LM 315 CALCUL INTÉGRAL 2007 - 2008

LM 315

CALCUL INTÉGRAL

2007 - 2008

Why life is hard

Soit la suite double xn;p

(n;p) 2 NN dénie par xn;p = 1 si n p et xn;p = 0 si n < p.

Pour chaque n 2 N l'application p ! xn;p est une suite sur N notée xn;:. De même on peut pour chaque p 2 N dénir la suite x:;p. Soit n xé. A partir de p = n + 1; xn;p = 0. Donc

p!+1lim xn;p = 0. Si on xe p, à partir de n = p, xn;p = 1 et lim

n!+1xn;p = 1. Conclusion

p!+1lim

n!+1lim xn;p

= 1 et lim

n!+1

p!+1lim xn;p

= 0.

Ces limites itérées sont distinctes. En conséquence :

L'interversion de limites est interdite sauf permission expresse.

Ce cours n'étant pas censé traiter de suites à deux indices, est-ce si grave ? Gravissime ! L'igno- rance de ce principe est la cause de la plupart des échecs en LM315. En eet les limites appa- raissent de façon explicite ou implicite dans les cas suivants :

Suites et Séries, (explicite)

Continuité, Dérivabilité et Intégrale. (implicite)

Un exemple familier de la non-commutativité des limites est le fait qu'une limite f d'une suite (f_n)_{n 2 N}de fonctions continues sur un intervalle [ a; b ] n'est pas nécessairement continue. Il sut de poser a = 0; b = 1 et fn(x) = xⁿ. La fonction f vaut 0 sur [ 0; 1[ et f(1) = 1: On se souvient qu'il sut d'ajouter une hypothèse pour qu'une limite de fonctions continues soit continue, c'est celle de la convergence uniforme. En d'autres termes, certains outils mathématiques permettent de rendre licite dans des cas particuliers ce qui est interdit dans le cas général. Un autre exemple est le théorème de Schwartz permettant, sous certaines conditions, d'échanger l'ordre des dérivations partielles.

L'objet principal de ce cours est de fournir ces outils lorsqu'une des deux limites à échanger est celle contenue implicitement dans la notion d'intégrale. A chacun des 5 exemples précédents d'occurence de limite, correspond alors un problème d'interversion de limites.

i

Suites. Soit (fn)n 2 N une suite de fonctions intégrables. On a donc la suite (In)n 2 N dénie par In =

Z _b

a fn(t) dt. Le problème est alors de savoir quand on peut écrire

n!+1lim Z _b

a f_n(t) dt = Z _b

a

n!+1lim f_n(t)

dt:

Il faut déjà que le membre de droite ait un sens, ce qui signie que la suite (fn)n 2 N converge simplement vers une fonction f, et que cette dernière soit intégrable. Même dans ce cas rien ne garantit que la limite de gauche existe, ni, lorsqu'elle existe, qu'elle soit égale à celle de droite. Ce problème est réglé en intégration de Riemann par l'hypothèse de convergence uni- forme, beaucoup trop contraignante pour être réellement utile. Bonne nouvelle, la convergence uniforme n'existe pas en LM 315 !

Séries. Comme pour les suites, la question est de pouvoir écrire X+1

n=0

Z _b

a un(t) dt

= Z _b

a

X+1 n=0

un(t)

! dt

A nouveau l'existence de chaque membre de cette égalité est problématique, de même que l'égalité elle même.

Continuité. Si on passe des suites à la notion de continuité, on passe d'un paramètre discret à valeurs entières, à un paramètre continu à valeurs réelles. La suite (fn)n 2 Nest donc remplacée par une fonction de deux variables f(x; t) dénie sur un ensemble de la forme X] a ; b [. Le point x 2 X est le paramètre et t 2 ] a ; b [ est la variable d'intégration. On suppose que f est continue par rapport à x est intégrable par rapport à t. On peut donc dénir une fonction F sur X en posant F (x) =

Z _b

a f(x; t); dt. La question initiale d'interversion des limites devient ici celle de la continuité de F . A nouveau, celle-ci n'a rien d'automatique.

Dérivabilité. Si on suppose de plus que f possède une dérivée partielle par rapport à x, la question est de savoir si F "hérite" de cette propriété. En d'autre termes, F est-elle dérivable et a-t-on F⁰(x) = d

dx Z _b

a f(x; t) dt

= Z _b

a

@

@xf(x; t)

dt:

Intégrale. S'il s'agit d'échanger deux intégrales, cela signie qu'il y a deux variables d'inté- gration, chacune jouant pour l'autre le rôle de paramètre. On a donc une fonctions f dénie sur un ensemble du type ] a ; b []c ; d[ et on veut savoir si

Z _b

a

Z _d

c f(x; y) dy

dx = Z _d

c

Z _b

a f(x; y) dx

dy.

dans la composition des fonctions x ! x + 3 et x ! 4x. La diérence dans ce cas est que l'interversion n'est jamais autorisée, car 4(x+3) n'est jamais égal à 4x+3 et donc la tentation est moins grande. Quand on se retrouve à confondre les deux, c'est qu'on a oublié les parenthèses.

Ça met par terre tout le calcul mais il n'y a pas de faute grave. Par contre, dans le cadre d'un cours dont l'objet fondamental est d'enseigner le discernement entre ce qui est licite et ce qui ne l'est pas, faire une opération a priori interdite sans avoir vérié qu'on en a bien le droit, c'est faire la preuve qu'on n'a rien compris ni au cours, ni à sa nalité, avec les conséquences pratiques qu'on peut deviner. Un calcul, intégral ou pas, doit être juste et justié. On l'a bien compris : sa justication est ici beaucoup plus importante que son exactitude. Quand il s'agira de contruire un pont ce sera l'inverse. Une justication signie en général l'application d'un théorème. Une incantation du genre "par Fubini", "par Lebesgue", ou pire, "par théorème" ou "d'après le cours" n'est pas de nature à convaincre qui que ce soit. Un théorème, c'est parfois un nom, mais c'est toujours des hypothèses, et une ou plusieurs conclusions. Ce n'est pas la citation du premier qui permet de faire l'impasse sur les deuxièmes et d'asséner les dernières sans scrupules.

J'espère que le titre de ce prologue a pris tout son sens. Pour les anglophobes résolus, voici sa traduction : "Pourquoi la vie est dicile". C'est ce que ce prologue tente d'expliquer dans le cadre du calcul intégral.

Table des matières

Why life is hard i

1 Intégration en une variable 1

1.1 L'intégrale de Lebesgue . . . 2

1.1.1 Ensembles négligeables . . . 2

1.1.2 Fonctions mesurables, intégrables et dénition de l'intégrale . . . 3

1.1.3 Le Théorème de Convergence Dominée T.C.D. . . 5

1.2 Séries de fonctions . . . 7

1.3 Intégrales dépendant d'un paramètre . . . 8

1.3.1 Continuité . . . 8

1.3.2 Dérivabilité . . . 10

2 Intégration en plusieurs variables 11 2.1 Dénition de l'intégrale . . . 11

2.2 Ensembles mesurables . . . 12

2.3 Calcul intégral sur R^d . . . 14

2.3.1 Théorème de Fubini . . . 14

2.3.2 Changements de variables . . . 15

3 Espaces L^p 20 3.1 Inégalités . . . 20

3.2 Espaces L^p et L^p; p 2 [ 1; +1) . . . 21

3.3 Les espaces L¹ et L¹ . . . 24

A Rappels de langage 25 A.1 Fonctions caractéristiques . . . 25

iv

B Rappels sur l'intégrale de Riemann 26

C Rappels sur les intégrales généralisées 28

C.1 Convergence et critère de Cauchy . . . 28

C.2 Intégrales absolument convergentes . . . 32

C.3 Intégrales semi-convergentes . . . 34

C.4 Récapitulation . . . 35

Chapitre 1

Intégration en une variable

Le calcul intégral trouve son origine dans les calculs d'aire ou de volume. Le niveau 0 est le cal- cul de l'aire d'un rectangle, qui est le produit des longueurs des côtés. La question se complique si la surface plane dont on veut calculer l'aire n'est plus simplement délimitée par 4 droites parallèles aux axes de coordonnées, mais si l'une d'entre elles est remplacée par une courbe.

- 6

O a b

y = f(x)

Antérieur au problème du calcul d'une telle aire se trouve celui de sa dénition. Pour cela on suit 2 principes de bon sens qui sont

Principe de monotonie: Une surface incluse dans une autre a une aire plus petite.

Principe de linéarité: L'union de deux surfaces disjointes a une aire égale à la somme de leurs aires.

1

Ces deux principes joints au calcul de l'aire d'un rectangle conduisent à dénir de manière claire l'aire de portions du plan délimitées par exemple par des droites d'équations x = a et x = b (en supposant a < b), y = 0 et la courbe d'équation y = f(x), où f :] a ; b [ ! R₊ est une application susamment régulière, par exemple continue ou continue par morceaux, ou encore monotone. On sait que la théorie de l'intégrale de Riemann fournit une réponse satisfaisante à la question que nous venons d'évoquer et que l'aire de la surface ainsi délimitée vaut

A = Z _b

a f(t) dt:

Plus généralement la théorie de l'intégrale de Riemann permet de donner un sens à l'expression Z _b

a f(t) dt dans un cadre beaucoup plus général. La fonction f n'a pas besoin d'être suppo- sée positive et les bornes a et b peuvent être innies. Dans ce dernier cas on parle d'intégrale généralisée¹, avec les problèmes de convergence qui en résultent. On parle également d'inté- grale généralisée lorsque f ! 1 au voisinage d'un nombre ni de points de l'intervalle d'intégration.

1.1 L'intégrale de Lebesgue

La théorie de l'intégrale de Riemann soure de limitations, dés qu'on s'intéresse aux 5 problèmes du prologue. C'est pourquoi elle est remplacée par la théorie de Lebesgue. Sur le plan pratique il faut retenir que pour toutes les intégrales déjà vues en Riemann, rien ne change, à l'exception des intégrales généralisées semi-convergentes qui ne sont pas dénies dans ce nouveau cadre, et des notations.

1.1.1 Ensembles négligeables

Un ouvert R a une unique décomposition en intervalles ouverts disjoints =S

iI_i, où i décrit un ensemble ni d'entiers ou N. La mesure (de Lebesgue) de , notée (), est dénie comme la somme des longueurs des intervalles Ii. Ce peut être une série divergente.

Dénition: Un sous-ensemble E de R est négligeable s'il peut être inclus dans un ouvert de mesure arbitrairement petite.

1Voir l'annexe C

Dénition: Une propriété P a lieu presque partout (souvent noté "p:p:") ou pour presque tout x si l'ensemble E des points où P n'est pas vériée, est négligeable.

Par exemple, une fonction bornée sur un intervalle borné est Riemann-intégrable si et seule- ment si elle est presque partout continue (ce qui n'a rien d'évident). Les ensembles nis ou les ensembles dénombrables i.e. de la forme fxn; n 2 Ng sont négligeables. Ce sont les seuls ensembles négligeables que nous rencontrerons en une variable.

1.1.2 Fonctions mesurables, intégrables et dénition de l'intégrale

Il n'est pas possible dans le cadre du LM315 de donner une dénition sérieuse de ce qu'est une fonction mesurable. Nous nous contenterons d'une dénition opérationnelle susante pour les applications. Avant cela nous devons signaler "l'opération interdite." Les fonctions que l'on considèrera pourront prendre les valeurs +1 et 1. L'opération +1 1 n'est pas dénie. Quand on écrira la fonction f + g, on sous entendra que l'ensemble des x tels que ff(x); g(x)g = f 1; +1g est négligeable. Par contre les opérations 0 1 sont dénies et donnent 0:

Dénition: L'ensemble M des fonctions mesurables sur R est le plus petit ensemble conte- nant les fonctions continues et les fonctions nulles presque partout, stable par addition, multi- plication, inf et sup, et convergence presque partout.

De façon plus explicite

Si (f_n)_{n 2 N} est une suite de fonctions mesurables et s'il existe f telle que lim

n!+1f_n(x) = f(x) presque partout, alors f est mesurable.

Si deux fonctions f et g sont égales presque partout alors f 2 M () g 2 M. En conséquence une fonction peut être mesurable en n'étant dénie seulement presque partout, par exemple si c'est la limite d'une suite qui converge presque partout.

On note M₊ l'ensemble des fonctions mesurables sur R à valeurs positives.

Théorème 1.1. Il existe une application unique I : M₊ ! R₊ telle que pour toute fonction continue dont l'intégrale

Z ₊₁

1 f(t) dt converge (absolument) I(f) = Z ₊₁

1 f(t) dt et possédant les propriétés suivantes :

I(f) 0 pour tout f 2 M₊

I(f + g) = I(f) + I(g) pour tous f; g 2 M+.

Si (f_n)_{n 2 N} est une suite croissante de fonctions de M₊ tendant vers une limite² f, alors la suite (croissante) I(f_n) tend vers I(f).

Ici la suite est croissante non pas si les fn sont croissantes, mais si la suite fn(x)

n 2 N est croissante pour tout x.

Cette dernière propriété de I est appelée le Théorème de Convergence Monotone (T.C.M.).

Pour f 2 M+ on note I(f) = Z

Rf d, c'est l'intégrale de Lebesgue de f. Cette intégrale peut prendre la valeur +1 et il est tout à fait légitime d'écrire

Z

R₊f d = +1, par exemple pour f : t ! 1=t, alors que l'écriture

Z ₊₁

0

dt

t = +1 est une horreur. Une intégrale généralisée de Riemann converge ou diverge. L'intégrale de Lebesgue d'une fonction mesurable positive est nie ou innie.

Dénition: Une fonction f 2 M+ est intégrable si I(f) < +1. Une fonction f 2 M est intégrable si la fonction jfj l'est.

L'ensemble des fonctions intégrables est noté L¹. C'est un espace vectoriel. Ce n'est pas tota- lement évident et provient du fait qu'une fonction intégrable est presque partout nie.

Il reste à dénir l'intégrale d'une fonction intégrable de signe quelconque. Il nous sut de remarquer que l'espace L¹ est engendré par L¹ \ M+ et de savoir que I peut être étendue par linéarité à tout L¹. La notation I(f) =

Z

Rf d reste valable pour les fonctions de signe quelconque et peut être étendue par linéarité aux fonctions à valeurs dans C. Elle peut aussi être localisée lorsqu'on considère des fonctions dénies seulement sur un intervalle. On écrit alors l'intégrale de f sous la forme

Z

Jf d où J est l'intervalle d'intégration, ouvert fermé peu importe. La principale diérence avec l'écriture en Riemann est que dans

Z

] a ; b [f d, on suppose toujours que a < b alors que par convention pour tous a et b,

Z _a

b f(t) dt = Z _b

a f(t) dt.

Pratiquement, si 1 a < b +1, et dans un des deux cas suivants :

f est Riemann intégrable sur ] a ; b [, (ce qui entraîne que f et ] a ; b [ sont bornés) l'intégrale généralisée de f sur ] a ; b [ converge absolument,

alors

Z _b

a f(t) dt = Z

] a ; b [f d:

2Automatiquement dans M+ d'après la dénition de M.

1.1.3 Le Théorème de Convergence Dominée T.C.D.

Voici le résultat principal qui justie le changement de cadre Riemann ! Lebesgue. Signalons qu'il est souvent confondu avec le principe de domination qui dit, pour deux fonctions localement Riemann intégrables, que si jfj g et

Z ₊₁

1 g(t) dt converge, alors Z ₊₁

1 f(t) dt converge (absolument).

Théorème de Convergence Dominée (T.C.D.). Soit ] a ; b [ un intervalle de R, (fn)n 2 N

une suite de fonctions intégrables à valeurs dans R ou dans C, convergeant p:p: sur ] a ; b [ vers une fonction f.

S'il existe g :] a ; b [ ! R₊ intégrable telle que 8 n 2 N ; 8 x 2 ] a ; b [ ; jf_n(x)j g(x), alors f est intégrable sur ] a ; b [,

la suite Z

] a ; b [fnd

n 2 N

converge vers Z

] a ; b [f d.

Un corollaire immédiat est que lim

n!+1

Z

] a ; b [f fnd = 0.

Ce théorème remplace la convergence uniforme nécessaire en Riemann par la convergence do- minée d'emploi beaucoup plus facile. Il s'agit du T.C.D. sur R. Il s'étend à l'intégration en plusieurs variables que nous verrons plus loin.

Quelques précisions ou rappels pour utiliser ce théorème.

Un sous-ensemble ni ou dénombrable de ] a ; b [ est négligeable.

Dans le cas où ] a ; b [ est borné, une fonction f :] a ; b [ ! R Riemann-intégrable est inté- grable.

Dans le cas général, une fonction f :] a ; b [ ! R dont l'intégrale de Riemann généralisée converge absolument sur ] a ; b [ est Lebesgue intégrable.

Dans les deux cas, et en supposant a < b, Z _b

a f(t) dt = Z

] a ; b [f d noté parfois aussi Z

] a ; b [f(t) d(t).

Pour éviter les erreurs les plus courantes, il faut avoir ce qui suit à l'esprit.

Il faut une fonction majorante.

La fonction majorante g doit majorer toutes les fonctions (en valeur absolue) sur l'in- tégralité du domaine d'intégration. Cela signie qu'il faut oublier jusqu'à l'idée d'employer des développements limités ou des équivalents. Ne valent que les majo- rations rigoureuses, valables pour tout n et tout t et, le cas échéant, la formule de Taylor à

employer n'est jamais celle de Taylor Young, avec son "(t) au signe aléatoire, mais soit celle de Taylor Mac-Laurin, ou Taylor Lagrange, soit celle avec reste intégral.

La fonction majorante doit être à valeurs dans R₊ et donc t ! sin t

t est un très mauvais candidat sur R.

La fonction majorante doit majorer la valeur absolue des fonctions fn, ou le module lors- qu'on a aaire à des fonctions à valeurs complexes.

La fonction majorante doit être intégrable, ce qui signie que la fonction t ! 1=t² est à proscrire sur R et même sur R₊, et doit être remplacée, si possible, par t ! (1 + t²) ¹. Plus généralement aucune fonction majorante du type t ! 1=t ne fonctionne sur R₊, quelle que soit la valeur de .

La fonction majorante doit être explicite. Les incantations du genre "soit une fonction majorante" augurent mal de la suite. En exigeant que la fonction soit explicite, on admet que certaines constantes implicites puissent intervenir dans la dénition de la fonction majorante.

Par exemple si f est une fonction continue bornée sur R et si la suite (fn)n 2 N est dénie par 8 n 2 N ; 8 x 2 R ; fn(x) = f(x=n)

1 + x² on pourra poser 8 x 2 R ; g(x) =

supy 2 Rf(y)

1

1 + x².

Toutes les erreurs auxquelles il est fait ici allusion ont naturellement des "correspondants"

dans les variantes de ce théorème, que ce soit en plusieurs variables ou si l'on considère des intégrales dépendant d'un paramètre pour lesquelles se posent les questions de continuité, de dérivabilité, et éventuellement de développement en série entière. Une seule de ces erreurs sut à mettre par terre toute l'application du théorème. On l'a bien compris, c'est dans le choix de g et la vérication des majorations nécessaires, que réside toute la diculté de l'application du théorème, les passages à la limite étant par comparaison de simples formalités, pour lesquelles la formule de Taylor Young et autres équivalents, retrouvent toute leur légitimité. Paradoxalement la liberté dont on dispose pour choisir la fonction majorante peut être paralysante. Dans le doute on peut toujours choisir g = sup

n 2 Njfnj, à condition que cette fonction soit intégrable. S'il s'avère que la fonction g ainsi obtenue n'est pas intégrable, le théorème ne peut pas s'appliquer car ce choix de fonction majorante est le plus petit possible, soit, celui qui a "le plus de chance" d'être intégrable. Un autre écueil est que cette fonction g peut être délicate à exprimer. Mais en général les oscillations de la suite fn(x)

n 2 N sont assez simples, et le sup est atteint soit en n = 0,

soit en +1. Lorsque les choses sont plus compliquées, seule l'expérience permet d'acquérir la capacité à deviner une bonne fonction majorante, c'est à dire une fonction explicite dont on puisse vérier l'intégrabilité et le caractère majorant. Cette expérience ne s'acquiert pas dans les quinze jours précédant l'examen.

Passons aux corollaires du T.C.D..

1.2 Séries de fonctions

Commençons par une conséquence du T.C.M.

Théorème de Fubini sur les séries positives. Soit ] a ; b [ un intervalle de R. Soit (u_n)_{n 2 N} une suite de fonctions dans M+. Alors

X1 n=0

Z

] a ; b [und

= Z

] a ; b [

X1 n=0

un

! d.

Dans cette égalité les deux membres sont bien dénis car tout est positif, mais ils peuvent être simultanément égaux à +1, par exemple si la série X¹

n=0

u_n diverge sur un ensemble non négligeable.

On appelle ce théorème "Fubini positif" pour aller vite, "Fubini" faisant référence au suivant, qui est une conséquence directe du T.C.D..

Théorème de Fubini sur les séries. Soit ] a ; b [ un intervalle de R. Soit (un)n 2 N une suite de fonctions intégrables à valeurs dans R ou dans C. On suppose que la série X¹

n=0

Z

] a ; b [ju_nj d converge. Alors

la série X1 n=0

u_n(x) converge p:p: et sa somme S est intégrable sur ] a ; b [, la série X¹

n=0

Z

] a ; b [u_nd

converge et vaut Z

] a ; b [S d.

L'appellation de ce théorème se comprendra lorsqu'on abordera l'intégration en plusieurs va- riables. Ici on échange sommation et intégration. Plus loin ce sera deux intégrations mais le principe est le même, la sommation n'étant que l'intégration dans un cadre discret.

Notons que, d'après Fubini positif, la série X1 n=0

Z

] a ; b [junj d converge ssi la fonction X1 n=0

junj est intégrable sur ] a ; b [.

Ce théorème, qui fournit une condition susante pour pouvoir échanger les signes somme et

intégrale, dit seulement que si le majorant³ évident g : x ! g(x) = X1 n=0

jun(x)j est intégrable, il n'y a qu'à le choisir comme fonction majorante. Cette condition se trouve satisfaite dans la plupart des cas où il s'avère que cet échange est légitime. Une exception notable est celui où la sérieX¹

n=0

ju_n(x)j diverge sur une partie non négligeable de ] a ; b [ alors queX¹

n=0

u_n(x) converge, par exemple dans le cas d'une série alternée. Dans cette situation il faut revenir à la dénition de la somme d'une série⁴ et appliquer le T.C.D. directement à la suite des sommes partielles.

Dans le cas des séries alternées (avec valeurs absolues décroissantes comme dans le critère des séries alternées), le premier terme de la série fournit toujours, en valeur absolue, la fonction majorante désirée.

1.3 Intégrales dépendant d'un paramètre

1.3.1 Continuité

Théorème 1.2. Soit ] a ; b [ et I deux intervalles de R et f :] a ; b [I ! R telle que 8 x 2 I ; t ! f(t; x) est intégrable sur ] a ; b [

8 t 2 ] a ; b [ ; x ! f(t; x) est continue sur I.

On suppose l'existence d'une fonction g :] a ; b [ ! R+, intégrable sur ] a ; b [ telle que 8 (t; x) 2 ] a ; b [I ; jf(t; x)j g(t).

Alors F : I ! R ; x ! F (x) = Z

] a ; b [f(t; x) d(t) est continue sur I.

Remarques:

Comme pour les autres théorèmes on peut produire une variante avec "presque partout".

Si I est un intervalle contenant une de ses bornes, il y a une variante pour la continuité à gauche ou à droite. De même si une des bornes est innie, on peut passer à la limite à l'inni, sous réserve d'avoir une fonction majorante appropriée.

La continuité étant une propriété locale, pour montrer que F est continue sur un intervalle I, il sut de montrer qu'elle est continue sur tout intervalle compact inclus dans I. L'intérêt

3de la suite des sommes partielles. La suite des sommes partielles, souvent notée (Sn)n 2 N est dénie par Sn(x) =

Xn k=0

uk(x). Pour x xé, on dit que X1 k=0

uk(x) converge ssi la suite Sn(x)

n 2 N converge et on pose, X1

k=0

u_k(x) = lim

n!+1S_n(x):

de cette remarque est que, très souvent⁴, il est impossible de trouver une fonction majorante valable sur tout I. Dans ces cas-là on fait une localisation : on considère un intervalle quel- conque [ c; d ] I et on recherche une fonction majorante g_{[ c; d ]} pour appliquer le théorème sur le domaine ] a ; b [[ c; d ] et montrer la continuité de F sur [ c; d ]. La continuité de F sur I en découle si les bornes c et d peuvent être choisies arbitrairement. Par exemple si I = R₊, on pourra considérer les intervalles [ 1=n; n ] et montrer la continuité de F sur [ 1=n; n ] pour tout entier n > 0. La localisation ne sert à rien si I est compact.

Dans l'application de ce théorème une première diculté est de ne pas confondre le paramètre x et la variable d'intégration t. Le danger sera d'autant plus grand lorsque dans l'énoncé t se trouve être le paramètre et x la variable d'intégration. Le risque est également accru lorsque le domaine d'intégration en t et le domaine de variation du paramètre en x sont les mêmes, par exemple l'intervalle [ 0; 1 ], R₊ ou R.

Une autre diculté plus sérieuse est de bien choisir la fonction majorante g[ c; d ]. Le meilleur candidat sera toujours donné par

g[ c; d ](t) = sup

x 2 [ c; d ]jf(t; x)j (|)

Il faut étudier pour t xé les variations sur [ c; d ] de la fonction x ! f(t; x) de façon à estimer ce sup. En général ce sup n'a aucune raison d'être atteint aux bornes de l'intervalle. Ce sera toutefois le cas si pour tout t 2 ] a ; b [ ; la fonction x ! f(t; x) est monotone. On pourra alors prendre g[ c; d ](t) = jf(t; c)j + jf(t; d)j, qui, sans être le sup de (|), est du même ordre de grandeur.

Un cas fréquent est celui où la fonction f(t;x) est de la forme u(t;x) v(t;x), où u(t;:) est décroissante et v(t; :) est croissante, u et v étant à valeurs dans R₊. Dans ce cas on peut prendre g_{[ c; d ]}(t) = u(t; c) v(t; d), à condition que ce produit soit intégrable. Par exemple, si f : R₊ R₊ ! R est dénie par f(t; x) = e^{tx t2px}, on peut prendre g[ c; d ](t) = e^td e ^t2pc. Il faut évidemment s'assurer de ce que le paramètre n'apparaît pas dans la fonction majorante.

Ces remarques valent également, à des modications évidentes près, pour le théorème qui clôt la sous-section suivante.

4Supposons que les fonctions f_g: t ! f_g(t) et f_d: t ! f_d(t) puissent être dénies par prolongement par continuité en x à t xé, aux bornes de I. Une fonction majorante g valable sur tout I devrait, par continuité, également majorer jfgj et jfdj, ce qui est impossible si fg et fd ne sont pas elles-mêmes intégrables. Donc si fg

et fd sont bien dénies mais ne sont pas intégrables, il est inutile de chercher une fonction majorante globale.

1.3.2 Dérivabilité

Théorème 1.3. Soit ] a ; b [ et I deux intervalles de R et f :] a ; b [I ! R telle que 8 x 2 I ; t ! f(t; x) est intégrable sur ] a ; b [,

8 t 2 ] a ; b [ ; x ! f(t; x) est dérivable sur I,

On suppose l'existence d'une fonction g :] a ; b [ ! R+, intégrable sur ] a ; b [ telle que 8 (t; x) 2 ] a ; b [I ;

@f

@x(t; x)

g(t).

Alors F : I ! R ; x ! F (x) = Z

] a ; b [f(t; x) d(t) est dérivable sur I et F⁰(x) =

Z

] a ; b [

@f

@x(t; x) d(t).

Si on veut en plus montrer que F est continûment dérivable, il faut appliquer le théorème de continuité à la fonction (t; x) ! @f

@x(t; x). Ceci est en général une formalité car la fonction majorante utilisée pour l'application du théorème de dérivation peut resservir.

Les remarques concernant la localisation faites dans le cas de la continuité s'appliquent égale- ment ici, car la dérivabilité aussi est une notion locale.

Notons que la fonction F peut être dérivable sans que le théorème ne s'applique. Le théorème ne donne qu'une condition susante.

Tous les théorèmes de ce chapître ont des traductions immédiates en plusieurs variables à condition bien sûr d'avoir déni l'intégrale dans ce contexte, ce qu'on fera au pro- chain chapître. Donc on ne les répètera pas et on se concentrera sur ce qui est spécique à la dimension d > 1, c'est à dire comment se ramener à d = 1 et comment changer de variables.

Chapitre 2

Intégration en plusieurs variables

2.1 Dénition de l'intégrale

Un point de départ possible pour l'intégration en plusieurs variables est la remarque suivante : soit [ a; b ] et [ c; d ] deux intervalles et soit f : [ a; b ] [ c; d ] ! R une fonction continue. Alors les applications x !

Z _d

c f(x; u) du et y ! Z _b

a f(v; y) dv sont continues donc intégrables et Z _b

a

Z _d

c f(x; u) du

dx = Z _d

c

Z _d

c f(v; y) dv

dy.

Cette remarque permet de dénir l'intégrale de Riemann d'une fonction continue sur un rec- tangle borné, ou sur un pavé, i.e. un produit d'intervalles bornés, en dimension supérieure. A partir de là on peut dérouler le même l qu'en dimension 1 avec les notions d'ensemble négli- geable, de fonction mesurable, intégrable et enn d'intégrale. Formellement la seule distinction par rapport à la dimension 1 est la dénition de la mesure (de Lebesgue) d'un ouvert. Comme les détails ne sont pas éclairants, il sut de savoir que le graphe d'une fonction continue sur R^d est toujours négligeable dans R^d+1. Ainsi une conique est négligeable dans R² car c'est toujours la réunion d'un nombre ni de portions de graphes. Un autre point à moer est la dénition de l'intégrale d'une fonction continue. D'après l'identité précédente on peut dénir l'intégrale d'une fonction continue de deux variables f sur un rectangle compact [ a; b ] [ c; d ] en posant

Z

[ a;b ][ c;d ]f d2 = Z _b

a

Z _d

c f(x; u) du

dx.

Cette dénition donne également un procédé de calcul puisque celui d'une intégrale double se ramène à deux calculs d'intégrales simples. Par récurrence on peut étendre cette dénition à un nombre quelconque de variables pour des fonctions continues dénies sur des pavés. On peut

11

faire des passages à la limite comme en une variable pour dénir des intégrales généralisées notées

Z

R^df d_d pour des fonctions continues sur R^d. Toutefois, comme pour l'intégrale de Lebesgue en dimension 1, ces expressions n'ont de sens que si f reste positive, ou si dans le cas contraire,

Z

R^djfj dd est ni.

Ceci étant, toute la section 1.1.2 peut être recopiée avec les modications évidentes.

2.2 Ensembles mesurables

En une variable on considére souvent des fonctions qui ne sont pas dénies sur tout R et on peut être amené à intégrer sur des intervalles. En plusieurs variables la situation est plus compliquée.

Dénition: Une partie E de R^d est mesurable (intégrable) ssi sa fonction caractéristique _E est une fonction mesurable (intégrable).

Pour la mesurabilité, en théorie cela signie que _E peut être obtenu en mélangeant procédés de sommation et de passage à la limite presque partout, à partir de fonctions continues. En pratique cela veut dire que E peut être quasiment n'importe quoi d'un peu explicite.

Notations:

Pour une partie mesurable E de R^d on notera d(E) = Z

R^d_Eddqu'on appellera la mesure de E. Une partie mesurable est intégrable ssi sa mesure est nie.

En dimension 2 et 3 on parlera respectivement de l'aire ou du volume de E.

On notera L_d l'ensemble des parties mesurables de R^d et on l'appellera la tribu de Le- besgue.

Pour une fonction mesurable f telle que f_E est intégrable on note Z

Ef ddl'intégrale de f sur E. Si E est intégrable, la moyenne de f sur E est le quotient mE(f) = 1

_d(E) Z

Ef dd. Si F E sont intégrables, alors la probabilité de F (dans E) est P (F ) = d(F )=d(E).

Le succès du calcul en plusieurs variables tient aux liens qui existent entre les diérentes di- mensions : si p + q = d, l'espace R^d est isomorphe au produit R^p R^q.

Proposition 2.1. Soit p, q 2 N, E 2 Lp et F 2 Lq. Alors E F 2 Lp+q et _p+q(E F ) = _p(E) _q(F ).

Dans la suite p, q et d désigneront toujours trois entiers tels que d = p + q et on identiera toujours R^d et R^p R^q.

Dénition et notation: Soit X et Y deux ensembles et Z X Y . On dénit pour tout x 2 X la section¹ de Z en x notée Z_x;:, en posant Z_x;: =

u 2 Y ; (x; u) 2 Z : De même Z_:;y =

u 2 X ; (u; y) 2 Z :

On remarque que la section d'une intersection est l'intersections. De même pour union et complémentaire.

Exemple: Soit Z =

z 2 R^d; kzk 1 . Ici k:k désigne la norme euclidienne sur R^d de sorte que Z est la boule de rayon 1 centrée sur l'origine. Pour x 2 R^p, Zx;: =

u 2 R^q; k(x; u)k 1 : Par abus de notation, k:k désignera aussi la norme euclidienne sur R^q et R^p. On a k(x; u)k² = kxk²+ kuk². Par conséquent k(x; u)k 1 () kuk² 1 kxk². On en déduit que si kxk > 1, Z_x;: = ; et si kxk 1; Z_x;: est la boule de rayon p

1 kxk² centrée sur l'origine.

Proposition 2.2. Soit E 2 L_d. Alors Pour presque tout x 2 R^p; Ex;: 2 Lq. L'application x ! q Ex;:

est mesurable sur R^p.

d(E) = Z

R^p_q E_x;:

d_p(x).

Remarques:

En échangeant les rôles de p et q on a des conclusions analogues et en particulier d(E) =

Z

R^qp E:;y

dq(y).

Un hyperplan de R^d est négligeable. En eet, quitte à faire une permutation sur les coor- données, on peut supposer que l'équation de l'hyperplan est de la forme x₁ = b +Xⁿ

i=2

a_ix_i. On décompose R^d en R^d = R R^{d 1} et on pose, pour x 2 R^d, x = (x₁; y) avec x₁ 2 R et y 2 R^{d 1}. On a alors d() =

Z

R^{d 1} :;y

dd 1(y). Or pour tout y 2 R^{d 1}, :;y = fx1g;

la valeur de x1 étant donnée par l'équation de . On en déduit :;y

0, ce qui implique d() = 0:

Exemple: Soit à calculer _d B_d

, B_d étant la boule unité de R^d. En choisissant p = 1 et q = d 1, on obtient _d B_d

= Z

R_{d 1} (B_d)_x;:

d(x). Comme on l'a vu, (B_d)_x;: est la boule centrée sur l'origine de rayonp

1 x² pour jxj < 1 et ; sinon. Pour faire une récurrence sur la dimension, il faut utiliser le cas particulier fondamental de la page 16 qui permet de calculer d 1(B) pour toute boule B de R^{d 1} à partir de d 1(Bd 1), i.e. pour toute boule B de R^{d 1} de rayon R, d 1(B) = R^{d 1}d 1 Bd 1

. Pour x 2 R; (Bd)x;: =

u 2 R^{d 1}; x²+ kuk² 1 .

1Le terme "coupe" peut être aussi utilisé.

C'est donc la boule de R^{d 1} centrée sur l'origine de rayon p

1 x² pour jxj 1 et ; sinon. On a donc d 1 (Bd)x;:

=p

1 x²_{d 1}

d 1 Bd 1

; ce qui donne

d(Bd) = Z

[ 1;1 ]

p1 x²_{d 1}

d 1 Bd 1

d(x) = d 1 Bd 1

Z ₁

1

p1 x²_{d 1} dx.

Partant de² 1 B1

= 2; et de d(Bd) = 1 B1

Y

2jd

j(Bj)

_{j 1}(B_{j 1}), on a la formule d(Bd) = 2 Y

1jd 1

Z ₁

1

p1 juj²_j du:

Il n'y a plus qu'à calculer chacune des intégrales apparaissant dans le produit³.

2.3 Calcul intégral sur R

2.3.1 Théorème de Fubini

Dénition et notation: Soit f : X Y ! R une application. On dénit pour x 2 X l'application partielle fx;: : Y ! R dénie par fx;:(y) = f(x; y). On dénit de même f:;y

pour y 2 Y .

Théorème de Fubini.

Cas positif Soit f : R^d ! R+ mesurable. Alors : Pour presque tout x 2 R^p; f_x;: est mesurable sur R^q. L'application x !

Z

R^qf_x;:d_q est mesurable sur R^p.

Z

R^df dd = Z

R^p

Z

R^qfx;:dq

dp(x).

Cas général Soit f : R^d ! R intégrable sur R^d. Alors : Pour presque tout x 2 R^p; f_x;: est intégrable sur R^q. L'application x !

Z

R^qfx;:dq est intégrable sur R^p.

Z

R^df dd = Z

R^p

Z

R^qfx;:dq

dp(x).

2B1 est le segment [ 1; 1 ].

3Une méthode plus rapide consiste à faire une factorisation de R^den R² R^{d 2}, qui ramène à une intégrale sur R², hors de portée pour l'instant (cf page 17).

Remarques:

Ce théorème permet de ramener le calcul d'une intégrale sur R^d au calcul d'une intégrale itérée⁴ où les espaces d'intégration sont de dimensions inférieures. De proche en proche on peut se ramener à des intégrales sur R.

Par symétrie on peut conclure dans les deux cas Z

R^df dd = Z

R^q

Z

R^pf:;ydp

dq(y), ce qui entraîne Z

R^p

Z

R^qfx;:dq

dp(x) = Z

R^q

Z

R^pf:;ydp

dq(y).

Il ne faut pourtant pas s'imaginer que le Théorème de Fubini autorise à échanger l'ordre des intégrations les yeux fermés. Il faut bien vérier les hypothèses sur f, en particulier l'intégrabilité dans le cas non positif. En eet si f n'est pas intégrable, les deux intégrales itérées peuvent exister mais avoir des valeurs distinctes.

Cas particulier important : On utilise fréquemment le Théorème de Fubini lorsque f(x; y) est de la forme f(x; y) = g(x)h(y), g et h étant intégrables. Dans ce cas f est intégrable etZ

R^pg dp Z

R^qh dq = Z

Rⁿf dd.

Cette remarque s'étend au cas de 3 variables ou plus : voir par exemple le calcul du volume de la boule page 19.

2.3.2 Changements de variables

Dénition: Soit U et V deux ouverts de R^d. Un C¹ - diéomorphisme : U ! V est une bijection dierentiable, dont la diérentielle est continue et inversible.

Notations:

Soit : U ! V un C¹ - diéomorphisme. Son application diérentielle au point x 2 U est notée D(x).

La matrice de D(x) dans la base canonique est la matrice jacobienne notée J(x).

Le jacobien, i.e. la valeur absolue du déterminant de J(x), est noté J(x).

Théorème 2.1. Soit : U ! V un C¹ - diéomorphisme et f : V ! C ; d - intégrable sur V . Alors (f ) J : U ! C est d - intégrable sur U et

Z

U(f ) Jdd= Z

V f dd:

4Une intégrale itérée est une intégrale où la fonction à intégrer est elle même une intégrale.

Cas particulier fondamental

Soit une application linéaire de R^d dans lui-même et E 2 L_d. Alors (E) 2 L_d et _d (E)

=detd(E).

Voyons en quoi ceci est un cas particulier. Si n'est pas inversible alors (R^d) est contenu dans un hyperplan qui est négligeable. Si n'est pas inversible posons f = _E et notons = ¹. Alors f = _(E). En eet (f )(x) = 1 () (x) 2 E () x 2 (E). Comme J = det ¹; on obtient

Z

R^d_(E) det ¹dd= Z

R^d_Edd; d'où la conclusion.

Corollaire 2.1. Soit A et B deux parties de R^d et : A ! B une application. On suppose qu'il existe deux ouverts U et V tels que d(A n U) = d (A) n V

= 0 et que _jU est un C¹ - diéomorphisme de U sur V . Alors, si f : (A) ! C est intégrable, l'application (f ) J, dénie presque partout sur A, est intégrable et

Z

A f Jdd= Z

(A)f d_d:

L'intérêt du corollaire est de couvrir les cas les plus courants : le passage en coordonnées polaires lorsque d = 2 et cylindriques ou sphériques lorsque d = 3.

Passage en coordonnées polaires

Proposition 2.3. Soit A R+ [ 0; 2[ , un ensemble Lebesgue-mesurable.

Soit : R+ [ 0; 2[ ! R²; (r; ) ! (r cos ; r sin ). Pour f intégrable sur (A), on a Z

Af(r cos ; r sin ) r d₂(r; ) = Z

(A)f(x; y) d₂(x; y):

Démonstration. Posons U = R₊ ]0; 2[ et V = R²n R₊ f0g

: Notons que ₂

R₊ [ 0; 2[

n U

= ₂

f0g [ 0; 2[

[ R₊ f0g

= 0.

De même, ₂ R² n V

= 0: De plus _jU est un C¹ - diéomorphisme de U sur V . En eet _jU est une bijection de U sur V et la matrice jacobienne J(r; ) = cos r sin

sin r cos

est une fonction continue, dont le déterminant J(r; ) = r ne s'annule pas. Il sut donc d'appliquer le corollaire 2.1.

Exemples - Calcul de I =

Z

Re ^x2d. Notons que, d'après le théorème de Fubini, I² = Z

R²e ^{x2 y2}d₂. On obtient, par la proposition 2.3, et l'application du théorème de Fubini sur R₊ [ 0; 2[

I² = Z

R+[ 0; 2[e ^{r2(cos2+sin2)}r d₂ = Z

R+[ 0; 2[e ^r2r d₂ = 2 Z

R+

e ^r2r d = e ^r2+1

0 = ;

d'où I =p .

- Calcul du volume de la boule unité sur R^d. On reprend le raisonnement de la page 13, à ceci près qu'on décompose R^d sous la forme R^d = R² R^{d 2}. On écrit donc z 2 R^d sous la forme z = (u; v) où u = (x; y) 2 R² et w 2 R^{d 2}. On a alors (Bd)u;: = fw 2 R^{d 2}; juj²+ jwj² 1g.

En d'autres termes, (B_d)_u;: est vide si juj > 1 et sinon c'est une boule de rayonp

1 juj² et de mesure _{d 2} (B_d)_u;:

= _{d 2} B_{d 2}

p

1 juj²_{d 2}

. On a alors _d(B_d) =

Z

B2

p1 juj²_{d 2}

_{d 2} B_{d 2}

d₂(u) = _{d 2} B_{d 2}

Z

B2

p1 juj²_{d 2}

d₂(u).

Un passage en coordonnées polaires donne Z

B2

p1 juj²_{d 2}

d₂(u) = Z

]0;1[]0;2[

p1 r²_{d 2}

r d₂(r; )

= 2 Z ₁

0

p1 r²_{d 2} r dr

= 2 (1 r²)^d=2

d=2 1

2 ¹

0

= 2

d :

On introduit la notation n!! qui désigne le produit des entiers inférieurs ou égaux à n et de même parité que n, de sorte que n!! = n (n 2)!!: Cette notation rend l'expression de _d(B_d) assez simple à écrire. Pour d = 2p, _2p B_2p

= _{2(p 1)} B_{2(p 1)}

p. On en déduit par récurrence sur p que _2p B_2p

= ^p

p!, sachant que ₂(B₂) = . Lorsque d = 2p + 1, on a _2p+1 B_2p+1

= _{2p 1} B_{2p 1}

2

2p + 1. On en déduit par récurrence que _2p+1 B_2p+1

= 2 (2)^p

(2p + 1)!!, sachant que 1(B1) = 2. À noter que 2p B2p

peut aussi s'écrire (2)^p (2p)!!. Passage en coordonnées cylindriques

Ce changement de variables consiste, en dimension 3, à passer en coordonnées polaires dans un plan tout en ne touchant pas à la dernière coordonnée. Par exemple on passera de (x; y; z) à (r; ; z), avec r come jacobien. On peut aussi passer en polaires en (y; z) ou (x; z).

Passage en coordonnées sphériques

L'espace euclidien E3 est muni d'un repère ane orthonormé (O;!i ;!j ;!

k ). Pour un point M de coordonnées (xM; yM; zM), P désigne sa projection orthogonale sur le plan Oyz, Q sa projection orthogonale sur la droite Ox. L'angle entre les demi-droites Ox et OM est noté et l'angle orienté (!j ; !

OP ) est noté . ₆

-

=

6 -

= Z

ZZ ZZ

ZZ ZZ

ZZ~

= U

z

y x

O

r

M

x_M

y_M

zM

P Q

Coordonnées sphériques

!i !j

!k

Proposition 2.4. Soit A R+ [ 0; [[ 0; 2[, un ensemble Lebesgue-mesurable.

Soit : R+ [ 0; [[ 0; 2[ ! R³; (r; ; ) ! (r cos ; r sin cos ; r sin sin ). Pour f intégrable sur (A), on a

Z

Af(r cos ; r sin cos ; r sin sin ) r²sin d₃(r; ; ) = Z

(A)f(x; y; z) d₃(x; y; z):

Démonstration. La matrice jacobienne J(r; ; ) = _{cos r sin 0}

sin cos r cos cos r sin sin sin sin r cos sin r sin cos

est conti- nue et elle est inversible lorsque J(r; ; ) = r²sin 6= 0. Soit U = R₊ ]0; [ ]0; 2[. Sur

U; J(r; ; ) 6= 0. De plus _jU est injective. En eet si (r; ; ) 2 U et (x; y; z) = (r; ; ) alors r =p

x²+ y²+ z²; = arccosx

r et est déterminé de façon unique par cos = y r sin et sin = z

r sin . Donc _jU est un C¹ - diéomorphisme de U sur (U). Déterminons V = (U).

Par dénition (x; y; z) 2 V si et seulement si r =p

x²+ y²+ z² 6= 0;

arccos(x=r) =2 f0; g ce qui équivaut à jxj 6= r ou encore (y 6= 0 ou z 6= 0).

2 [ 0; 2[ , déterminé par cos = y

r sin et sin = z

r sin , n'est pas nul, ce qui signie que si z = 0; alors y < 0.

Donc (x; y; z) 2 V^c ssi (x = y = z = 0) ou (y = z = 0) ou (z = 0 et y 0). Finalement R³n V =

(x; y; z); z = 0 et y 0 : On constate que ₃(R³n V ) = 0 et on peut appliquer le corollaire 2.1.

Remarque: Il ne faut surtout pas retenir par coeur les formules de passage en coordonnées sphériques, d'autant qu'elles changent d'un livre à l'autre. Il faut avoir le dessin dans la tête et savoir que le jacobien J est de la forme

J = r²(une fonction circulaire positive).

Pour se souvenir de la puissance de r, il faut penser "Jdr d d = dx dy dz", et se dire qu'il y trois dimensions spatiales à droite et à gauche. Comme les angles sont sans dimension, dr comptant pour une dimension, il en manque 2 qui sont dans J, d'où r².

Exemple: Calcul du volume d'une boule de rayon R dans R³. On suppose la boule centrée à l'origine O. En appliquant le théorème de Fubini sur U = R₊ ]0; [ ]0; 2[, on obtient

Z

R³_B(O;R)d₃ = Z

U_{]0; R ]}(r) r²sin d₃(r; ; )

= Z

]0; R ]r²d(r) Z

]0; [sin d() Z

]0; 2[ d() = 4 3R³:

Chapitre 3 Espaces L ^p

3.1 Inégalités

Dénition: Les nombres p; q 2 [ 1; +1] sont conjugués ssi p; q 2 ]1; +1) et p ¹+q ¹ = 1, ou bien fp; qg = f1; +1g:

Remarques:

On dit aussi que q est le conjugué de p

p ¹+ q ¹ = 1 s'écrit aussi q = p=p 1; p = q=q 1; p 1 = p=q ou q 1 = q=p:

Lemme 3.1. Soit x; y 2 R₊ et p; q 2 ]1; +1) conjugués. Alors, xy ¹_px^p+ ¹_qy^q.

Démonstration. Si x ou y 2 f0; +1g; l'inégalité est évidente. Supposons x 2 R₊. L'applica- tion f : R₊ ! R dénie par f(y) = xy ¹_qy^q est dérivable et f⁰(y) = x y^{q 1} s'annule pour y = x^{1=q 1}. Le maximum de f est donc x x^{1=q 1 1}_qx^{q=q 1} = (1 ¹_q) x^{q=q 1}= ¹_px^p.

Remarque: Notons que 1=q 1 = p=q. Il y a donc égalité ssi y = x^p=q soit y^q = x^p. Lemme 3.2. Sur R^d soit f; g 2 M+ et p; q 2 ]1; +1) conjugués. Alors,

Z

R^dfg d_d 1 p

Z

R^df^pd_d+1 q

Z

R^dg^qd_d.

Démonstration. D'après le lemme précédent, 8 x 2 R^d; f(x)g(x) ¹_p f(x)_p

+ ¹_q g(x)_q . Il sut d'intégrer cette inégalité.

Lorsque les deux membres de l'inégalité sont nis, ils sont égaux ssi f^p = g^q p.p..

Notation: Soit p 2 [ 1; +1) et f 2 M. On note kfk_p = Z

R^djfj^pd_{d 1=p}

. Remarque: Pour t 2 R₊; ktfkp = jtj kfkp.

20

Proposition 3.1 (Inégalité de Hölder). Soit f; g 2 M et p; q 2 ]1; +1) conjugués. Alors kfgk₁ kfk_p kgk_q.

Démonstration. Si Z

R^df^pd_d ou Z

R^dg^qd_d = 0 ou +1; l'inégalité est évidente. On suppose maintenant

Z

R^df^pdd et Z

R^dg^qdd 2 R₊: Si kfkp = kgkq = 1; alors Z

R^df^pdd= Z

R^dg^qdd= 1; et l'inégalité résulte du lemme précédent puisque ¹_p + ¹_q = 1. Sinon on applique ce cas particulier aux fonctions F = f=kfk_p et G = g=kgk_q qui vérient kF k_p = kfk_p=kfk_p = 1 et kGkq= 1. On obtient kF Gk1 1. D'où kfgk1 = kF Gk1 kfkp kgkq kfkp kgkq.

Remarque: Lorsque les deux membres de l'inégalité sont nis, ils sont égaux ssi jF j^p = jGj^q p.p., soit ssi pour une constante C; jgj^q = Cjfj^p. Dans ce cas C = kgk^q_q=kfk^p_p:

Corollaire 3.1. Soit f 2 M et p; q 2 ]1; +1) conjugués. Alors kfkp = sup

kfgk1; g 2 M; kgkq = 1 .

Démonstration. D'après l'inégalité de Hölder, sup

kfgk1; g 2 M; kgkq = 1 kfkp. Il reste à montrer l'inégalité inverse.

- Si kfkp < +1; on dénit g en posant g(x) = jf(x)j^p=q=kfk^p=qp , de sorte que jgj^q = jfj^p=kfk^p_p et

Z

R^dg^qdd = 1. On sait alors que l'inégalité de Hölder est en fait une égalité et on obtient Z

R^djfgj dd= kfkp kgkq = kfkp; d'où l'inégalité inverse lorsque kfkp < +1:

- Si kfk_p = +1; on prend f_n 2 M telle que jf_nj jfj et kf_nk_p > n. Soit g_n 2 M telle que kg_nk_q = 1 et

Z

R^djf_ng_nj d_d = kf_nk_p. Alors Z

R^djfg_nj d_d kf_nk_p > n. On en déduit que sup

kfgk₁; g 2 M; kgk_q = 1 = +1 = kfk_p.

3.2 Espaces L

et L

; p 2 [ 1; +1)

Dénition: Soit p 2 [ 1; +1). On note L^p(R^d) (en omettant souvent R^d) l'ensemble des fonctions f 2 M telles que kfkp < +1.

Une fonction f dans un des espaces L^p est p:p: nie. La somme de deux fonctions de L^p est donc dénie p:p:.

Proposition 3.2 (Inégalité de Minkowski). Soit p 2 ]1; +1). Soit f; h 2 L^p. Alors f + h 2 L^p et kf + hkp kfkp + khkp.

Démonstration. Soit q l'exposant conjugué de p et g 2 M telle que kgk_q= 1. Alors, en utilisant l'inégalité triangulaire sur L¹, puis l'inégalité de Hölder, on obtient

kg (f + h)k₁ kgfk₁+ kghk₁ kfk_p+ khk_p,

soit kg (f + h)k1 kfkp+ khkp.

D'après le corollaire 3.1, on en déduit, en prenant à gauche le sup sur g 2 M telle que kgkq = 1, kf + hk_p kfk_p+ khk_p.

Si on oublie le fait que la somme de deux fonctions de L^p peut ne pas être dénie sur un ensemble négligeable¹, on obtient que L^p est un espace vectoriel sur lequel k:kp est une semi- norme². Comme il est toujours plus agréable de travailler sur des espaces vectoriels normés, on fait le quotient de L^p par le sous-espace vectoriel des fonctions f telles que kfk_p = 0, c'est à dire l'ensembles des fonctions presque partout nulles. On obtient un nouvel espace noté L^p(R^d).

Ce nouvel espace est à proprement parler un espace de classes d'équivalence de fonctions. Deux fonctions sont dans la même classe si et seulement si elles sont égales presque partout. On prend donc l'habitude de repérer une classe par un de ses représentants, le choix de celui-ci étant sans importance. Sur le plan pratique, tout se passe comme si les éléments de L^p étaient réellement des fonctions. Ces espaces fournissent des exemples d'espaces de Banach³.

Théorème 3.1. Pour tout p 2 [ 1; +1), l'espace vectoriel L^p, muni de la norme k:kp est complet.

Une autre propriété importante est la suivante. Rappelons que C_c¹(R) désigne l'espace vectoriel des fonctions dénies sur R, indéniment dérivables et à support compact, donc nulles en dehors d'un intervalle borné.

Théorème 3.2. Pour tout p 2 [ 1; +1), C_c¹(R) est dense dans L^p(R).

Une traduction de ce théorème avec des quanticateurs est la suivante : si p 2 [ 1; +1), alors 8 " > 0 ; 8 f 2 L^p(R; ) ; 9 g 2 C_c¹(R) telle que kf gk_p < ":

1Pour pallier cet inconvénient, on peut modier la dénition de L^p en n'admettant que les fonctions nies partout.

2Soit E un espace vectoriel sur R. Une semi-norme N sur E est une application de E dans R₊ telle que 8 u 2 E ; 8 t 2 R ; N(tu) = jtjN(u),

8 u; v 2 E ; N(u + v) N(u) + N(v).

3Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet, i.e., toute suite de Cauchy admet une limite