!+1n3=2 Z
Exnd2(x; y) = r
2, où E est l'ensemble de l'exo 1.
Poser u =p
n et vérier que lim
n!+1n ln cos u=p n
= u2 2 . Exercice no3 1 24 (6 18)
Dans R3 un point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x; y; z) ou sphériques (r; ; ).
Pour (M; u) 2 R3 R+ on note B(M; u) la boule de centre M et de rayon u.
Soit B0 = B(O; 1) la boule unité. Soit S le "pôle nord" de coordonnées cartésiennes (0; 0; 1).
Pour M de coordonnées (r; ; ), la distance SM vautp
1 + r2 2r cos . Soit E =
(M; u) ; r < 1 et u < 1 + r ; i.e. M 2 B0 et B0 B(M; u).
Soit F =
(M; u) 2 E ; u < SM , i.e. S =2 B(M; u).
On note P = 1 4(F )
4(E), ce nombre P représentant la probabilité pour qu'une boule centrée dans B0 mais ne contenant pas B0, contienne S.
1) Calculer @
@ r
3 1 + r2 2r cos 3=2 . 2) Vérier que P = 11
35.
Ordre d'intégration :u ! ! ! r
zM = r cos xM = r sin cos ; yM = r sin sin
6
-
=
6 - = ZZZ
ZZ ZZ
ZZ ZZ~
= U
y
x z
O
r
M
zM
xM
yM
P Q
Coordonnées sphériques
!k !i
!j
6
-
Vue dans le plan Oxz B(M; u) 2 F
B(M; u0) 2 E n F
q
u0
r
u
r r
O r M
x z
B0 B(M; u)
B(M; u0) S
